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与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习:第三章 导数及其应用 课时跟踪训练15含解析

课时跟踪训练(十五) [基础巩固] 一、选择题 1、 已知函数 f(x)=x2+2cosx,若 f′(x)是 f(x)的导函数,则函数 f′(x) 的图象大致是( ) [解析] 设 g(x)=f′(x)=2x-2sinx,g′(x)=2-2cosx≥0,所以函 数 f′(x)在 R 上单调递增、 [答案] A 2、若幂函数 f(x)的图象过点? 减区间为( ) B、(-∞,-2) D、(-2,0) ? 2 1? 1 ? 2? ?,所以 =? ?α,α , 2 ?2? 2? ? 2 ? 2 1? ,2?,则函数 g(x)=exf(x)的单调递 ?2 ? A、(-∞,0) C、(-2,-1) [解析] 设幂函数 f(x)=xα,因为图象过点? =2,所以 f(x)=x2,故 g(x)=exx2,令 g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)<0,得 -2<x<0,故函数 g(x)的单调递减区间为(-2,0)、 [答案] D 3.如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则下列判断中正确 的是( ) A、函数 f(x)在区间(-3,0)上是减函数 B、函数 f(x)在区间(-3,2)上是减函数 C、函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D、函数 f(x)在区间(-3,2)上是单调函数 [解析] 由图可知,当-3<x<0 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(-3,0)上是 减函数、故选 A. [答案] A 4、函数 f(x)=2lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( 2? ? A.?0,a? ? ? ? ?2 ? B、?a,+∞? ? ? ) 2? ? C.?-∞,a? ? D、(-∞,a) [ 解析 ] 2 2 由 f′(x) = x - a>0, 得 0<x<a . ∴ f(x) 的单调递增区间为 2? ? ?0, ?.故选 A. a? ? [答案] A 5、(2018· 江西临川一中期中)若函数 f(x)=x+alnx 不是单调函数, 则实数 a 的取值范围是( A、[0,+∞) C、(-∞,0) ) B、(-∞,0] D、(0,+∞) a [解析] 由题意知 x>0,f′(x)=1+x .要使函数 f(x)=x+alnx 不是 a 单调函数,则需方程 1+x=0 在 x>0 上有解,所以 a<0. [答案] C 6、(2017· 湖北襄阳模拟)函数 f(x)的定义域为 R.f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A、(-1,1) C、(-∞,-1) ) B、(-1,+∞) D、(-∞,+∞) [解析] 由 f(x)>2x+4,得 f(x)-2x-4>0.设 F(x)=f(x)-2x-4,则 F′(x)=f′(x)-2.因为 f′(x)>2,所以 F′(x)>0 在 R 上恒成立,所以 F(x) 在 R 上单调递增,而 F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不 等式 f(x)-2x-4>0 等价于 F(x)>F(-1),所以 x>-1,选 B. [答案] B 二、填空题 7、函数 f(x)=x2-ax-3 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值 范围是________、 [解析] f′(x)=2x-a, ∵f(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴2x-a≥0 在(1,+∞)上恒成立、 即 a≤2x,∴a≤2. [答案] (-∞,2] 1 8、 已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)<2,则不等 x2 1 式 f(x )< 2 +2的解集为________、 2 1 [解析] 设 F(x)=f(x)-2x, 1 1 ∴F′(x)=f′(x)-2,∵f′(x)<2, 1 ∴F′(x)=f′(x)-2<0, 即函数 F(x)在 R 上单调递减、 x2 1 x2 1 2 ∵f(x )< 2 +2,∴f(x )- 2 <f(1)-2, 2 ∴F(x2)<F(1), 而函数 F(x)在 R 上单调递减,∴x2>1, 即 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)、 [答案] (-∞,-1)∪(1,+∞) 9、已知函数 f(x)=ax-x3,若对区间(0,1)上的任意 x1,x2,且 x1<x2, 都有 f(x2)-f(x1)>x2-x1 成立,则实数 a 的取值范围是________、 [解析] 问题等价于函数 g(x)=f(x)-x 在区间(0,1)上为增函数,即 g′(x)=a-1-3x2≥0,即 a≥1+3x2 在(0,1)上恒成立,即 a≥4,所以实数 a 的取值范围是[4,+∞)、 [答案] [4,+∞) 三、解答题 x a 3 10、已知函数 f(x)=4+x-lnx-2,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点 1 (1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间、 1 a 1 [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)=4-x2-x ,由 f(x)在点(1,f(1))处的切 1 3 5 线垂直于直线 y=2x 知 f′(1)=-4-a=-2,解得 a=4. x2-4x-5 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)=4+4x-lnx-2,则 f′(x)= 4x2 . 令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去、 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(5,+∞)内为增函数、 综上,f(x)的单调增区间为(5,+∞),单调减区间为(0,5)、 [能力提升] ?π? ? π? 11、 已知函数 f(x)= xsinx,x ∈ R, 则 f?5? ,f(1),f?-3? 的大小关系为 ? ? ? ? ( ) ? π? ?π? A、

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