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高三数学第一轮复习:双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲.doc


高三数学第一轮复习:双曲线的定义、性质及标准方程
【本讲主要内容】
双曲线的定义、性质及标准方程 双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质

【知识掌握】 【知识点精析】
1. 双曲线的定义: (1)第一定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做焦距。 (2) 第二定义: 平面内到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离的比等于常数 (e>1) 的点的轨迹叫做双曲线,定点 F 为焦点,定直线 l 称为准线,常数 e 称为离心率。 说明: (1)若 2a 等于 2c,则动点的轨迹是射线(即 F1F2、F2F1 的延长线) ; (2)若 2a 大于 2c,则动点轨迹不存在。 2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质:

标准方程

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
中心在原点,焦点在 x 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
中心在原点,焦点在 y 轴上

图形

范围 对称性 顶点 轴

x ? ?a 或 x ? a

y ? ?a 或 y ? a

关于 x 轴、 y 轴、原点对称(原点为中心)

几 何 性 质

A1 ? ?a, 0?、A2 ? a, 0?

A1 ? 0, ? a ?、A2 ? 0,a ?

实轴长 A 1 A2 ? 2a ,虚轴长 B 1 B2 ? 2b

离心率 准线

e?

c ( e ? 1) a

l1 : x ? ?

a2 a2 , l2 : x ? c c
用心 爱心 专心

l1 : y ? ?

a2 a2 , l2 : y ? c c

渐近线

y??

b x a

y??

a x b

通径

2b 2 通径长 a
原点 x 轴、y 轴 P(x1,y1)在左支上 P(x1,y1)在下支上

中心 对称轴

PF1 ? ?a ? ex1, PF2 ? a ? ex1 。
焦半径公式 P(x1,y1)在右支上

PF1 ? ?a ? ey1, PF2 ? a ? ey1 。
P(x1,y1)在上支上

PF1 ? a ? ex1, PF2 ? ?a ? ex1 。

PF1 ? a ? ey1, PF2 ? ?a ? ey1 。

3. 等轴双曲线: 实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,焦点在 x 轴上,标准方程为

x2 ? y2 ? a2 ? a ? 0? ;焦点在 y 轴上,标准方程为 y2 ? x2 ? a2 ? a ? 0? 。其渐近线方程为 y
=±x。等轴双曲线的离心率为 e ? 4. 基础三角形:
y B b F1 O c a A F2 x

2。

如图所示,△AOB 中, OA ? a , AB ? b , OB ? c , tan ?AOB ? 5. 共渐近线的双曲线系方程:

b 。 a

x2 y2 与 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a>0 , b>0 ) 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 系 可 设 为 a b

x2 y 2 ? ? ? ? ? ? 0 ? ,若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在 x 轴上;若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在 a 2 b2
y 轴上。
说明: (1)在双曲线有关计算和证明中首先分清双曲线焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上, 中心是否在原点。 (2)在解与双曲线有关的问题时,注意利用定义及各元素之间的相互依赖关系(如:

用心

爱心

专心

a 2 ? c2 ? b2 , e ?

c 等) 。 a

(3)使用韦达定理求某些参数时,要注意利用判别式△≥0 或(△>0)来限制参数的 取值范围,否则,会出现错误。 (4)依题意判断曲线是双曲线的一个分支,还是整个双曲线。 ( 5 )双曲线是具有渐近线的曲线。要熟练掌握以下两个问题:①已知双曲线方程

x2 y 2 ? ? 1 ,可将“1”换为“0” ,求出渐近线方程。②已知渐近线方程为 ax ? by ? 0 , a 2 b2
可设双曲线的方程为 a2 x2 ? b2 y 2 ? ? ? ? ? 0? ,再利用其它条件确定 ? 的值。 (6) 研究直线与双曲线公共点个数时, 要注意直线是渐近线或与渐近线平行时的情形, 不能直接用判别式,应分类讨论。

【解题方法指导】
例 1. 焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,焦点到渐近线的 距离为 3,求此双曲线的方程。 解析:因双曲线的渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,故设双曲线方程为 3x2 ? y2 ? ? ? ? ? 0?
2 当 ? ? 0 时, a ?

?
3

,b 2 ? ?

∴c ? a ?b ?
2 2 2

? 4? ? ? , 0? ,∴焦点坐标为 ? ?2 ? 3 3 ? ? ?

3?2
根据点到直线的距离公式有

?
3 ? 3 ,得 ? ? 9

2

x2 y 2 ? ?1 此时双曲线方程为 3 9
当 ? ? 0 时,双曲线方程可化为

y2 x2 ? ?1 ?? ? ? 3
2 2

即 a ? ??,b ? ?
2 2

?
3

,c ? a ?b ? ?
2

4? 3

故焦点坐标为(0, ?2 ?

?
3



根据点到直线的距离公式有 ?

?
3

? 3 ,得 ? ? ?27

用心

爱心

专心

此时双曲线方程为

y 2 x2 ? ?1 27 9

评述:必须对 ? 进行讨论,当 ? ? 0 时,要将方程化为标准形式,否则容易导致错误。

例 2. 如图所示,经过双曲线 x ?
2

? y2 ? 1的左焦点 F1,作倾斜角为 的弦 AB,求: 6 3

(1)|AB|; (2)△F2AB 的周长(F2 为双曲线的右焦点) 。
y B -2 F1 A O 2 F2

x

解析: (1)双曲线焦点 F1(-2,0) 、F2(2,0) 直线 AB 方程 y ?

3 ? x ? 2 ? ,代入曲线方程,得 3

8x2 ? 4 x ? 13 ? 0
设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ∴ x1 ? x2 ?

1 13 ,x1 x2 ? ? 2 8
2

∴ AB ? 1 ? k ?

? x1 ? x2 ?

2

? ? 3 ?2 ? ? 1 13 ? ?? ? 4? ? ? 4 x1 x2 ? ?1 ? ? ? ? ?3 ? ? 8? ? ? 3 ? ? ?4 ? ?

或者根据双曲线第二定义得 BF AF1 ? ? ? a ? ex1 ? ? ?1? 2x1 1 ? a ? ex2 ? 1 ? 2x2,

? 2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ? ∴ AB ? BF 1 ? AF 1 ? 1 ? 2x2 ? ? ?1 ? 2 x1 ?
(2)由双曲线第二定义得

1 ?3 2

AF2 ? ? ? ex1 ? a ? ? a ? ex1 ? 1? 2x1, BF2 ? ex2 ? a ? 2x2 ?1 , AF2 ? BF2 ? 1? 2x1 ? 2x2 ?1 ? 2 ? x2 ? x1 ? ? 2
?1? ? 13 ? ? 2 ? ? ? 4?? ? ? ? 3 3 ?2? ? 8?
用心 爱心 专心
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

∴△F2AB 的周长为 3 ? 3 3 。 评述:求两点间距离用弦长公式 AB ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 是一般方法,此题

是“焦点弦”问题,如果应用“焦点弦”结论,则需要考虑弦的两个端点的情况。一般地, 有如下两种情况: (1)如果两个交点分别在左右两支上,则 AB ? BF1 ? AF1 ; (2)如果两个交点在同一支上,则 AB ? AF 1 ? BF 1 。

x2 y 2 ? 1? a ? 0,b ? 0 ? ,B 是右顶点,F 是右焦点,点 A 在 x 轴 a b2 ??? ? ??? ? ??? ? OB 、 OF 成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线 正半轴上,且满足 OA 、
例 3. 已知双曲线 C: 2 ? 的垂线 l,垂足为 P。 (1)求证: PA ? OP ? PA ? FP ; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D、E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值 范围。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

y l D O P A E F B x

解析:证法一:由题意知直线 l 的方程为 y ? ?

a ? x ? c? b

a ? y ? ? ? x ? c? ? ? a 2 ab ? ? b 由? ,解得 P ? , ? ? c c ? ?y ? b x ? a ? ??? ? ??? ? ??? ? OB 、 OF 成等比数列,∴ xA ? c ? a2 ∵ OA 、
a2 ∴ xA ? c
∴ A?

? a2 ? ,0? ? c ?
用心 爱心 专心

∴ PA ? ? 0, ?

??? ? ? ?

? ? a 2 ab ? ??? ? ? b 2 ab ? ab ? ??? , , OP ? , FP ? ?? , ? ? ? ? c ? ? c c ? ? c c ?
? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? a 2b 2 ??? a 2b 2 , PA ? FP ? ? ,∴ PA ? OP ? PA ? FP c2 c2

∴ PA ? OP ? ?

??? ? ??? ?

? a 2 ab ? 证法二:由 P ? , ? ,∴ PA ? x 轴 c c ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ PA ? OP ? PA ? FP ? PA ? OF ? 0
∴ PA ? OP ? PA ? FP

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

a ? y ? ? ? x ? c? ? a4 2 ? b 2 2 2 2 (2)由 ? 2 ,得 b x ? 2 ? x ? c ? ? a b 2 b ?x ? y ?1 2 2 ? b ?a
4 4 2 4 4 2 2 4 即 b ? a x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0

?

?

?

?

∵l 与双曲线左、右两支分别相交于点 D、E 设 D ? x1 , y1 ?、E ? x2 , y2 ? ∴ x1 ? x 2 ?
2 2

a 4c 2 ? a 2 b 4 ? 0, ? b4 ? a 4 a 4 ? b4
2 2 2

即 b ? a , ?c ? a ? a ∴ e ? 2 ,即 e ? 2
2

评述:渐近线是双曲线的特有性质,由焦点向渐近线引垂线,垂足必在准线上;反之, 过渐近线与准线的交点和相应焦点的连线必垂直于该渐近线。

【考点突破】
【考点指要】 双曲线部分是每年高考必考内容, 考点中要求掌握双曲线的定义、 标准方程以及几何性 质,多出现在选择题和填空题,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是5分。 考查通常分为四个层次: 层次一:考查双曲线定义的应用; 层次二:考查双曲线标准方程的求法; 层次三:考查双曲线的几何性质的应用; 层次四:考查双曲线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等 价转化法。
用心 爱心 专心

【典型例题分析】
例 4. (2006 全国Ⅰ)双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=( A. ? )

1 4

B. -4

C. 4

D.

1 4

答案:A 解析: y 2 ? ? ?m? x2 ? 1,实半轴=1,则虚半轴 ? 2 ? 评述:本题考查了双曲线标准方程中基本量间的关系。

1 1 ?m?? 。 4 ?m

例 5. (2006 全国Ⅱ)已知双曲线 离心率为( A. ) B.

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的 2 3 a b

5 3

4 3

C.

5 4

D.

3 2

答案:A

b b 4 x2 y 2 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,∴ ? 。 a a 3 a b
则e ?

c a 2 ? b2 5 ? ? 。 a a2 3

评述:本题考查了双曲线的渐近线方程及其离心率的求解。 例 6. (2006 天津)如果双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0) 、F2(3,0) ,一条渐近线 方程为 y ? 2 x ,那么它的两条准线间的距离是( A. 6 3 答案:C B. 4 C. 2 ) D. 1

?b 2 ? ? ? 2 ?a ? 3 解析:根据题意易知 ? a ?? 2 ?b ? 6 ?a 2 ? b 2 ? 9 ? ?
故两准线间的距离 d ?

2a 2 2 ? 3 ? ? 2。 c 3

评述:本题考查双曲线标准方程中基本量的运算。

【达标测试】
一. 选择题:
用心 爱心 专心

1. 曲线 2 x2 ? y 2 ? 6 ? 0 上的一点 P 到一个焦点的距离为 4, 则 P 到较远的准线的距离是 ( ) A.

4 6 ?4 3

B.

4 6 4 6 或 ?4 3 3

C. 2 6

D. 2 6或2 6+4

x2 y 2 4 2 的双曲线方程是( ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 ?3, 2. 与双曲线 9 16
A.

?

?



y 2 x2 - ?1 16 9 x2 y 2 ? ?1 3 16

B.

y 2 x2 - ?1 8 3 4x 2 y 2 ? ?1 9 4

C.

D.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 的两个焦点,点 P 在双曲线上,若 a 2 b2 ???? ???? ? ???? ???? ? 则双曲线的离心率为( ) PF1 ? PF2 ? 0 ,且 PF1 ? PF2 ? 2ac ,其中 c= a2 +b2,
3. 设 F1 、 F2 是双曲线 A.

1+ 5 2

B.

1+ 3 2

C. 2

D.

1+ 2 2

4. 在正△ABC 中, D ? AB,E ? AC ,向量 DE= BC ,则以 B、C 为焦点,且过 D、E 的双曲线的离心率为( A. )

???? 1 ??? ? 2

5 3

B.

3- 1

C.

2+ 1

D.

3+ 1


5. 设双曲线的焦点在 x 轴上, 两条渐近线为 y ? ?

1 x, 则双曲线的离心率 e 等于 ( 2
D.

A. 5

B.

5

C.

5 2

5 4

6. 设 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1、F2 a2 9
) D. 9

分别是双曲线的左、右焦点,若 PF 1 ? 3 ,则 PF2 =( A. 1 或 5 7. 自双曲线 B. 6 C. 7

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 上任一点 P 作横轴的平行线,交两条渐近线于 a 2 b2
用心 爱心 专心

Q、R 两点,则 PQ ? PR ? 定值为(
A. a
2

) C. ab D. a b
2 2

B. b

2

8. 双曲线

x2 y 2 1? 5 ? 2 ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 的离心率 e ? ,点 A与F 分别是双曲线的左 2 a b 2
) D. 120°

顶点和右焦点, B ? 0,b ? ,则 ? ABF 等于( A. 45° 二. 填空题: 9. 若双曲线 B. 60° C. 90°

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到它的右焦点的距离是8,则它到其左准线的距离是 64 36

_____,它到左焦点的距离是_____。 10. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过一、三象限的渐近线为 l ,则以 F 为圆心, 16 9

l 为切线的圆的方程为_____。
11. 过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F 1 为另一焦点,若双曲线的离心率 为 3 ,则 ?PF1Q 的度数为_____。
2 2 12. 等轴双曲线 x ? y ? 1的焦点为 F1、F2 ,点 P 是双曲线上的动点,当 PF1 ? PF2 ? 0

? ?

时,点 P 的横坐标的取值范围是_____。 三. 解答题: 13. 已知两点 A

?

??? ? ??? ? ??? ?2 2, 0 、B ? 2, 0 ,动点 P 在 y 轴上的射影为 Q, PA ? PB ? 2 PQ 。

? ?

?

(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线

l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 C 的坐标。
14. 已知双曲线 C 的两个焦点为 F1、F2,实半轴长与虚半轴长的乘积为 3 ,直线 l 过点 F2,且与线段 F1F2 夹角为 ? ,且 tan ? ?

21 ,l 与线段 F1F2 垂直平分线的交点为 P,线段 2

PF2 与双曲线的交点为 Q,且 PQ ? 2QF2 ,求双曲线的方程。 15. 一 条 斜 率 为 1 的 直 线 l 与 离 心 率 为
用心

??? ?

???? ?

3 的双曲线
专心

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 交 于 a 2 b2

爱心

??? ? ???? ??? ? ??? ? P、Q 两点,直线 l 与 y 轴交于点 R ,且 OP ? OQ ? ?3, PQ ? 4RQ ,求直线与双曲线的方
程。

【综合测试】
一. 选择题: 1. (湖南)已知双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交 a 2 b2


a2 于点 A,△OAF 的面积为 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为( 2
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

2. (全国Ⅱ) 已知双曲线 则F 1 到直线 F2 M 距离为(

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴, 6 3


A.

3 6 5

B.

5 6 6
2

C.

6 5

D.

5 6

3. (全国Ⅲ) 已知双曲线 x ? 则点 M 到 x 轴的距离为( A.

???? ? ???? ? y2 ? 1的焦点为 F1、 F2, 点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0, 2



4 3

B.

5 3

C.

2 3 3

D.

3

4. (重庆)已知双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在 a 2 b2


双曲线的右支上,且 PF 1 ? 4 PF 2 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( A.

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

7 3

5. (广东)若双曲线 2x 2 ? y 2 ? k(k ? 0) 的焦点到它相对应的准线的距离是 2,则 k = ( ) A. 1

B. 4

C. 6

D. 8

x2 y 2 ? ? 1 的左准线为 l,左、右焦点分别为 F1、F2,抛物 6. (河南)已知双曲线 C1 : 16 9
线 C2 的准线为 l,焦点是 F2,若 C1 与 C2 的一个交点为 P,则|PF2|的值的等于( A. 40 B. 32 C. 8 D. 4
用心 爱心 专心



7. (成都)已知 F1、F2 分别为双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 为双曲线上任意一 a 2 b2


PF2 点,若 的极小值为 8a ,则此双曲线离心率 e 的取值范围是( PF1
A. ?1 , ? ?? 8. (黄冈) 双曲线 B.

3? ? 0,

C. ?1, 3?

D. ?1,2?

x2 ? y 2 ? 1(n ? 1) 的 两 焦 点 为 F1 、 F2 , P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 n
) D. 4

PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 ,则△PF1F2 的面积为(
A.

1 2

B. 1

C. 2

二. 填空题: 9. (浙江) 过双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N a 2 b2

两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_____。 10. (上海) 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ___。 11. (山东)设双曲线

?

10, 0 ,则双曲线的方程是__

?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近 a 2 b2

线交于 P、Q 两点,如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率为 e ? _____。 12. (东北) 已知双曲线

x2 y2 2? ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率 e ? ? ? 2, ? ,在两条渐近线所构成的 a 2 b2
y

角中,设以实轴为角平分线的角为 ? ,则 ? 的取值范围是_____。

y?

b x a

? /2
O

x

用心

爱心

专心

三. 解答题: 13. (全国)

x2 设双曲线 C: 2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l:x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B。 a
(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且 PA ? 14. (北京) 设双曲线

??? ?

? 5 ??? PB ,求 a 的值。 12

y 2 x2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1、F2 ,离心率为 2。 a2 3

(1)求此双曲线的渐近线 l1、l2   的方程;

AB 的中点 M 的轨 (2)若 A 、B 分别为 l1、l2   上的点,且 2 AB ? 5 F 1F 2 ,求线段
迹方程,并说明轨迹是什么曲线; (3)过点 N ? 01 ,使 l   与双曲线交于 P 、Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 。 ,  ? 能否作出直线 l   若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。 15. (湖南)已知动点 P 与双曲线

??? ? ????

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点 F1、F2 的距离之和为定值,且 2 3

1 cos ?F1PF2 的最小值为 ? 。 9 (1)求动点 P 的轨迹方程;
(2)若已知点 D(0,3) ,点 M、N 在动点 P 的轨迹上,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的 取值范围。
y P

???? ?

???? ?

F1

O

F2

x

用心

爱心

专心

达标测试答案
一. 选择题: 1. 答案:A 解析:曲线化为

y 2 x2 ? ? 1 ,则长轴长 2a ? 2 6 ,焦距 2c=6。∵ 2 6> 4 ,∴ P 与 6 3

已 知 焦 点 在 同 一 支 上 , 设 另 一 焦 点 为 F , 则 PF ? 2 6 ? 4 , P 到 另 一 准 线 的 距 离

d?

PF 6 4 6 ? 2 6?4 ? ? ? 4。 e 3 3

?

?

2. 答案:A 解析:设所求双曲线方程为

x2 y 2 4 2 代入得 ?=-1 ? ? ? ? ? ? 0 ? ,把 ?3, 9 16

?

?

故所求方程为 3. 答案:A

y 2 x2 - ? 1。 16 9

解析:∵ PF 1 ? PF 2 ? 0 ,∴ PF 1 ? PF 2 ,又由椭圆的定义,可得方程组

???? ???? ?

????

???? ?

???? ?2 2 ? ???? PF1 + PF2 ? 4c 2 ? ? ? ???? ???? 1+ 5 2 2 2 ? PF1 - PF2 ? ?2a ,得 c ? a ? ac 即 e ? e ? 1 ? 0 ,∴ e ? 2 ? ???? ???? ? ? PF1 ? PF2 ? 2ac ?
4. 答案:D 解析:如图所示,设 BC=2c,则 BD ? c, DC ? 3c
y A

D
B

E O
C x

又 DC -BD ? ∴e ?

?

3 ? 1 c ? 2a

?

c 2 ? ? 3 ? 1。 a 3 ?1

用心

爱心

专心

5. 答案:C 解析:设双曲线方程为

b b 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,则其渐近线方程为 y ? ? x ,依题意有 ? , 2 a a 2 a b
2

∴ a ? 4b ? 4c ? 4a ?
2 2 2

c 5 5 ,∴双曲线的离心率为 e ? 。 ? a 2 2

6. 答案:C

3 x2 y 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,由题意知双曲线的一条 解析:设双曲线方程为 2 ? a a 9
渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,∴a=2 ∴ PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 ,又 PF 1 ? 3 ,∴ PF2 ? 7 。 7. 答案:A 解析:

y R Q P(x0,y0) x O

如图得 P ? x0,y0 ? , PQ ? PR ? 2x0 ,又 RP ? PQ ?
2

2a y0 b

a2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 则 PR ? PQ ? x0 ? 2 y0 ? 2 ? b x0 ? a y0 ? ? 2 a b ? a b b b
8. 答案:C 解析:由 BA ? ? ?a, ? b ? , BF ? ? ?c, ? b ? ,故

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 1 1 BA ? BF ? ?ac ? b2 ? ?ac ? c2 ? a 2 ? 2 ? e2 ? e ? 1? ? 2 a a
故 BA ? BF 。 二. 填空题: 9. 答案:

?? 1 ? 5 ?2 ? 1 ? 5 ? ? ?? ? ? ? -? ? 2 ? ? ? 1? ? 0 2 ?? ? ? ? ? ??

??? ?

??? ?

96 ,24 5

用心

爱心

专心

解析:点 P 到右准线的距离为 d1 ? 点 P 到 左 准 线 的 距 离 为 d2 ?

PF1 32 a 2 64 ? ? ,两准线间的距离为 2 ? ,推出 e 5 c 5

64 32 96 ? ? ;而点 P 到左焦点的距离为 5 5 5

PF2 ? e ? d 2 ?

10 96 ? ? 24 。 8 5
2

2 10. 答案: ? x ? 5 ? ? y ? 9

解析:一、三象限的渐近线 l 的方程为 y ?
2

3 x ,焦点 F ? 5, 3x ? 4 y ? 0 的距离为 0 ? 到 l: 4

d ? 3 ? r ,所求圆的方程为 ? x ? 5 ? ? y 2 ? 9 。
11. 答案:60° 解析:如图所示

y P F1 O Q F2

x

设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1,?PF1F2 ? ? a 2 b2

令 x ? c 得 yP ?

PF2 b2 y b2 ,∴ tan ?PF1F2 ? ? P ? a F1F2 2c 2ac

又 e ? 3 ,∴ c ? 3a,b ? 2a 代入上式 tan ?PF1 F2 ?

2a 2 3 , ? 3 2 3a 2

? ∴ ?PF ? 2?PF1F2 ? 60? 。 1F 2 ? 30 ,?PFQ 1

12. 答案: ? ? ?

? ?

? ? 6? 6 , ?1? ? ?1, ? ? 2 ? ? 2 ?

2 2 2 2 解析:设点 P 坐标为 ? x, y ? ,∵ PF1 ? PF2 ? 0 ,∴ x ? y ? 2 。又 y ? x ? 1

? ?

∴ 2 x ? 3 ,即 ?
2

6 6 ?x? 2 2

用心

爱心

专心

又 | x| ? 1,∴ ?

6 6 。 ? x ? 1 或1 ? x ? 2 2

三. 解答题: 13. 解析: (1)设动点 P 的坐标为(x,y) ,则点 Q 的坐标为(0,y)

??? ? ??? ? PQ ? ? ? x, 0? , PA ?
??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? 2 ? x,y , PB ? ? 2 ? x, ?y , PA ? PB ? x 2 ? 2 ? y 2

?

?

?

由题意 PA ? PB ? 2 PQ ,得 x2 ? 2 ? y 2 ? 2x2 , ∴所求动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? x2 ? 2 。 (2)设直线 l:y ? k ( x ? 2 )(0 ? k ? 1) 由题意点 C 在与直线 l 平行, 且与 l 之间的距离为 2 的直线 l'上, 设直线 l ' : y ? kx ? b

??? ?2

则得

2k ? b k ?1
2

? 2 ,即 b2 ? 2 2kb ? 2



2 2 2 2 2 把 y ? kx ? b 代入 y ? x ? 2 ,且整理得 k ? 1 x ? 2kbx ? b ? 2 ? 0 2 2 2 2 2 2 则由题意知 ? ? 4k b ? 4 k ? 1 b ? 2 ? 0 ,即 b ? 2k ? 0

?

?

?

?

?

??

?



①-②得 2k 由方程组 ?

?
2

2b ? k ? 0, k ? 2b
,得 k ?

?

? ?k ? 2b ?b ? 2k ? 2 ?
2

2 5 10 ,b ? 5 5

? 2 5 10 x? ?y ? 此时,由方程组 ? 5 5 ,得点 C 的坐标为 2 2, 10 2 2 ?y ? x ? 2 ?

?

?

14. 解析:取 F1F2 所在直线为 x 轴,F1F2 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设双曲线方程 为

x2 y 2 ? ? 1 ,设 F1 ? ?c, 0?,F2 ? c, 0? 。 a 2 b2

用心

爱心

专心

y B F1 O P F2 Q

?
x

由题意得直线 l 的方程为 y ?

? 21 ? 21 0 , ? c? ? x ? c ? ,令 x=0,得点 P 坐标为 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2c 21 ? ? c? ? 3, 6 ? ? ?

又 PQ ? 2QF2 ,由定比分点坐标公式可得点 Q 坐标 ?

??? ?

???? ?

∵点 Q 在双曲线上,∴ 又c ? a ?b
2 2

4c 2 21c 2 ? ?1 9a 2 36b 2



2



由①、②消去 c,化简整理得 16 ? 解得

?b? ?b? ? ? 41? ? ? 21 ? 0 ?a? ?a?

2

2

b ? 3 a

③ ④
2

又由已知有 ab ? 3

由③④得 a ? 1 ,b ? 3 ,则所求双曲线方程为 x ?

y2 ?1 3

又由对称性知,双曲线 y ?
2

x2 ? 1也适合 3

故所求双曲线方程为 x ?
2

y2 x2 ? 1,或 y 2 ? ? 1。 3 3
2

?b? 2 2 15. 解析:由 3 ? e ? 1 ? ? ? 得 b ? 2a a ? ?
2

x2 y2 ?1 双曲线方程设为 2 ? a 2a 2


2

2 2 设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,代入①得 2 x ? ? x ? m ? ? 2a

用心

爱心

专心

2 2 2 即 x ? 2mx ? m ? 2a ? 0 ,设 P ? x1,y1 ?、Q ? x2,y2 ? ,

?

?

则 x1 ? x2 ? 2m,x1x2 ? ?m2 ? 2a2 又 y1 y2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m2

? ? m 2 ? 2a 2 ? 2m 2 ? m 2 ? 2 ? m 2 ? a 2 ? ,
∴ ?3 ? OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? m2 ? 4a2 ,∴ 4a ? m ? 3 ? 0
2 2

??? ? ??? ?
??? ?



∵ PQ ? 4RQ ,∴点 R 分 PQ 所成的比为 3,设点 R 的坐标为 ? 0,m ? ,则

??? ?

??? ?

m?

y1 ? 3 y2 x1 ? m ? 3 ? x2 ? m ? x1 ? 3x2 ? ? ?m 1? 3 4 4

∴ x1 ? ?3x2 ,代入 x1 ? x2 ? 2m 得 x2 ? ?m,x1 ? 3m 代入 x1x2 ? ?m2 ? 2a2 ,得 ?3m ? ?m ? 2a
2 2 2

∴m ? a
2

2

代入②得 a ? 1 ,从而 m ? ?1 。
2

∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,双曲线的方程为 x ?
2

y2 ? 1。 2

【综合测试答案】
一. 选择题: 1. 答案:D 解析:依题如图所示

y

b x a a2 ab A( , ) c c y?
F x

O

x?

a2 c

用心

爱心

专心

依题 A ?

? a 2 ab ? 1 ab a2 , ? ,∴ S?OAF ? ? c ? ,又 S?OAF ? 2 c 2 ? c c ?



1 ab a 2 c? ? ,∴ a ? b ,即双曲线为等轴双曲线,∴两渐近线的夹角为 90°。 2 c 2

2. 答案:C 解析:由已知 MF1 ?

6 ,又 F 1F 2 ?6 2
6? 6 2
2

在直角 ?MF 1F2 中有 F 1 到 F2 M 距离为

? 6? 2 ? ? ?6 ? 2 ?

?

6 5

3. 答案:C

MF2 ? r2 ,由条件知 MF1 ? MF2 ,∴ r1 ? r2 ? ? 2c ? ? 12 解析:设 MF1 ? r1,
2

???? ?



r1 ? r2 ? 2a ? 2



由①②得 r1r2 ? 4 。

设所求距离为 h ,则 2ch ? r1r2 ? h ? 4. 答案:B

2 3。 3

8a ? PF1 ? ? ? PF ? PF ? 2 a ? 2 ? 1 3 解析: ? ,得 ? ? ? PF ? 2a ? PF1 ? 4 PF2 2 ? 3 ?
在 ?PF1 F2 中,由余弦定理得

68 32 8a 2a ? 8a ? ? 2a ? 4c ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? cos ? ? a 2 ? a 2 cos ? 9 9 3 3 ? 3? ? 3 ?
2

2

2

同除以 a 得,

2

4e 2 ?

68 32 ? cos ? 9 9
2

5 100 ,1 ? e ? 3 9 5 5 5 ? 当 P、F1、F2 共线时, ? ? 180 ,e ? ,则 1 ? e ? , e 的最大值为 。 3 3 3
又 cos? ? ? ?11 , ? , 4 ? 4e ? 另解:

用心

爱心

专心

y P' P x F1 F2

8a ? PF ? 1 ? ? PF1 ? PF2 ? 2a ? ? 3 ,得 ? ? 2 ? ? PF ? a ? PF1 ? 4 PF2 2 ? 3 ?

2a a2 5 5 ' 3 ∴ PP ? ? a ? ? ?1? e ? e c 3e 3
5. 答案:C 解析:双曲线方程化为

x2 y 2 ? ?1 k k 2

则焦点到相对应准线的距离 ?

b2 ? c

k 6k ? ? 2,k ? 6 3 3 k 2

6. 答案:B 解析:如图
y d P

F1

O

F2

x

l

d ? PF2 ? m ,由点 P 在双曲线上,及双曲线第一定义得 PF1 ? 2a ? PF2 ? 8 ? m
又由双曲线第二定义得

PF1 5 ?e? d 4
用心 爱心 专心



8? m 5 ? ,解得 m ? 32 。 m 4
2

7. 答案:C

PF2 4a 2 ? PF ? ? 4 a ? 8a , 解析:由定义有 PF2 ? 2a ? PF ,∴ 1 1 PF1 PF1
∴ PF , PF2 ? 4a 1 ? 2a

2 a ? 4 a ? 2c 在 ?PF1 F2 中, PF 1 ? PF 2 ? F 1F 2 取
∴e ?

c ?3 a

8. 答案:B 解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则 PF1 ? PF2 ? 2 n 由 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 解得

PF1 ? n ? 2 ? n, PF2 ? n ? 2 ? n , F1F2 ? 2 n ? 1
∴ PF1 ? PF2 ∴ S? ?
2 2

? F1 F2 ,?F1 PF2 ? 90?

2

1 PF1 ? PF2 ? 1 2

二. 填空题: 9. 答案:2

? b2 ? 解析:直线 x ? ?c 交双曲线于 M、N,不妨设 M ? ?c, ? a? ?
b2 ? a?c 依题意有 a
∴ c ? ac ? 2a ? 0
2 2

∴e ?e?2 ? 0
2

∴ e ? 2 或 e ? ?1 (舍) 。 10. 答案: x ?
2

y2 ?1 9
b a
2 2 2

2 ,b2 ? 9 解析:由题意 c ? 10, ? 3,a ? b ? c 解得 a ? 1

∴双曲线方程为 x ?
2

y2 ?1 9
用心 爱心 专心

11. 答案: 2

b ? y? x ? ? a 2 ab ? ? a 解析:由 ? 得 P ? , ? 2 ? c c ? ?x ? a ? c ?
又 ?PQF 为 Rt ?

故 k PF ?

a2 ?c c

ab c

? ?1 ,化简解得 a ? b

故e ?

2
? ? 2? ?

12. 答案: ? , ? ?2 3 ? 解析:由 tan 则 1 ? tan

?
2

?

b c2 ? a2 ? ? e2 ? 1 a a2

?
2

? 3?

?
4

?

?
2

?

?
3

?

?
2

?? ?

2? 3

三. 解答题:

? x2 2 ? 2 ? y ?1 C l 13. 解析: (1)由 与 相交于两个不同的点,故知方程组 ? a 有两个不同的实 ?x ? y ? 1 ?
2 2 2 2 数解,消去 y 并整理得 1 ? a x ? 2a x ? 2a ? 0

?

?



?1 ? a 2 ? 0 ? ∴? 4 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0
解得 0 ? a ?

2 且 a≠1,双曲线的离心率 e ?
6 且e ? 2 2

1 ? a2 1 ? ?1 a a2

∵0 ? a ?

2 且 a≠1,∴ e ?

即离心率 e 的取值范围为 ?

? 6 ? ? 2 ,2 ? ?? ? ?

?

2, ?? 。

?

(2)设 A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,P ? 01 , ?
用心 爱心 专心

? 5 ??? 5 PB ,∴ ? x1,y1 ? 1? ? ? x2,y2 ? 1? 12 12 5 x2 。由于 x1、x2 都是方程①的根,且1 ? a2 ? 0 由此得 x1 ? 12
∵ PA ? 所以

??? ?

17 2a 2 5 2 2a 2 x2 ? ? , x ? ? 2 12 1 ? a 2 12 1 ? a2
17 2a 2 289 ? ,由 a>0 得 a ? 。 2 13 1? a 60
2

消去 x2 得 ?

14. 解析: (1)∵ e ? 2 ,∴ c ? 4a
2 2

∵ c ? a ? 3 ,∴ a ? 1,c ? 2 , ∴双曲线方程为 y ?
2

x2 3 ? 1,渐近线方程为 y= ? x。 3 3

(2)设 A? x1, y1 ?、B ? x2,y2 ? , AB 的中点 M ? x,y ?

AB ? ∵ 2 AB ? 5 F 1F 2 ,∴


5 5 F1 F2 ? ? 2c ? 10 2 2

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ? ? 10
2

又 y1=

3 3 x1,y2=x2 , 2x=x1+x2 ,2y=y1+y2 , 3 3
2 2

? 3 ? ∴ ? 3 ? y1+y2 ?? ? ? x + x ? ? ? =10 1 2 ? ? ? 3 ? 1 2 2 100 , ∴ 3? 2 y ? + ? 2x? = 3


x2 3 y 2 + = 1 ,则 M 的轨迹是中点在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3 ,短轴 75 25

长为

10 3 的椭圆 3

(3)假设存在满足条件的直线 l   ,设 l:y ? k ? x ?1?

l  与双曲线交于 P ? x1,y1 ?、Q ? x2,y2 ? ,
∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ∴ x1x2 ? k
2

??? ? ????

? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0
用心 爱心 专心

2 ∴ x1 x2 ? k ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ??0



? y ? k ? x ? 1? ? 由? 得 ? 3k ?1? x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 , x2 2 ?y ? ?1 3 ?
则 x1 ? x2 ?

6k 2 6k 2 -3 , x x = 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2



由①、②得: k +3=0 ∴ k 不存在 即不存在满足条件的直线 l   。 15. 解析:⑴由题意得 c ? 5 ,设 PF1 ? PF2 ? 2a a ? 5 ,由余弦定理得
2

?

?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 ? PF2

2

2

2

?

2a 2 ? 10 ?1 PF1 ? PF2

? PF1 ? PF2 ? 2 又 PF1 ? PF2 ? ? ? ?a 2 ? ?
当且仅当 PF 1 ? PF 2 时, PF 1 ? PF 2 取最大值 此时 cos ?F 1PF 2 取得最小值为

2

2a 2 ? 10 ?1 a2



2a 2 ? 10 1 ? 1 ? ? ,解得 a 2 ? 9 。 2 a 9
2

又∵ c ? 5 ,∴ b ? 4 故所求 P 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1。 9 4

(2)设 N (s,t ),M ( x,y ) ,则由 DM ? ? DN 可得 ( x,y ? 3) ? ?( s,t ? 3) , 故 x=? s,y ? 3 ? ? (t ? 3)

???? ?

???? ?

∵ M 、N 在动点 P 的轨迹上,∴

s2 t 2 ? ?1 9 4

用心

爱心

专心

??s? 且
9

2

? 3+?t ? 3? ? ?
4

2

?1
13? ? 15 6?

2 ?t ? 3 ? 3? ? ? ? 2t 2 ? 消去 s 可得

4

? 1 ? ? 2 ,解得 t ?

又由 t ? 2 ,即 ?2 ? 解得

13? ? 15 ?2 6?

1 ?1 ? ? ? ? 5 ,故实数 ? 的取值范围为 ? ,5? 5 ?5 ?

用心

爱心

专心


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