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2015-2016学年四川省绵阳市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016 学年四川省绵阳市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则图中与 相等的向量是( )

A. B. C. D. 2.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个 数构成数列{an}的前 4 项,则{an}的通项公式可以是( )

A.an=3n﹣1 B.an=2n﹣1 C.an=3n D.an=2n﹣1 3.已知平面向量 , 满足 ? =1,且| |=2,| |=1,则 , 的夹角为( A. B. C. D. )



4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A.π B.2π C.4π D.8π 5.设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,以下四个命题中正确的是( A.若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β B.若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n C.若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n D.若 α⊥β,n⊥α,m⊥β,则 m⊥n



6.如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与直线 B1C 所成 角的余弦值为( )

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A.

B.

C.

D. )

7. ﹣ 化简的结果为( A.﹣sin3°+cos3° B.﹣sin3°+3cos3° C.sin3°﹣cos3° D.﹣sin3°﹣3cos3°

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

=

,则△ABC 的形

状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 9.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,如图,到 A 处时测得公路北侧一铁塔底部 C 在西偏北 30°的方向上,行驶 200m 后到达 B 处,测得此铁塔底部 C 在西偏北 75°的方向上, 塔顶 D 的仰角为 30°,则此铁塔的高度为( )

A.

m

B.50

m

C.100

m D.100

m

10.在△ABC 中,∠C=90°,且| |=2,| |=3,点 M 满足 =2 ,则 ? =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图所示,AO⊥平面 BOC,∠OAB=30°,△AOC 与△AOB 全等,且二面角 B﹣AO﹣ C 是直二面角,动点 P 在线段 AB 上,则 CP 与平面 AOB 所成角的正切的最大值为( )

A.1

B.

C.

D.

12.等差数列 0,2,4,6,8,10,…按如下方法分组: (0) , (2,4) , (6,8,10) , (12, 14,16,18) ,…则第 n 组中 n 个数的和是( ) A. B.n(n2﹣1) C.n3﹣1 D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.计算:cos215°﹣sin215°= . 14.等差数列{an}满足 a3+a8=2,则该数列前 10 项和 S10=
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15.已知 tan(α﹣β)= ,tanβ= ,则 tan(α+

)=



16.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,其中 AB⊥AC,SA⊥AC,SA=2, AB=AC= ,若顶点 S 到 BC 边中点的距离为 ,则球 O 的体积为 . 三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知锐角△ABC 中内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 a=2bsinA. (1)求角 B 的大小; (2)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积. 18.已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) . (1)当 ∥ 时,求 tan2x 的值; (2)设函数 f(x)=( + )? ,已知 f(θ)= 且 0<θ< ,求 θ 的值.

19. AD⊥CD, AB∥CD, AB=AD=2, 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, CD=4,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BEC.

20.数列{an}中,a1=1,设 Sn 是{an}的前 n 项和,且满足 Sn+1=2Sn+1. (1)证明数列{Sn+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2) 设 bn= Tn 为数列{bn}的前 n 项和, =﹣x2+2ax , 函数 f (x)

﹣a2+a﹣1,若 Tn>f(x)对所有的 n∈N*和 x∈R 都成立,求实数 a 的范围.

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2015-2016 学年四川省绵阳市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则图中与 相等的向量是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】相等向量与相反向量. 【分析】用向量相等的定义:不但模相等且方向相同判断即可. 【解答】解:如图示: 与 相等的向量是: , , , 故选:C. 2.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个 数构成数列{an}的前 4 项,则{an}的通项公式可以是( )

A.an=3n﹣1

B.an=2n﹣1 C.an=3n D.an=2n﹣1

【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】 着色的小三角形个数构成数列{an}的前 4 项, 分别得出, 即可得出{an}的通项公式. a1=1, a2=3, a3=3×3=32, 【解答】 解: 着色的小三角形个数构成数列{an}的前 4 项, 分别为: a4=32×3, 因此{an}的通项公式可以是:an=3n﹣1. 故选:A. 3.已知平面向量 , 满足 ? =1,且| |=2,| |=1,则 , 的夹角为( A. B. C. D. )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可. 【解答】解:平面向量 , 满足 ? =1,且| |=2,| |=1, 设 , 的夹角为 θ,

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可得 cosθ=

=

= ,

可得 故选:B.



4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.π

B.2π

C.4π

D.8π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知,该几何体为底面半径直径为 2,高为 2 的圆柱的一半,求出体积即 可. 【解答】解:由三视图可知,该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱,底面半径直径为 2, 高为 2. 体积 V= 故选:A. 5.设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,以下四个命题中正确的是( A.若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β B.若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n C.若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n D.若 α⊥β,n⊥α,m⊥β,则 m⊥n ) =π.

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 【分析】由题意和线面垂直的定义,对答案项逐一验证,即可找出答案. 【解答】解:若 α⊥β,m∥α,则 m、β 的位置关系不确定,故 A 不正确; 若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n,故 B 不正确; 若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n 或 m,n 相交或 m,n 异面,故 C 不正确; 在 β 内作直线 a 垂直于两个平面的交线 l,则 a⊥l,∵α⊥β,∴a⊥α,∵n⊥α,∴a∥n,∵ m⊥β,a? β,∴m⊥a,∴m⊥n,正确. 故选:D. 6.如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与直线 B1C 所成 角的余弦值为( )

第 5 页(共 15 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】如图所示,建立空间直角坐标系.利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出. 【解答】解:如图所示,建立空间直角坐标系. 不妨设 AB=2,则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) , C(0,2,0) ,E(2,1,2) ,B1(2,2,2) . =(0,1,2) , =(2,0,2) .

∴cos

=

=

=



∴直线 AE 与直线 B1C 所成角的余弦值为 故选:A.



7. ﹣ 化简的结果为( ) A.﹣sin3°+cos3° B.﹣sin3°+3cos3° C.sin3°﹣cos3° D.﹣sin3°﹣3cos3° 【考点】三角函数的化简求值;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 【分析】利用同角三角函数基本关系式,二倍角公式化简去根号,即可得解. 【解答】解: ﹣ = =sin3°+cos3°﹣2cos3° =sin3°﹣cos3°. 故选:C. ﹣

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8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

=

,则△ABC 的形

状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【考点】三角形的形状判断. 【分析】利用同角三角函数基本关系式,正弦定理化简可得 acosA=bcosB,通过两角差的正 弦函数,求出 A 与 B 的关系,得到三角形的形状. 【解答】解:因为: 所以由正弦定理可得: = ,可得: , = ,

整理可得:acosA=bcosB, 所以 sinAcosA=sinBcosB,所以 2A=2B 或 2A=π﹣2B, 所以 A=B 或 A+B=90°. 所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 9.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,如图,到 A 处时测得公路北侧一铁塔底部 C 在西偏北 30°的方向上,行驶 200m 后到达 B 处,测得此铁塔底部 C 在西偏北 75°的方向上, 塔顶 D 的仰角为 30°,则此铁塔的高度为( )

A.

m

B.50

m

C.100

m D.100

m

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】设此山高 h(m) ,在△BCD 中,利用仰角的正切表示出 BC,进而在△ABC 中利 用正弦定理求得 h. 【解答】解:设此山高 h(m) ,则 BC= h, 在△ABC 中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600. 根据正弦定理得 解得 h= 故选 A. 10.在△ABC 中,∠C=90°,且| A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】平面向量数量积的运算.
第 7 页(共 15 页)



(m)

|=2,|

|=3,点 M 满足

=2

,则

?

=(



【分析】 由题意可得 = + ?

=0, 再利用两个向量的加减法的法则以及其几何意义求得

?

,从而求得结果. |=2,| |=3,点 M 满足 =2 ,∴

【解答】解:△ABC 中,∵∠C=90°,且| =0, 则 ? =( + )? =( + ? )?

=[

+ ?(



)]?

=(

+



?

=

+ ?

= ?32=0=3, 故选:C. 11.如图所示,AO⊥平面 BOC,∠OAB=30°,△AOC 与△AOB 全等,且二面角 B﹣AO﹣ C 是直二面角,动点 P 在线段 AB 上,则 CP 与平面 AOB 所成角的正切的最大值为( )

A.1

B.

C.

D.

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】由 CO⊥平面 AOB,得∠CPO 是 CP 与平面 AOB 所成的角,当 OP 最小时,tan∠ CPO 最大,由此能求出 CP 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值. 【解答】解:∵AO⊥平面 BOC,∠OAB=30°,△AOC 与△AOB 全等,且二面角 B﹣AO﹣ C 是直二面角, ∴∠BOC=90°, 则 CO⊥平面 AOB, 连接 CP,OP, 则∠CPO 是 CP 与平面 AOB 所成的角, 设 OB=OC=1,则 AB=2,OA= , 且 tan∠CPO= = ,

∴当 OP 最小时,tan∠CPO 最大, 即 OP⊥AB,∴OP= = = ,tan∠CPO= = = = ,

即 tan


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∴CP 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值是 故选:D.



12.等差数列 0,2,4,6,8,10,…按如下方法分组: (0) , (2,4) , (6,8,10) , (12, 14,16,18) ,…则第 n 组中 n 个数的和是( ) A. B.n(n2﹣1) C.n3﹣1 D.

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由已知求出前 n﹣1 组含有非负偶数个数,进一步求出第 n 组的第一个数,再由等 差数列的前 n 项和得答案. 【解答】解:由已知可得,前 n﹣1 组含有非负偶数个数为 1+2+3+…+(n﹣1) = (n≥2) ,

则第 n 组的第一个数为:



∴第 n 组中 n 个数的和是 故选:B. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.计算:cos215°﹣sin215°= .



【考点】二倍角的余弦. 【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°=cos30°,从而得到结果. 【解答】解:由二倍角的余弦公式可得, cos215°﹣sin215°=cos30°= 故答案为: . .

14.等差数列{an}满足 a3+a8=2,则该数列前 10 项和 S10= 10 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列前 n 项和公式和等差数列的性质能求出结果.
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【解答】解:∵等差数列{an}满足 a3+a8=2, ∴该数列前 10 项和: S10= 故答案为:10. = .

15.已知 tan(α﹣β)= ,tanβ= ,则 tan(α+

)= ﹣



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用两角和的正切公式,求得要求式子的值. 【解答】解:∵tan(α﹣β)= ,tanβ= , 则 tanα=tan[(α﹣β)+β]= = ,

tan(α+

)=

=

=﹣



故答案为:﹣



16.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,其中 AB⊥AC,SA⊥AC,SA=2, AB=AC= ,若顶点 S 到 BC 边中点的距离为 ,则球 O 的体积为 .

【考点】球的体积和表面积. 【分析】取 BC 的中点 D,连接 AD,SD,证明 SA⊥平面 ABC,将三棱锥 S﹣ABC 扩充为 长方体,三边长为 , ,2,求出对角线长,可得三棱锥 S﹣ABC 的外接球的半径,即 可求出球 O 的体积. 【解答】解:取 BC 的中点 D,连接 AD,SD,则 ∵AB⊥AC,AB=AC= , ∴BC=2,∴AD=1 ∵SA=2,顶点 S 到 BC 边中点的距离为 , ∴SA⊥AD, ∵SA⊥AC,AD∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC, ∵AB⊥AC, ∴三棱锥 S﹣ABC 可以扩充为长方体,三边长为 , ,2, =2 , ∴长方体是对角线长为 ∴三棱锥 S﹣ABC 的外接球的半径为 , ∴球 O 的体积为 故答案为: . = .

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三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知锐角△ABC 中内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 a=2bsinA. (1)求角 B 的大小; (2)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理. 【分析】 (1)由已知根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,结合 sinA>0,可求 sinB,结合 B 的范围,即可求 B 的值. (2)由余弦定理 ac=3,利用三角形面积公式即可得解得解. 【解答】 (本题满分为 10 分) 解: (1)由 a=2bsinA,根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,… ∵sinA>0, ∴sinB= , . …

则由△ABC 为锐角三角形,得 B= (2)∵b= ,a+c=4,B= ,

∴由余弦定理有 b2=a2+c2﹣2accosB,… 得 b2=(a+c)2﹣2ac﹣2accosB, 即 7=16﹣2ac(1+ ) ,解得 ac=3.… ∴△ABC 的面积 S= acsinB= = . …

18.已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) . (1)当 ∥ 时,求 tan2x 的值; (2)设函数 f(x)=( + )? ,已知 f(θ)= 且 0<θ< ,求 θ 的值.

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数中的恒等变 换应用. 【分析】 (1)利用向量的共线的充要条件以及二倍角的正切函数化简求解即可.
第 11 页(共 15 页)

(2)利用向量的数量积化简求解,通过角的三角函数求出角的大小即可. 【解答】解: (1)∵向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) . ∥ , ∴ cosx+sinx=0,于是 tanx=﹣ ,…

∴tan2x=

=

.…

(2)∵函数 f(x)=( + )? =(sinx+cosx,﹣ )?(cosx,﹣1) ) =sinxcosx+cos2x+ = = sin(2x+ + )+ ,… )+ = ,即 sin(2θ+ <2θ+ .… , )= ,

由题得 由 0<θ< ∴2θ+ =

sin(2θ+ ,得

,解得

19. AD⊥CD, AB∥CD, AB=AD=2, 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, CD=4,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BEC.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)取 DE 中点 N,连接 MN,AN,由三角形中位线定理易得,四边形 ABMN 为 平行四边形,即 BM∥AN,再由线面平行的判定定理即可得到 BM∥平面 ADEF; (II)由已知中正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD, AB=AD=2,CD=4,我们易得到 ED⊥BC,解三角形 BCD,可得 BC⊥BD,由线面垂直的 判定定理, 可得 BC⊥平面 BDE, 再由面面垂直的判定定理, 即可得到平面 BDE⊥平面 BEC. 【解答】证明: (I)取 DE 中点 N,连接 MN,AN 在△EDC 中,M,N 分别为 EC,ED 的中点
第 12 页(共 15 页)

∴MN∥CD,且 MN= CD, 由已知中 AB∥CD,AB=AD=2,CD=4, ∴MN∥AB,且 MN=AB ∴四边形 ABMN 为平行四边形 ∴BM∥AN 又∵AN? 平面 ADEF BM?平面 ADEF ∴BM∥平面 ADEF (II)∵ADEF 为正方形 ∴ED⊥AD 又∵正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,且 ED? 平面 ADEF ∴ED⊥平面 ABCD ∴ED⊥BC 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BC=2 在△BCD 中,BD=BC=2 ,CD=4 ∴BC⊥BD ∴BC⊥平面 BDE 又∵BC? 平面 BEC ∴平面 BDE⊥平面 BEC

20.数列{an}中,a1=1,设 Sn 是{an}的前 n 项和,且满足 Sn+1=2Sn+1. (1)证明数列{Sn+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2) 设 bn= Tn 为数列{bn}的前 n 项和, =﹣x2+2ax , 函数 f (x)

﹣a2+a﹣1,若 Tn>f(x)对所有的 n∈N*和 x∈R 都成立,求实数 a 的范围. 【考点】数列递推式;数列的求和. S1=a1; Sn>0, Sn+1≠0. Sn+1+1=2 【分析】 (Ⅰ) 由 Sn+1=2Sn+1, 可得 n=1 时, 变形为: (Sn+1) , 即可证明数列{Sn+1}是等比数列,可得 Sn.再利用:n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可得出. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn= =3 .利用“裂项求和”方法可得:Tn.由 Tn>f

(x)对所有的 n∈N*和 x∈R 都成立,可得: (Tn)min>f(x)max,利用数列的单调性与二 次函数的单调性即可得出. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵Sn+1=2Sn+1,∴n=1 时,S1=a1=1;Sn>0,Sn+1≠0. 变形为:Sn+1+1=2(Sn+1) ,
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∴数列{Sn+1}是等比数列,首项为 2,公比为 2. ∴Sn+1=2n,于是 Sn=2n﹣1, ∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1,n=1 时也满足上式. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1,n∈N*. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,bn= ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3 , 显然 Tn 是单调递增数列,故当 n=1 时,Tn 取得最小值(Tn)min= . 又由函数 f(x)=﹣x2+2ax﹣a2+a﹣1=﹣(x﹣a)2+a﹣1,∴f(x)max=a﹣1, ∵Tn>f(x)对所有的 n∈N*和 x∈R 都成立, 由题意(Tn)min>f(x)max,即 >a﹣1,解得 a 即实数 a 的取值范围为 . , +… + = =3 .

=3

=3﹣

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2016 年 8 月 22 日

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