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《线性代数》课程教学大纲


《线性代数》课程教学大纲
Linear Algebra

课程代码:

课程性质:专业基础理论课/必修

适用专业:工科类各专业

总学分数:2.0

总学时数:32

修订年月:2016.01

编写年月:2016.01



笔:韩晓卓、李锋

课程简介(中文):
线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主, 具有较强的抽象性与逻辑性, 是数学的一个重要分支, 其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。 主要包括:矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。

课程简介(英文):
Linear Algebra is one of the important and basic courses for all kinds of majors in science, engineering and economic management. With strong abstractness and logic, it is the branch of mathematics, which mainly concerns with the linear theory of finite dimensional spaces. Its theory and methods have been widely used in other science fields. Its content includes matrices, determinants, linear equations, rank problems, eigenvalues and eigenvectors of matrix, quadratic form, etc.

一、课程目的
《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性 理论为主,具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习,使学生比较系统地获得线性代数中的 行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩,矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基 本理论和基本方法,培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力,同时使学生了解线性代 数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

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二、课程教学内容及学时分配
(一)教学内容

第一章 行列式(6 学时) 教学内容: 二阶三阶行列式; n 阶行列式的定义; 行列式的性质 (证明选讲) ; 行列式按行(列) 展开(定理 1.4 证明选讲,行列式按某 k 行(列)展开选讲) ;克莱姆法则。 本章的重点与难点: 重点:行列式的性质;行列式按一行(列)展开定理;克莱姆法则的应用。 难点:n 阶行列式的定义的理解; n 阶行列式计算。 第二章 矩阵(8 学时) 教学内容: 矩阵的概念;矩阵的运算(矩阵的加、减法;数乘;乘法;矩阵转置;方阵的幂; 方阵的行列式) ;几种特殊的矩阵(对角矩阵,数量矩阵,三角形矩阵,单位矩阵,对 称矩阵与反对称矩阵) ;分块矩阵(分块阵及其运算,分块对角阵) ;逆矩阵(可逆阵 的定义;奇异阵,伴随阵与逆阵的关系;逆阵的性质,二阶上三角分块阵的求逆方法) ; 本章的重点与难点: 重点: 矩阵的运算规律;逆矩阵的性质以及求法; 难点:矩阵的乘积及分块矩阵的乘积;逆矩阵(抽象矩阵的逆矩阵)的求法。

第三章 教学内容:

矩阵的初等变换与线性方程组(7 学时)

矩阵的初等变换(初等矩阵定义;初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换 求矩阵的逆) ;矩阵的秩(矩阵的秩的定义;矩阵的秩与其子式的关系;初等变换求矩 阵的秩) 。线性方程组的消元解法(消元解法与初等行变换的关系;线性方程组有唯一 解、无穷多组解和无解的讨论;线性方程组有解的判别定理;齐次线性方程组有非零 解的充分和必要条件) ; 本章的重点与难点:

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重点:利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩;利用初等变换求线性方程组的 通解。 难点:利 用初等变换求线性方程组的通解。

第四章 教学内容:

向量组的线性相关性(7 学时)

;向量间的线性关系(线性 n 维向量空间( n 维向量的定义;向量的加法与数乘运算) 组合;线性相关与线性无关;关于线性组合与线性相关的定理;向量组的秩;矩阵的 行秩与列秩) ;线性方程组解的结构(齐次线性方程组解的结构;非齐次线性方程组解 的结构) ; 本章的重点与难点: 重点:向量间的线性关系的重要结论;用初等变换求向量组的极大无关组与秩 ;齐次 与非齐次线性方程组解的结构; 难点: 利用向量间线性关系的重要结论证明有关问题;非齐次线性方程组解的结构;

第五章 教学内容:

相似矩阵及二次型(4 学时)

矩阵的特征值与特征向量(矩阵的特征值和特征向量的定义;特征方程;特征值, 特征向量的求法及有关性质) ;相似矩阵(相似矩阵及其性质;n 阶矩阵与对角矩阵相 似的条件;实对称矩阵的特征值和特征向量(向量内积的定义,向量的长度;正交向 量组(施密特正交化过程) ;正交矩阵的定义及其性质,实对称矩阵的特征值和特征向 量。利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵) ;二次型与对称矩阵(二次型及其矩阵; 二次型的标准形;合同矩阵) ;二次型与对称矩阵的标准形(用配方法化二次型为标准 形;用初等变换法化二次型为标准形(选讲) ;用正交变换法化二次型为标准形;二次 型与对称矩阵的规范形) ;二次型与对称矩阵的有定性(正定二次型,正定矩阵及其性 质) 本章的重点与难点: 重点:矩阵的特征值与特征向量的概念、性质与求法 ; 实对称矩阵对角化的方法; 用正

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交变换法以及配方法化二次型为标准形;

难点: n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件;利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。

(二)学时分配
本课程的教学时数为 56 学时,课内外学时比例为 1:2,课内学时 32 分配如下表: 序号 1 2 3 4 5 内 容 行列式 矩阵 学 时安 排 理论课时 5 6 6 6 4 习题课时 1 2 1 1 0 6 8 7 7 4 小计

矩阵的初等变换与线性方 程组 向量组的线性相关性
相似矩阵及二次型

三、课程教学的基本要求
1.行列式 本章的教学目标与教学要求: 知道排列的逆序及逆序数的概念。从二阶、三阶行列式的展开式的特征出发,了 解 n 阶行列式的定义;熟悉行列式的性质并能熟练地运用它们进行行列式的计算;知 道行列式按行(列)展开定理;并能用它们计算行列式;掌握克拉默( Cramer )法则, 会用克拉默法则求解相应的线性方程组。
2.矩阵

本章的教学目标与教学要求: 理解矩阵的概念。了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等特殊的矩 阵;熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置以及方阵的幂等概念及相应的运算规律; 理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件,熟练掌握逆矩阵的性质以及用伴随矩阵求逆 矩阵的方法。能利用逆矩阵解简单的矩阵方程; 了解分块矩阵及其运算。知道分块矩 阵在线性代数中的作用。能用分块矩阵讨论简单的线性代数问题。

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3. 矩阵的初等变换与线性方程组

本章的教学目标与教学要求: 理解矩阵的初等变换的概念,掌握矩阵的初等变换的性质;熟悉初等矩阵的概念 与性质,掌握用初等变换求逆矩阵的方法;理解矩阵的秩的概念,会用初等变换求矩 阵的秩。 理解线性方程组有唯一解、无穷多组解以及无解的充要条件与齐次线性方程 组有非零解的充要条件;熟练掌握用初等变换法求线性方程组通解的方法。

4. 向量组的线性相关性

本章的教学目标与教学要求: 理解 n 维向量的概念、 n 维向量间的线性关系(线性相关与线性无关、一个向量 由一组向量线性表出)的概念,掌握关于向量间的线性关系的重要结论;理解向量组 的极大无关组与向量组的秩的概念,掌握关于向量组的极大无关组与秩的主要结论, 了解向量组的秩与矩阵的秩的关系;熟练掌握用初等变换法求向量组的极大无关组与 秩的方法。理解解向量、齐次线性方程组的基础解系、通解以及非齐次线性方程组的 通解与特解等概念。掌握齐次与非齐次线性方程组解的结构;理解向量空间、子空间、 向量空间的基、维数、坐标和自然基的概念。

5. 相似矩阵及二次型

本章的教学目标与教学要求: 理解内积、正交以及规范正交基等概念;掌握线性无关向量组的正交化、单位化 方法。 理解正交矩阵的概念及其性质;理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其 性质与求法;理解相似矩阵的概念及性质以及 n 阶方阵能相似于对角矩阵的充要条 件;了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。掌握实对称矩阵对角化的方法;理 解实二次型和它的矩阵、秩等概念。理解二次型的标准形与规范标准形的概念。掌握 用正交变换法以及配方法化二次型为标准形。了解惯性定理。理解正定二次型与正定 矩阵的概念及其性质。掌握正定二次型的判别方法。

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四、本课程与其它课程的联系与分工
先修课程: 高等数学; 后续课程:作为基础课,它是许多后继课,如概率、统计学原理、应用数理统计等其他专业 基础课和专业课的基础。

五、教材与主要参考文献 建议教材: [1] 同济大学数学教研室编. 线性代数(第六版). 高等教育出版社,2014 年 6 月. [2] 郝志峰 等,线性代数(修订版) ,高等教育出版社, 主要参考文献: [1] 同济大学数学教研室编.线性代数附册 学习辅导与习题全解,高等教育出版社, 2014 年 7 月. [2] 郝志峰 著. 线性代数学习指导与典型例题, 高等教育出版社,2006 年 9 月. [2] Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications (6th Edition), 2002 , 影印版‘线性代数’ ,机械工业出版社,2004,ISBN 7-111-15216-6, pp545,机械工 业出版社影印 [3] David C. Lay, Linear Algebra and Its Application(3rd Edition), 2004, ISBN:

0201709708, pp492+76, 电子工业出版社影印

六、考核形式与成绩计算 考试采用闭卷形式。平时成绩(包括平时考勤、作业等)共占 20%-30%,期末考试 占 70%-80%。

注:1、 “课程代码”由教务处教研科统一填写; 2、 “课程性质”按培养方案的“课程性质”及“必/选修”两栏填写; 3、 “适用专业”按招生简章填写;

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