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3.2 简单的三角恒等变换(二)


3.2 简单的三角恒等变换(二)

结 合 右 图 体 会 公 式 的 推 导 过 程

tan 2? =

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?
(1) 3 1 sin ? ? cos ? ; 2 2 ? ? ? ? cos sin ? ? sin cos ? ? sin(? ? ). 6 6 6

(2)sin ? ? cos ? ;
2 2 ? ? ? 2( sin ? ? cos ?) ? 2(cos sin ? ? sin cos ?) 2 2 4 4 ? ? 2 sin(? ? ). 4

那么 a sin x ? b cos x=?

1.通过三角恒等变换,把形如 y=a sin x ? b cos x 的
函数转化为形如 y ? A sin( x ? ? ) 的函数.(重点) 2.灵活利用公式,通过三角恒等变换,解决函数 的最值、周期、单调性等问题.(重点、难点) 3.灵活运用三角公式解决一些实际问题.

1.a sin x ? b cos x的变形及应用
a sin x ? b cos x能化成一个角的三角函数值吗?
令 cos ? ? a a 2 ? b2 a sin x ? b cos x ? a ?b (
2 2

,sin ? ?

b

a 2 ? b2 b a ?b
2 2

a a ?b
2 2

sin x ?

cos x)

? a 2 ? b 2 ? cos ? sin x ? sin ? cos x ? ? a 2 ? b 2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? .

例1 求函数 y ? sin x ? 3cos x 的周期,最大值和最
小值. 分析:利用三角恒等变换,先把函数式

化简,再求相应的值.
解:y ? sin x ? 3 cos x 1 3 ? 2( sin x ? cos x) 2 2

? ? ? 2(sin x cos ? cos x sin ) 3 3 ? ? 2sin(x ? ). 3

所以周期T = 2π ,最大值为2,最小值为 - 2.

通过三角恒等变换,我们把形如 y ? a sin x ? b cos x 的函数转化为形如 y ? Asin(?x ? ?) 的函数,从而 使问题得到简化.

例2 已知函数f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x, 求f ( x)的单调 增区间.
1 ? cos 2 x 1 1 解:f ( x) ? cos 2 x+ ? cos 2 x ? . 2 2 2
当2k? ? ? ? 2x ? 2k?, k ? Z时,f (x)为增函数, ? 即k? ? ? x ? k?, k ? Z. 2 ? ? ? 所以函数f (x)的单调增区间为 ?k? ? , k?? (k ? Z). 2 ? ?

2.三角变换在化简,证明中的应用.
cos10 例3 化简 tan10 ? 3 ? . sin 50

?

?

sin10 cos10 解:原式 ? ( ? 3) ? cos10 sin 50 sin10 ? 3 cos10 cos10 ? ( ) ? cos10 sin 50 1 3 o sin10 cos10o 2 = 2? 2 sin50o sin(10o - 60o ) sin(-50o ) = 2? = 2? = -2 . o o sin50 sin50

【提升总结】
三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的 角、名、形的变换. (1)找差异:角、名、形的差别. (2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之 间可以用哪个公式联系起来. (3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以 变形后正用或逆用,常见形式如下:cosα = cosβ cos(α -β )- sinβ sin(α -β ),1= sin α +cos α ,
2 2

1 ? tan 30 tan 45 ? tan 30 ° ° = =tan(45 +30 )等. 1 ? tan 30 1 ? tan 45 tan 30

常见的三角变形技巧有 ① 切割化弦; ② “1”的变用; ③ 统一角度,统一函数, 统一形式等等.

3.三角变换在实际问题中的应用 例4 如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为 ? 的扇形, C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,
? 记 ?COP ? ? ,问当角 3 取何值时,矩形ABCD的面积

最大?并求出这个最大面积. 分析:(1)找出 S 与 ? 之间的函数关系. (2)由得出的函数关系,求S的最大值.
O D

Q

C

?

A

B P

解:在Rt?OBC中,OB ? cos ?, BC ? sin ?. DA 在Rt?OAD中, ? tan 60o ? 3. OA 3 3 3 所以OA ? DA ? BC ? sin ?, 3 3 3

3 所以AB ? OB ? OA ? cos ? ? sin ?. 3
设矩形ABCD的面积为S, 则 3 S ? AB ? BC ? (cos ? ? sin ?)sin ? 3 3 2 ? sin ? cos ? ? sin ? 3

1 3 ? sin 2? ? (1 ? cos 2? ) 2 6 1 3 1 3 1 ? 3 ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? ? sin(2? ? ) ? . 2 6 6 6 3 2 3 ? ? ? 5? 由0 ? ? ? , 得 ? 2? ? ? . 3 6 6 6 ? ? ? 所以当2?+ = ,即?= 时, 6 2 6 1 3 3 S最大 = ? ? . 6 3 6

? 3 因此,当?= 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为 . 6 6

1.(2014·山东高考)函数 y ? 小正周期为 .

3 sin 2 x ? cos 2 x 的最 2

3 2 y ? sin 2 x ? cos x 【解析】 2

=

3 1 1 ?? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 2 2 6? 2 ?
2? ?? 2

所以 T ?

.

答案: ?

2 cos10? ? sin 20? 2.求值: . sin 70?
2 cos(30? ? 20?) ? sin 20? 解: 原式 = cos 20? 2(cos 30? cos 20? ? sin 30? sin 20?) ? sin 20? ? cos 20? 3 cos 20? ? ? 3. cos 20?

? 5 ? ? ( , ? ),sin ? ? 3.(2014·江苏高考)已知 2 5 .

(1)求 sin(

?
4

? ? ) 的值;(2)求 cos(

5? ? 2? ) 的值. 6
2

? 5? 2 5 cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 【解析】 (1)由题意 ? 5 ? 5 , ? ?

所以 sin( 4 ? ? ) ? sin 4 cos ? ? cos 4 sin ? = 2 ? ? ?? 5 ? ? ? 2 ? 5 ? ? 10 ? ? (2) sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?
3 4 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 5. 5,

?

?

?

2 ? 2 5?

2

5

10

.

5? 5? 5? 3 3 1 4 3 3?4 cos( ? 2 ? ) cos cos 2 ? ? sin sin 2 ? ? ? ? ? ( ? ) ? ? 所以 = 6 = 2 5 2 5 6 6 10

4.已知半径为1的半圆,PQRM是半圆的内接矩形,
如图,P点在什么位置时,矩形的面积最大,并求

最大面积的值.
分析:连接OP,设 ?POM ? ?, 用角? 表示面积.

Q
?

P O

R

M

解 :连接OP,设?POM ? ?, 则OM ? OP cos ? ? cos ?, PM ? OP sin ? ? sin ?,
所以矩形PQRM的面积S ? 2OM ? PM ? 2 cos ? sin ? ? sin 2?. ? 当?= 时,S最大,最大值为1. Q P 4

?

R

O

M

1. 形如y ? a sin x ? b cos x的函数化成形如y ? A sin(?x ? ?) 的函数求解,体现化归思想.

2. 用函数法求平面图形面积的最大或最小值, 常以某个变化的角作为自变量,再将面积 表示为这个角的函数,转化为三角函数的 最值问题.

不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要 谨慎而坚定。 ——德谟克里特


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