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高考复习——函数1


户县高考补习学校数学基础知识辅导资料

专题一

函数

考点一:由函数的概念判断是否构成函数
函数概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数。 例 1. 下列图像中,是函数图像的是( ) y y y y
O

O

X

O

X

O

X

X

① ② 例 2. 下列式子能确定 y 是 x 的函数的有( ① x ? y =2
2 2

③ ) ③y= x ? 2 ? 1 ? x D、3 个



② x ?1 ? B、1 个

y ?1 ? 1

A、0 个

C、2 个

考点二:同一函数的判定
函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 3. 下列哪个函数与 y=x 相同( 变式 1.下列函数中哪个与函数 y ? A. y ? x ? 2 x ) A. y= x
? 2 x 相同(
3

B. y ? )

x ??? C. y ?
2

?

x

?

2

D.y=t

B. y ? ? x ? 2 x

C. y ? ? x ? 2 x

3

D. y ? x

2

?2 x

变式 2 下列各对函数中,图象完全相同的是( ) 。 (A)y=x 与 y= x (C )y=(
2

2

( B)y=

x x

与 y=x

0

x ) 与 y=| x|

(D)y= x ? 1 ?

x ? 1 与 y= ( x ? 1)( x ? 1)

考点三:求函数的定义域
1、分式的分母≠0. 2、偶次方根的被开方数≥0. 3、零次幂或负指数幂的底数≠0. 4、对数函数的真数>0. 5、指、对数函数的底数>0且≠1. 6、实际问题中函数的定义域 例 4. 求函数 y ?
lo g 0 .5 ? 4 x ? 3 x ? 的定义域
2

例 5. 函数 f ( x ) =
kx

kx ? 7
2

? 4 kx ? 3

的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是
3 4


3 4



A.0≤ k <

3 4

B.0< k <

C. k <0 或 k >

3 4

D.0< k ≤

1

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变式 1. 函数 y=

1 1? 1 x

的定义域是(

) 。

A、{x| x∈R, x≠0}

B、{x| x∈R, x≠1}

C、{x| x∈R, x≠0,x≠1 } D、{x| x∈R, x≠0,x≠-1} 变式 2.(2008 全国高考卷Ⅰ,文 1)函数 y= 1-x+ x的定义域为( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1 或 x≤0} D.{x|0≤x≤1} 变式 3. 函数 f ( x ) ?
1? x x ? 1? x ?
8?2
x

x ? 1 的定义域是_____________ .

变式 4。求定义域 (1) f ( x ) ?

lo g 2 (3 x ? 1)

;



y ?

? x ? 1?

0

x ? x

(3 y ?

3x

2

1? x

? lg ? 3 x ? 1 ?

求复合函数的定义域:①定义域一定是 x 的范围 ②对于 f( )( )内的范围相同 ,
例 6.函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 f(x+1)的定义域是________. 例 7. 已知函数 f( 2 x ? 1 )定义域为 ? ? 1, 3 ? , 求 f(x)的定义域 变式 1. 已知函数 f( x ? 1 )的定义域为[ 0,3 ],求 f(x)的定义域 变式 2. 已经函数 f(x)定义域为[ 0 , 4], 求 f ? x (A) ?? 1,3 ? (B) ?? 2 , 2 ?
2

? 的定义域
(D) ?? 3 , 9 ?

3. 若函数 y ? f ( 3 x ? 1) 的定义域为 ?? 1,3 ? ,则 y ? f ( x ? 1) 的定义域为( ) (C) ?? 5 , 7 ?

考点四:求函数的值域与最值
例 8.求下列函数的值域 ①y

=

1 x

y = 3—

x

( 观察法:简单的函数 )

② y ? x ? 4 x ? 6 ,x∈ ?1, 5 ?
2

( 配方法 :形如 y ? a x ? b x ? c )
2

③ y ? 2x ?

x ?1

( 换元法:形如 y ? a x ? b ?

cx ? d

)

④y ?

x x ?1

( 分离常数法:形如 y ?

cx ? d ax ? b

)

⑤y ?

x
2

2

x ?1

( 判别式法:形如 y ?
2

a 1 x ? b1 x ? c1
2

a 2 x ? b2 x ? c 2
2

)

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练习 1.已知函数 f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数 f(x)的值域为__________. 2. (2010 年高考山东卷 3)函数 f ? x ? ? lo g 2 ? 3 ? 1 ? 的值域为
x

A.

? 0, ? ? ?

B.

?0, ?? ? ?
x

C.
1 6 ? 4 的值域是

? 1, ? ? ?

D. ?1, ? ? ? ? (D) (0, 4 )

3. (2010 年高考重庆卷 4)函数 y ? (A) [0, ? ? ) 4.函数 y ? 5. 函数 f(x)= (A)R (B) [0 , 4 ]
2 3 ? 2 x ? x 的值域为

(C) [0 , 4 )

?

2x ? x 2 x ? 6x
2

(0 ? x ? 3) 的值域是( (?2 ? x ? 0)



(B)[-9,+ ? ) 1 6.函数 y= 2 的值域为( ) x +2

(C)[-8,1] A.R

(D)[-9,1] 1 1 B.{y|y≥ } C.{y|y≤ } 2 2

1 D.{y|0<y≤ } 2

考点五:求函数的解析式
一. 换元法 题 1.已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式.
变式 1.若 f ( ) ?
x 1 x 1? x 1

,求 f ( x ) .

二.

配凑法
1 x
2

题 2.已知 f ( x ? ) ? x 2 ?
x

2

, 求 f ( x ) 的解析式

变式 2. 已知 f(x+1)= x ? 2 x ? 3 ,求 f(x)的解析式.

三.待定系数法
) 题 3。 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ( a ,b 是常数, a ? 0 ) f 2 0 ? 且 , (
2

, 且方程 f ( x ) ? x 有两个相 等

的实数根.

(1)求 f ( x ) 的解析式;

( 2 )求函数的最值。

练习 3. 设二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( ? x ? 2 ) ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的 线段长为 2 2 ,求 f ( x ) 的表达式.

四.解方程组法 题 4.设函数 f ( x ) 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 3 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 4 x ,
x 1

求 f ( x ) 的解析式. 练习 4.已知 f(x) ? 2 f( ? x)= x ,求函数 f(x)的解析式
3

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六.利用给定的特性求解析式. 题 5.设 f ( x ) 是偶函数,当 x>0 时, f ( x ) ? e ? x 2 ? e x ,求当 x<0 时, f ( x ) 的表达式.

练习 5.对 x∈R, f ( x ) 满足 f ( x ) ? ? f ( x ? 1) ,且当 x∈[-1,0]时, f ( x ) ? x 2 ? 2 x 求当 x∈ [9,10]时 f ( x ) 的表达式.
1.如果函数 y ? f ( x ) 的图象与函数 g ( x ) ? 3 ? 2 x 的图象关于坐标原点对称,则 y ? f ( x ) 的表达式为( ) A. y ? 2 x ? 3 B. y ? 2 x ? 3 C. y ? ? 2 x ? 3 D. y ? ? 2 x ? 3 2 2.若二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(4,0)两点,函数的最大值为 9,则这个二次 函数的表达式是________________.
3. 已知:

f ( x) ? ? ,则 f ( x ) ? (
2



A. ?

2

B. ?

C. ?

D.不确定

考点六:函数的求值
1. (2010 年高考山东卷 5) f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) 设 当 ,
x

则 f ( ? 1) ?

(A)-3

(B)-1

(C)1

(D)3
1 9

2. (2010 年高考湖北卷 3)已知函数 f ( x ) ? ?
1 4

? lo g 3 x , x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?
1 4

A.4

B.

C.-4
? 3 x ? 2, x ? 1, ? x ? a x , x ? 1,
2

D-

3. (2010 年陕西)已知函数 f(x)= ?

若 f(f(0) )=4a,则实数 a=

.

4.(2008 浙江高考,文 11)已知函数 f(x)=x2+|x-2|,则 f(1)=________. ? 2 ?x +1,x≤0, 5.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=17,则 x 等于… ( ) ?-2x,x>0. ? A.4 B.-4 C.4 或-4
?2 x ? 1 ( x ? 0) ? 2
( x ? 0)

17 D.4 或-4 或- 2 则 g ( ? 1) ? g [ f (1)] ? __ ____.

6.已知函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=4,则 a=________.
2 7.已知函数 f ( x ) ? ? x ? 3 x , g ( x ) ? ?

8.

f ( x ) ? x ? x ? 1 ,则 f ( 2 ) = _______ __; f ( f ( 2 )) ? _________
2 2

9. 已知 f ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 x ,则 f

? 2??


2

? ?1-x ,x≤1, 1 10.(2008 山东高考,文 5)设函数 f(x)=? 2 则 f[ ]的值为… ( ) f(2) ? ?x +x-2,x>1, 15 27 8 A. B.- C. D.18 16 16 9

4

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考点七:函数的单调性与奇偶性
1、 函数单调性:①根据定义(抽象函数) ②根据图像直观判断(要求对基本函数的图像熟悉) ; ③根据导数判断 :导数>0,则为增函数;导数<0,则为减函数。 2、函数奇偶性:前提条件:定义域关于原点对称.★★★ f (-x)= -f (x) f (-x) = f (x) 偶函数 图象关于 y 轴成轴对称 ★★判断函数奇偶性步骤:① 函数定义域; 若定义域不关于原点对称则为非奇非偶函数② 求 f(-x); ③ 判断 f(-x)与 f(x)间的关系; ④ 作结论. ★★重要结论:若 f(x)为奇函数,且定义域中含有 0,则 f(0)=0
1

? ?

奇函数

? ?

图象关于原点成中心对称

1.(2010 年高考北京卷 6)给定函数① y ? x 2 , ② y ? lo g 1 ( x ? 1) , ③ y ? | x ? 1 | ,
2

④ y ? 2 ,期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D )①④ 2.下列四个函数:① y ?
x x ?1

x ?1

; ② y ? x 2 ? x ; ③ y ? ? ( x ? 1) 2 ; ④ y ?

x 1? x

?2,

其中在 (- ? ,0 ) 上为减函数的是( ) 。
(A)① (B)④ (C)①、④ (D)①、②、④
2 3. (2010 年高考天津卷 6)设 a ? log 4, b ? log 3 ), c ? log 5 , 则 ( 5 5 4 (A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c

3 5 2 5 2 5 a ? ( ) ,b ? ( ), c ? ( ) 5 5 5 4.(2010 年安徽卷 7)设 ,则 a,b,c 的大小关系是

2

3

2

(A)a>c>b

(B)a>b>c
2

(C)c>a>b

(D)b>c>a

5.函数 y ? log

0 .1

( 6 ? x ? 2 x ) 的单调增区间是________
2

利用函数的奇偶性求值 例 2..已知 f ( x ) ? ax ? bx ? 3 a ? b 是偶函数,定义域为 [ a ? 1, 2 a ] .则 a ? 7.如果定义域在区间 ? 3 ? a , 5 ? 上的函数 f ( x ) 为奇函数,则 a ? ,b ? .

例 3. 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=____ 例 4. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,则 f ( 0 ) =___;若有 f ( ? 2 ) ? 3 ,则 f ( 2 ) ? ___; 若 f ( 5 ) ? 7 ;则 f ( ? 5 ) ? ___; 例 5.已知函数 f ( x ) ? a ?
1 2 ?1
x

( x ? R ) ,若 f ( x ) 为奇函数,则 a ? ___;

5、设函数 f(x)=x(ex +ae-x)(x ? R)是偶函数,则实数 a=________________
2. (2010 年高考山东卷 5) f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) 设 当 ,
x

则 f ( ? 1) ? (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 利用函数的奇偶性和单调性比较值的大小 例 6.若 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是: (
A . f ( ? 2 ) ? f ( 0 ) ? f (1)
C . f (1) ? f ( 0 ) ? f ( ? 2 )
B . f ( ? 2 ) ? f (1) ? f ( 0 ) D . f (1) ? f ( ? 2 ) ? f ( 0 )



三、利用奇偶性求函数解析式 1:若 f ( x ) 是定义在(-∞,0) ? (0,+∞)上的奇函数,当 x<0 时, f ( x ) ? x (1 ? x ) ,求当 x ? 0 时, 函数 f ( x ) 的解析式。

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2. 设 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)= -x,求 f(x)和 g(x)的表达式

3.下列命题中,真命题是( ) A.函数 y ?
1 x

是奇函数,且在定义域内为减函数

B.函数 y ? x 3 ( x ? 1) 0 是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数 y ? x 2 是偶函数,且在( ? 3,0)上为减函数 D.函数 y ? ax 2 ? c ( ac ? 0) 是偶函数,且在(0,2)上为增函数 4.(2010 年高考山东卷文科 10)观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (co s x ) ? ? sin x ,由归纳推理可得:
2 ' 4 ' 3 '

若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ,记 g ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,则 g ( ? x ) = (A) f ( x ) (B) ? f ( x )
x

(C) g ( x )
?x

(D) ? g ( x )
x ?x

5. (2010 广东卷文科 3)若函数 f ( x ) ? 3 ? 3 与 g ( x ) ? 3 ? 3 的定义域均为 R,则 A. f ( x ) 与 g ( x ) 与均为偶函数 B. f ( x ) 为奇函数, g ( x ) 为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x ) 与均为奇函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x ) 为奇函数 抽象函数问题:赋值法
  知f 5. 已 ? f

? x ? 的 定 义 域 为 R , 对 任 意 x、 y ?
f

R, 有 f

?x

? y?

?x? ?

? y ?, 且 当 x

? 0时 , f

?x?

? 0, f

?1 ?

? ? 2.

?1 ? 证 明 : f ? x ? 是 奇 函 数 ; ?2?证 明 : f ? x?在 R上 是 减 函 数 ; ? 3 ? 求 f ? x ? 在 区 间 ? ? 3, 3 ? 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .

2.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 都满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 求(1)求 f ( 0 ) (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明 (3)解不等式 f ( a ? 4 ) ? f ( 2 a ? 1) ? 0

考点八:函数的周期性
例 1 函数 若
f

? x ? 对于任意实数 x 满足条件

f

f

? x ? 2? ?

1 f

f ? 1 ? ? ? 5,

? f ? 5 ? ? ? _______________。

?x? ,

例 2 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1

(D)2

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考点九:函数的图像与对称性
在高中,主要学习了三种图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向左(b>0)或向 y 右(a<0)平移|a|个单位而得到; 函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到. (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A>0,A≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A< 1)成原来的 A 倍,横坐标不变而得到. 函 数 y=f( ω x)( ω > 0 , ω ≠ 1) 的 图 象 可 以 通 过 把 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 而得到. (3)对称变换 函数 y=-f(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到. 函数 y=f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到. 函数 y=-f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到. 函数 y=f-1(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称的图形而得到。 函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 y 轴右方的图象及其与 y 轴对称的图形而得到. 函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象,然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上 方,其余部分保持不变而得到.
1. (2010 年高考山东卷 11)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是
x 2

2. (2010 年高考湖南卷 8)函数 y=ax2+ bx 与 y= lo g b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像
| | a

可能是

3 . (2010 年高考四川卷 2)函数 y=log2x 的图象大致是

(A)

(B)

(C)
2

(D)

4.(2010 年高考安徽卷 6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的图像可能是

函数与方程、 零点 、根存在定理
? x 2 + 2 x -3 ,x ? 0 f 1. (2010 年高考福建卷 7)函数 ( x )= ? 的零点个数为 ( ? -2 + ln x ,x > 0
7

)

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A.3 B.2 C.1 D.0 x 2. (2010 年高考天津卷 4)函数 f(x)= e ? x ? 2的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 3. (2010 年高考浙江卷 9)已知 x 是函数 f(x)=2x+
x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则
1 1? x

的一个零点.若 x 1 ∈(1, x 0 ) ,

(A)f( x 1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x 1 )>0,f( x 2 )<0 (A) (0,1).

(B)f( x 1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x 1 )>0,f( x 2 )>0 ) (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)
x

4. (2010 上海卷 17)若 x 0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x 0 属于区间( (B) (1,1.25).

【变式】1、 (2010 天津理) (2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)

考点十:函数的反函数
1. 反函数的性质: -1 (1)函数 y=f(x)的定义域是它的反函数 y=f (x)的值域 -1 (2)函数 y=f(x)的值域是它的反函数 y=f (x)的定义域 -1 (3)互为反函数的两个函数 y=f(x)与 y=f (x)在同一直角坐标系中的图象关于直线 y=x 对称. -1 (若点 M(a,b)在 y=f(x)图象上,则 M’ (b,a)必在 y=f (x)图象上) -1 (4)函数 y=f(x)与 y=f (x)的单调性相同。 只有一 一对应的函数或单调的函数才存在反函数。 (5)如果函数 y=f(x)的图象本身关于 y=x 对称,那么它存在反函数,并且其反函数是它本身。 2.求反函数的步骤: (1)求出 y=f(x)的值域即反函数的定义域. -1 -1 (2)由 y=f(x) ,反解出 x 得到 x=f (y).(3)把的 x、y 对换位置,得到 y=f (x).
例 1 已知函数 例 2 设函数

y ? e

x

的图象与函数 的反函数为

y ? f
y ? f

? x ? 的图象关于直线 y
?1

? x

对称,则 f(x)=
( 1 , 1)

y ? f (x)

( x)

,且

y ? f ( 2 x ? 1)

的图像过点 2

,则

y ? f

?1

( x)

的图像必过

(1, 0 ) 2 (A) 2 (B) (C) 例 3 函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是

(

1

,1)

(1,

1

)

(D)

(0,1)

(A)

(B)

(C)

(D)

1 .(2010 年高考江西卷 8)若函数 y ?

ax

A.1 B. ? 1 D.任意实数 2. (2010 年高考全国卷Ⅱ4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A)y= e
x ?1

1? x C. ? 1
x ?1

的图像关于直线 y ? x 对称,则 a 为

-1(x>0)

(B) y= e

+1(x>0)

(C)

y= e

x ?1

-1(x ? R)

(D)y= e

x ?1

+1 (x ? R) 。

3. (2010 年高考上海卷 9)函数 f ( x ) ? log 3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是

8

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考点十一:二次函数与一元二次不等式
探讨二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间, 设 f ? x ? ? ax
2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? ,则二次函数在闭区间 ?m , n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:
m ? n ? ? b 2a m ? ? b 2a ? n 即? b 2a ? ?m , n ? ? b 2a ? m ? n

图 象

值最 大 最 小

f

? x ? max ? x ? min

? f

?m ? ?n ?

f

? x ? max ? x ? min

? max

? f ? n ?,

f ? m ??

f

? x ? max ? x ? min

? f ?n ? ? f ?m

f

? f

f

b ? ? ? f ?? ? 2a ? ?

f

?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ? (2)若 ?

? ? ? ? ? b ? ? b ? ? ?m , n ? ,则 f ? x ? max ? max ? f ? m ?, f ? ? ? , f ? n ?? , f ? x ? min ? min ? f ? m ?, f ? ? ? , f ? n ?? 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? ?
b b 2a ? ?m , n ? ,则 f ? x ? max ? max

? f ? m ?, f ? n ?? ,

f ? x ? min ? min

? f ? m ?, f ? n ??

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时, 自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小。 1. (2010 年高考四川卷 5)函数 f ( x ) ? x ? m x ? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是
2

(A) m ? ? 2 2 若函数
2

(B) m ? 2

(C) m ? ? 1

(D) m ? 1 的取值范围是 A

f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 ( ?? , 4 ) 上是减函数,那么实数 a
Ba
2

a ?3
3若

? ?3
2

Ca

? ?3

Da

?5
_____ ) D. ? 6 4, ? ? ? 。 ) D. ( ?? ,1) )

f ( x ) ? ax ? bx ? 3 a ? b 是偶函数,且定义域为 [ a ? 1, 2 a ] 则 a ?
B. [ 4 0, 6 4 ]
2

b ?

_____

4. 若函数 f ( x ) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 8] 上是单调函数,则实数 k 的取值范围是( A. ? ? ? , 4 0 ? C. ? ? ? , 4 0 ? ? ? 6 4, ? ? ? 值,最值为

5.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ,则函数有最 6.函数 y ? x
2

? x ? 2 在下列哪个区间上是的单调减函数(

A. ( 0 , ?? )

B. ( ?? , 0 )

C. (1, ?? )

7.设α ,β 是方程 x2-2mx+1-m2=0 (m∈R)的两个实根,则α 2 + β 2 的最小值( A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 8.若函数 f ( x ) ? ( k ? 2 ) x ? ( k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是
2

9.若 y = ax,

y =-

b x

在 ( 0 , ?? ) 上都是减函数,则 y ? ax ? bx 在 ( 0 , ?? ) 上是
2
2
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函数

10.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 2, x ? ? ? 5, 5 ?

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(1) 当 a ? ? 1 时,求函数的最大值和最小值;

11.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 [0 , a ] ( a ? 0 ) 上的最大值为 3,最小值为 2,求实数 a 的取值范围.

9

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考点十二:指数函数与对数函数
一、指数与对数
a
0

? 1( a ? 0 )

a

?p

?

1 a
p

m

a

n

?

n

a

m

a ?a
r

s

? a

r?s

(a ) ? a
r s
b

r ?s

(a ? b) ? a ? b
r r

r

对数定义:如果 a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a 的对数,记作 log
log
10 a

? N ,那么数 b 称以 a 为底 N
N 记作 ln N
log a N

N ? b , 其中 a 称对数的底,N 称真数.

1)以 10 为底的对数称常用对数,
e

N 记作 lg N ,2)以无理数 e ( e ? 2 . 7182 ? ) 为底的对数称自然对数, log l o ga 1 ? 0 ,
l o ga M N

1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ,

l o ga a ? 1 ,

4)对数恒等式: a

? N

log a ( MN ) ? log
④换底公式: log

a

M ? log
N ? log log

a

N
N a

? l o ga M ? l o ga N ;

log

a

M

n

? n log
n

a

M
b.

m m

a

1) log

a

b ? log

b

a ? 1,

2) log

a

m

b

?

n m

log

a

二、指数函数与对数函数
1.指数函数:①定义:函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 称指数函数,
x

1)函数的定义域为 R, 2)函数的值域为 ( 0 , ?? ) , 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数. 1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限, 2)当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向右无限接近 x 轴) , 3)对于相同的 a ( a ? 0 , 且 a ? 1) ,函数 y ? a 与 y ? a
x ?x

的图象关于 y 轴对称.

③函数值的变化特征:

0 ? a ?1

a ?1

① x ? 0时 0 ? y ? 1 , ② x ? 0时 y ? 1 , ③ x ? 0时 y ? 1

② x ? 0时 y ? 1 , ② x ? 0时 y ? 1 , ③ x ? 0时 0 ? y ? 1 ,

2.对数函数:①定义:函数 y ? log 1)函数的定义域为 ( 0 , ?? ) , 4)对数函数 y ? log

a

x ( a ? 0 , 且 a ? 1) 称对数函数,

2)函数的值域为 R,
x

3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数,
a

x 与指数函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 互为反函数.

1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限, 2)当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无限接近 y 轴). 4)对于相同的 a ( a ? 0 , 且 a ? 1) ,函数 y ? log
0 ? a ?1
a

x 与 y ? log

1 a

x 的图象关于 x 轴对称.
a ?1

① x ? 1时 y ? 0 , ③函数值的变化特征: ② x ? 1时 y ? 0 , ③ 0 ? x ? 1时 y ? 0 .

① x ? 1时 y ? 0 , ② x ? 1时 y ? 0 , ③ x ? 0时 0 ? y ? 1 .

1.2log510+log50.25=

(A)0

(B)1

(C) 2 A.4
10

(D)4 B.
1 4

? lo g 3 x , x ? 0 1 2.已知函数 f ( x ) ? ? x ,则 f ( f ( )) ? 9 ?2 , x ? 0

C.-4

D-

1 4

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3、 y ? A.(
3 4

1 lo g 0 .5 ( 4 x ? 3)

的定义域为
3 4

,1)

B(

,∞)
y ?

C(1,+∞)
lo g 0 .5 ( 4 x ? 3 x )
2

D. (

3 4

,1)∪(1,+∞)
3x
2

x 4、求定义域 f(x)= 1 ? 2

3、 f ( x ) ?

1? x

? lg( 3 x ? 1)

5.函数 y ?

1 6 ? 4 的值域是()
x

(A) [0, ? ? )

(B) [0 , 4 ] (C) [0 , 4 )

(D) (0, 4 )

6. f ? x ? ? lo g 2 ? 3 x ? 1 ? 的值域为( ) A.

? 0, ? ? ?

B.

?0, ?? ? ?

C. ? 1, ? ? ?
2 5

D. ?1, ? ? ? ?

( 7. (2010 年高考天津卷 6)设 a ? log 5 4, b ? log 5 3 ), c ? log 4 , 则 (A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c 8. (2010 年高考浙江卷 2)已知函数 f ( x ) ? lo g 1 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, ? = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

9. (2010 年高考辽宁卷 10)设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 a

?

1 b

? 2 ,则 m ?

(A) 1 0

(B)10
3 5

(C)20
2

(D)100
3

5 5 5 10.(2010 年高考安徽卷 7)设 a ? ( ) ,b ? ( ), c ? ( ) ,则 a,b,c 的大小关系

2

2

2

5

5

( A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a 11.(2010 年高考陕西卷 7)下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y)”的是 (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数 32. 2010 年高考全国Ⅰ卷 10)设 a ? lo g 3 2, b ? ln 2, c ? 5 ( (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a
?2
1



(C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

考点十三:导数及其应用
1、导数的几何意义:函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x ) 在点
处的切线的斜率。会求切线方程

( x 0 , f ( x 0 ))

2、常用的导数公式: ⑴ C ' ? 0 (C 为常数);
⒊导数的运算法则:① ( u ? v )' ? u '? v ' ;

⑵(x

n

)' ? nx
'

n ?1

( n ? Q );
(v ? 0 ) .

② ( uv )' ? u ' v ? uv ' ;

③ ? u ? ? u ' v ? uv ' ? ? 2
? v ? v

3、用导数函数单调区间:
(3)解不等式 f
'

(1)求函数的定义域
'

(2)求导数 f ' ( x ) ; ②导数 f ' ( x ) =0 的根;

( x ) >0,得增区间;解不等式 f

( x ) <0 得减区间
( x)

4、求可导函数极值的步骤:
③列表,用根判断 f
'

①求导数 f

'

( x ) 在方程根左右的值的符号,确定 f ( x ) 在这个根处取极大值还是取极小值。
(1)
f ( x ) 在( a , b )内的极值;

5、求闭区间[a,b]上函数的最大值与最小值:
4 e ?1
x

(2)将 f ( x ) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b ) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 6. (2010 辽宁卷 12 )已知点 P 在曲线 y ? 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是

11

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(A)[0,

?
4

)

(B) [

? ?
, 4 2

)
2

(C) (

? 3?
, 2 4

]

(D) [

3? 4

,? )

7. (2010 年高考宁夏卷 4)曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (A) a ? 1, b ? 1 (B) y ? ? x ? 1
2

(C) y ? 2 x ? 2 (C) a ? 1, b ? ? 1
3

(D) y ? ? 2 x ? 2 (D) a ? ? 1, b ? ? 1

8. (2010 全国卷 7)若曲线 y ? x ? a x ? b 在点 (0, b ) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 则 (B) a ? ? 1, b ? 1

9. (2010 年高考天津卷 20)已知函数 f(x)= a x ?

3 2

x ? 1( x ? R ) ,其中 a>0.
2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程;

10. (2010 年高考福建卷 22)已知函数 f(x)= y=3x-2 (Ⅰ)求实数 a,b 的值;

1 3

x ? x ? a x ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为
3 2

3 2 11. (2010 年高考重庆卷 19) 已知 函数 f ( x ) ? a x ? x ? b x (其中常数 a,b∈R), g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ) 是

奇函数.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式;

12. (2010 年高考湖北卷 21) (本小题满分 14 分)
f 设函数 ( x ) = 1 3 x ?
3

a 2

x ? b x ? c ,其中 a>0,曲线 y ? ( x ) f f 在点 P(0, ( 0 ))处的切线方程
2

为 y=1

(Ⅰ)确定 b、c 的值

13. 已知函数 f ( x ) ? 3 a x ? 2 (3 a ? 1) x ? 4 x
4 2

(I)当 a ?

1 6

时,求 f ( x ) 的极值;

14.已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。

3

2

(Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间;

12


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