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高中数学人教A版必修5《2.5等比数列的前n项和1》课件_图文

2.5 等比数列的前n项和(一) 1 复习回顾 1、等比数列的定义: an+1 an =q . (q=0) 2、等比数列的通项公式: a = a q n-1 n 1 3、等比数列的性质: (1) 若 a , G , b成等比数列 G 2=a b (2) 在等比数列中若 m+n = p+q , 则 ama n= a p aq 4 国王奖励国际象棋发明者问题 国王 ,我希望在第1个格子里放1颗麦粒,第2个格 子里放2颗,第3个格子里放4颗 ,如此下去,每个 格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,第64个格子 63 放2 颗麦粒,请给我足够的麦粒来实现 1 2 2 2 2 2 2 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 没问题 !!! 2 2 2 2 2 2 2 2 16 17 18 19 20 21 22 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 40 48 24 13 14 15 2 7 2 2 2 25 2 2 2 26 2 2 2 27 2 2 2 28 2 29 30 2 31 2 . 32 33 34 35 36 2 2 37 2 2 38 2 2 39 .. 41 42 43 44 52 45 53 46 54 47 .. 2 2 2 2 2 2 2 2 56 57 58 59 60 61 562 63 2 2 2 2 2 2 2 2 .. .. 49 50 51 55 …… 63 1+2+4+8+ +2 =? 6 64 2 -1 超过7000亿吨 7 二、新课讲解: 即 S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 , 2 3 63 ① 2S ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 , 2 3 63 64 ② ②-①得 2S ? S ? 264 ? 1, 即 S ? 2 64 ? 1. 由此对于一般的等比数列,其前 n 项和 Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ,如何化简? 2 8 n?1 (三)方法回顾 等差数列求和公式的推导 数列{an }为等差数列,其前n项和为Sn Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ① Sn ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1 ② 根据①式,如何构造另一个式子②? 把这两个式子怎么样? ① + ② 得: 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 ) n(a1 ? an ) ? 2Sn ? n(a1 ? an ) Sn ? 2 倒序相加 的目的:出现相等的项,从而化简 9 (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ? 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 解析1:找个具体的等比数列来检验 Sn ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 Sn ? 16 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 2Sn ? (1 ? 16) ? (2 ? 8) ? (4 ? 4) ? (8 ? 2) ? (16 ? 1) ? 17 ? 10 ? 8 ? 10 ? 17 每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简10 ! (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ? 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 解析2:一般地,对于等比数列,因为: 所以 (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 ) ? n(a1 ? an ) 无法化简 11 (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 2 n?2 n ?1 S nS ? ?? a1 q2 ? ?? a1q ? ? ?a an1q ? a ?a ? ? a1q ① 1 a1 na n? 1? ? 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 反思:对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法。 而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。 问题2:求和的根本目的是什么? 答:求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首 项和公比来表示。 12 (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 2 n?2 n ?1 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ? a1q ① qS n ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q 2 3 n ?1 ? a1q n ② 问题3:观察求和的式子①,相邻两项有什么特征? 怎样把某一项变成它的后一项? 后项=前项×公比 问题4:类比等差数列求和方法,需要构造另一个式子 相同的项 ②,而要达到消项的目的,就须使两式具有____ 问题5:如何构造式子②? 将式子①的两边都乘以 q 问题6:为了消项,接下来将这两个式子怎么样?相减 13 (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q 2 n?2 ? a1q n ?1 ① ② qS n ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q 2 3 n ?1 ? a1q n n ① - ② 得: ?1

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