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201709高考辽宁省第一学期期末模拟试题分类汇编第2部分函数(包含导数).doc


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辽宁省期末模拟试题分类汇编
第 2 部分:函数(包含导数)
一、选择题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 A. (-1,0) 答案:B. ( )

B. (0,1) C. (1,2) D. (1,e)

2.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①

1 x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? 1 1 y ? x ? ;② y ? x ? ;③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是( x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
A.①② 答案:B. B.①③ C.②③ D.只有①



3.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 已知 | a |? 2 | b |? 0 , 且关于 x 的函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值, 则a 与 3 2

b 的夹角范围为(
A. [0,

) B. (

?
6

)

?
6

,? ]

C. (

?
3

,? ]

D. [

? 2?
3 , 3

]

答案:C. 4.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) 。当

x ? [4, 6]时, f ( x) ? 2x ?1 ,设函数 f ( x) 在区间 [?2, 0] 上的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 ( 1 9 )
的值为 A. ? log2 3 答案:D. B. ?2log 2 3 C. 1 ? 2log 2 3 D. 3 ? 2log 2 3

用心

爱心

专心

5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知 f ( x) ? ?

?(3 ? a) x ? a ( x ? 1) , 是(??,??) 上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 ?loga x ( x ? 1)
( ) B. ( ? ?,3 ) C. [ ,3)

A. (1,+ ? ) 答案:C.

3 2

D. (1,3)

6.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 若关于 x 的方程 a A. [ ? ,0) 答案:A. 7.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) 。当
2x

1 3

1 x )a ? 1 ? 0,(a>0,且 a ? 1 )有解,则 m 的取值范围是( m 1 1 B. [ ? ,0) ? (0,1] C. ( ?? ,? ] D. (1,??) 3 3 ? (1 ?



[?2,0] 上的反函数为 f ?1( x), 则 f x ? [4,6] 时, f ( x) ? 2 x ? 1, 设函数 f ( x)在区间
值为 A. ? log2 3 答案:D. 8.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)
2 x 在下列图象中,二次函数 y ? ax ? bx与指数函数 y ? ( ) 的图象只可能是

?1

(19) 的


( B. ? 2 log2 3 C. 1 ? 2 log2 3 D. 3 ? 2 log2 3

b a





答案:A. 9.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)
2 2 2 已知 a 为参数(a>0)的 x 的二次函数 y ? ax ? 1 ? a x ? a ? 3a ?

1 1 ? ( x ? R) 的最 4 4a
( )

小值是关于 a 的函数 f ( a ) ,则 f ( a ) 的最小值为 A.-2 B. ?

137 64
用心

C.-

1 4

D.以上结果都不对

爱心

专心

答案:A. 10.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 若关于 x,y 的方程组 ? 为 A.8 答案:D.

?ax ? by ? 1
2 2 ? x ? y ? 17

有解,且所有解都是整数,则有序数对(a,b)的数目 ( )

B.16

C.24

D.32

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)

?3x , x ? 1 ? 函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 ,则 y ? f ( x ? 1) 的象大致是 1 ? ? 3
y y y

y

O x



x x B.

O



x C.

。 O

x D.



O

x

A. 答案:B.

D

12.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 偶函数 f ( x ) 满足 f ? x ?1? = f ? x ? 1? ,且在 x ? 0,1 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,则关于 x 的方程

? ?

1 f ( x) ? ( ) x ,在 x ??0,3? 上解的个数是 10
A.1 答案:D. B.2 C.3 D.4

13.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 y=

a?x ,的反函数的图象关于点 ? ?1, 4? 成中心对称,则实数 a= x ? a ?1
B.3 C.-2 D.-3

A.2 答案:B.

14.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值为 A.e 答案:C. 15.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)
用心 爱心 专心

B.-e

C.

1 e

D. ?

1 e

?
A

2

??1

2 x ? 1dx =
3
B

3-

1 3

C

3

9 ?1

D

2 3 9 ?1 3

?

?

答案:B. 16.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,对任意 x、y 满足 f(x-y)=f(x) ·g(y)-g (x) ·f(y) ,且 f(-2)=f(1)≠0,则 g(1)+g(-1)= A -1 B 1 C 2 D -2 答案:A. 17.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试) 函数 y= log 1 ( x ? 1) 的定义域是
2 2

A

[- 2 ,-1)∪(1, 2 ]

B D

(- 2 ,-1)∪(1, 2 ) (-∞,-1)∪(1,+∞)

C [-2,-1)∪(1,2] 答案:A.

18.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试) 2 2 y =x 与 y=x 所围成图形的面积(阴影部分)是 A

1 3

B

2 3

C

1 4

D

1 2

答案:A. 19.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 设定义在 R 上的函数 f(x)存在反函数,且对于任意 x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f (? x ? 3) ? 2 , 则f
?1

(2009? x) ? f ?1 ( x ? 2007 ) 的值是
B.0 C.2 D.不确定,与 x 有关

A.-2 答案:A.

20.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)

? x3 ? a 2 x ? 已知函数 f ( x) ? ? x ? a ?2 ?
?1 A. 答案:C.
B.

x?a x?a

是连续函数,则实数 a 的值是( C. ? 1 D. ? 2



1

用心

爱心

专心

21.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 函数 f ( x) 在定义域 R 内可导, 若 f ( x) ? f ( 2 ? x) , 且当 x ? (??, 1) 时,( x ? 1) f ?( x) ? 0 , 设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3). 则( A. a ? b ? c 答案:B. B. c ? a ? b

1 2

) C. c ? b ? a D. b ? c ? a

22.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 若函数 f ( x ? 2) ? ? A.

?tan x ?log2 (? x)
B. ?

x?0 x?0

,则 f (

?
4

? 2) f (?2) 等于
D. ? 2

1 2

1 2

C.2

答案:C. 23.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)

?1 2 ? x ,x ? 2 已知函数 f ( x) ? ? 2 在定义域内是连续函数,则 a= ? ?log2 ( x ? a), x ? 2
A.-1 答案:D. 二、填空题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) 已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (2 ) 的值等于
9





B.1

C.

1 2

D.2



答案:2277. 2.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 定义在[-2,2]上的偶函数 g ( x),当x ? 0 时, g ( x) 单调递减,若 g (1 ? m) ? g (m) ? 0, 则 实数 m 的取值范围是 答案: ? 1 ? m ? 。

1 2

3.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 f ( x) ?

| x ? 2 | ?1 的定义域为 log 2 ( x ? 1)

.

答案: [3, ??)

用心

爱心

专心

4.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 f ( x ) 具有如下两个性质: (1)对任意的 x1 , x2 ? R( x1 ? x2 ) 有

f ? x2 ? ? f ? x1 ? >0; (2) x2 ? x1
.(只

图象关于点(1,0)成中心对称图形。写出 f ( x ) 的一个解析表达式 要求写一个表达式即可) 。 答案:y=x-1(不唯一) 5.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 设 函 数 f ( x) ?

ax (a ? 0, a ? 1) , [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数 ax ?1


1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域是 2 2
答案: {0,1} 6.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 函数 f ( x) ? ln x, 则f [ f 答案:-3. 7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 曲线 y ?
?1

(?3)] ?



2 在点(1,2)处的切线为 x



答案: y ? ?2 x ? 4

8.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)

?x ? 1 ? 若函数 f ( x ) ? ?a ?x ? b ?
答案:1.

( x ? 0) ( x ? 0) 是奇函数,则 a+b= ( x ? 0)


9.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 当 x= 答案:-1. 三、解答题 1.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 时,函数 f ( x) ? xe 取得最小值。
x

用心

爱心

专心

2 已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x cos x, g ( x) ? cos ( x ?

?
12

).

(Ⅰ)设 x ? x0是函数y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (Ⅱ)求使函数 h( x) ? f (

?x
2

) ? g(

?x
2

)(? ? 0)在区间[-

2? ? , ]上 3 3

是增函数的 ? 的最大值. 答案: (Ⅰ) 由题设知 f ( x) ? 1 ? 所以 2 x 0 ? k? ?

?
2

1 sin 2 x,因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 2

, (k ? Z ) ,??????2 分

1 ? 1 2 g ( x0 ) ? [1 ? cos( 2 x0 ? )] ? [1 ? cos( k? ? ? )] 2 6 2 3 1 2 1 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? (1 ? cos ? ) ? ; 2 3 4 1 ? 3 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? (1 ? cos ) ? ??????6 分 2 3 4 1 1 ? (Ⅱ)因为 h( x) ? (1 ? sin ?x) ? [1 ? cos( ?x ? )] 2 2 6

?

1 3 1 3 1 ? 3 (sin ?x ? cos?x ? sin ?x) ? ? sin(?x ? ) ? ??????8 分 2 2 2 2 2 3 2

2? ? ? 2?? ? ?? ? , ] 时, ?x ? ? [? ? , ? ], 3 3 3 3 3 3 3 2? ? , ] 上是增函数,且 ? ? 0, 因为 h( x)在[? 3 3 2?? ? ?? ? ? ? ? , ? ] ? [? , ], 所以 [? 3 3 3 3 2 2
当 x ? [?

? ? 2?? ? ? ? ?? ? 1 ? 3 3 2 ,解得? ? 即? 2 ??? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3

所以 ? 的最大值为

1 2

???12 分

2.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) (理)已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ax, x ? ? 0, ?? ? (a 为实常数). x

(Ⅰ)当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设各项为正的无穷数列 {x n } 满足 ln xn ?

1 ? 1? n ? N * ? , xn?1

用心

爱心

专心

证明: xn ≤1(n∈N ). (文)设定义在 R 上的函数 f ( x) ? a0 x4 ? a1x3 ? a3 x ? a 4

*

(a0 , a1 , a3 , a4 ? R) ,当 x=-1

2 时,f(x)取极大值 3 , 且函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.
(Ⅰ)求 f(x)的表达式; (Ⅱ)试在函数 y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标 都在 [? 2, 2] 上; (Ⅲ)设 xn ? [ ,1)

1 2

ym ? (? 2, ?

2 2] 3
x ?1

,求证: | f ( xn ) ? f ( ym ) |?

4 . 3

答案: (理)(1)a = 0 时, f ?( x) ? ∴ f ( x) min (2) f ?( x) ?

, 当 0<x<1 时 f ?( x) ? 0 ,当 x>1 时 f ?( x) ? 0 , x2 ? f (1) ? 1 ??????????????2 分
1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a? x x x2

a≥0 时, ax 2 ? x ? 1 在[2,+∞)上恒大于零,即 f ?( x) ? 0 ,符合要求?4 分
当 a<0 时,令 g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ,g (x)在[2,+∞)上只能恒小于零
? ?1 ? 4a ? 0 1 ? 故△=1+4a≤0 或 ? g (2) ? 0 ,解得:a≤ ? 4 ? 1 ? ? 2 ? ? 2a 1 ∴a 的取值范围是 (?? , ? ] ? [0 , ? ?) ?6 分 4 x b 1 ? 1 ? ln x n ? (3)反证法:假设 x1 = b>1,由 (2) ln n ? , b xn x n ?1 b 1 ? ln b ? (n ? N * ) ∴ ? ? ? 8 分 故 xn xn ?1 b 1 1 1 ln b 1 1 1? ? ln b ? ? ln b ? (ln b ? ) ? ln b ? ? 2 ( l bn? ) ?? x1 x2 b x3 b x4 b 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ? ?) ln b ? ln b ,即 ln b ? 1 ①又由(2)当 b>1 时, 1 1 b b b 1? 1? b b 1 1 1 ln b ? 1 ln b ? ? 1 ,∴ ln b ? 1 ? ? 1 b b 1? b

与①矛盾,故 b≤1,即 x1≤1; * 同理可证 x2≤1,x3≤1,?,xn≤1(n∈N )

????14 分

(文)解:由 f(x)的图象关于点(0,0)对称,即 f(x)是奇函数,所以 f ( x) ? a1 x3 ? a3 x.

? f '(?1) ? 3a1 ? a3 ? 0 ? 由题意,得 ? 2, f ( ? 1) ? ? a ? a ? 1 3 ? 3 ?

1 ? ?a1 ? 所以 ? 3 , ? ?a3 ? ?1
用心 爱心 专心

f ( x) ?

1 3 x ?x. 3

可以检验 f(x)满足题意:当 x=-1 时,f(x)取极大值 所以,所求 f ( x) ?

2 . 3

1 3 x ? x. ?????4 分 3
设 所 求 两 点 为 (x1,f(x1)),(x2,f(x2))
2 2

(II) f '( x) ? x2 ?1
2 1

x1,x2 ∈ [ [? 2, 2] , 得
2 ? ? x1 ? 1 ? ?1 或 2 x ? 1 ? 1 ? ? 2

f '( x1 ) f '( x2 ) ? ( x ?1)( x ?1) ? ?1

2 2 因 为 x1 ?1, x2 ?1?[?1,1] , 所 以 ?

? x12 ? 1 ? 1 ? 即 ( x1, x2 ) ? (0, ? 2) 或 (? 2,0) 从而可得所求两点的坐标为: ? 2 x ? 1 ? ? 1 ? ? 2
(0,0), ( 2, ?

2 2 ) 或者(0,0), (? 2, ). ?????9 分 3 3

(III) xn ? [ ,1) , 当 x ? [ ,1) 时 f '( x) ? 0 , 即在 [ ,1) 上递减 , 得 f ( xn ) ? ( f (1), f ( )] , 即

1 1 1 1 2 2 2 2 2 11 2 f ( xn ) ? (? , ? ] . ym ? (? 2, ? 2] , 用导数可求得 f ( ym ) ? ( f (? 2), f ( ,即 ? 1)] 3 24 3

f ( ym ) ? (

2 2 , ], 3 3
2 2 4 ? ( ? ) ? ??????14 分 3 3 3

所以 | f ( xn ) ? f ( ym ) |? f ( ym ) ? f ( xn ) ?

3.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? (3m ? 6) x ? 1, 其中m ? 0 。
3 2

(1)若 f ( x) 的单调增区间是(0,1)求 m 的值。 (2)当 x ? [?1,1] 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值 范围。 答案: (1) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6
2

? f ( x)的单调增区间是 (0,1),
, ? f ( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 0 的解集为(0,1) 则 0,1 是关于 x 的方程 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 0 的两根
2

? m ? ?2
(2)由已知,当 x ? [?1,1]时, f ?( x) ? 3m,

用心

爱心

专心

? mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0
又 m<0,要使 g ( x) ? mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0在x ? [?1,1] 上恒成立 只需满足 ?

? g (?1) ? 0 4 , 解得 ? ? m ? 0 3 ? g (1) ? 0

4.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x ? (a ? 4) x在(1,?? ) 上是增函数。 2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设 g ( x) ?| e ? a | ?
x

a2 , 其中x ? [0, ln 3], 求函数g ( x) 的最小值。 2

答案: (1) f ?( x) ? x ?

1 ? a ? 4. x

? f ( x)在(1,??) 上是增函数,
1 ? a ? 4 ? 0在(1,?? ) 上恒成立, x 1 即 a ? 4 ? ( x ? ) 恒成立, x 1 ? x ? ? 2(当且仅当 x ? 1时, ? 成立 ) x 1 ? 4 ? ( x ? ) ? 2. x 所以 a ? 2 ?x?

a2 . (2)设 t ? e , 则h(t ) ?| t ? a | ? 2
x

? 0 ? x ? ln 3, ?1 ? t ? 3,

? a2 ? t ? a ? ,1 ? t ? a, ? ? 2 当 2 ? a ? 3时, h(t ) ? ? 2 ?t ? a ? a , a ? t ? 3. ? 2 ?
? h(t ) 的最小值为 h(a) ?

a2 . 2

用心

爱心

专心

当 a ? 3时, h(t ) ? ?t ? a ?

a2 . 2 a2 . 2 a2 ,当 a>3 时, 2

? h(t ) 最小值为 h(3) ? a ? 3 ?

所以,当 2 ? a ? 3时, g ( x) 的最小值为

a2 g ( x)的最小值为a ? 3 ? . 2
5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2. (1)当 1 ? x ? m时, 为等式f ( x ? 3) ? x 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)在曲线 y ? f ( x ? t ) 上存在两点关于直线 y ? x 对称,求 t 的取值范围; (3)在直线 y ? ? ⊥l2 答案: (1)直线 y=x 与曲线 y ? f ( x ? 3) 的交点可由 ?

1 上取一点 P, 过点 P作曲线 y ? f ( x ? t ) 的两条切线 l1、l2,求证:l1 4

?y ? x
2 ? y ? ( x ? 2)

? x 2 ? 5x ? 4 ? 0

求得交点为(1,1)和(4,4) ,此时 y ? f ( x ? 3) 在区间[1,4]上图象在直线 y=x 的 下面,即 f ( x ? 3) ? x 恒成立,所以 m 的最大值为 4。 (2)设曲线上关于直线 y=x 的对称点为 A( x1 , y1 )和 B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为: y ? ? x ? b.

? y ? ( x ? t ? 1) 2 ? x 2 ? (2t ? 3) x ? (t ? 1) 2 ? b ? 0 ? ? y ? ?x ? b
? ? (2t ? 3) 2 ? 4[(t ? 1) 2 ? b] ? 4t ? 5 ? 4b ? 0 (1 分)
x1 ? x 2 ? ?2t ? 3, x0 ? ? 2t ? 3 2t ? 3 , y 0 ? ? x0 ? b ? ?b 2 2

又因为 AB 中点在直线 y=x 上,所以 y0 ? x0 ,

用心

爱心

专心

得 b ? ?2t ? 3, 代入 (1)式, 得t ? ? .

7 4

9分

(3)设 P 的坐标为 (a,? ) ,过 P 的切线方程为: y ?

1 4

1 ? k ( x ? a) ,则有 4

? y ? ( x ? t ? 1) 2 1 ? ? x 2 ? [2(t ? 1) ? k ]x ? (t ? 1) 2 ? ka ? ? 0 ? 1 4 ? y ? ? k ( x ? a) 4 ?
1 ? ? [2(t ? 1) ? k ] 2 ? ?4[( t ? 1) 2 ? ka ? ] ? k 2 ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0, 4
直线 l1 , l 2的斜率k1 和k 2的方程k 2 ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0 的两根, 则 k1 ? k 2 ? ?1, 所以l1 ? l 2 . 14 分

6.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab (a ? 0) , 当 x ? (? 3 ,2 ) 时, f ( x) ? 0 ; 当x? ( ? ? , ?3 )

? (2,??) 时, f ( x ) ? 0 .
(1)求 f ( x ) 在[0,1]内的值域; (2) c 为何值时,不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 在[1,4]上恒成立. 答案:由题意得 x ? ?3 和 x ? 2 是函数 f ( x ) 的零点且

?0 ? a(?3) 2 ? (b ? 8) ? (?3) ? a ? ab (此 (a ? 0) ,则 ? 2 ?0 ? a ? 2 ? (b ? 8) ? 2 ? a ? ab
处也可用韦达定理解)解得: ?

?a ? ?3 ?b?5
----------------------------6 分

? f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18

(1)由图像知,函数在 ?0,1? 内为单调递减,所以:当 x ? 0 时, y ? 18 ,当 x ? 2 时, y ? 12 .

? f ( x) 在 ?0,1? 内的值域为 ?12,18?
(2)令 g ( x) ? ?3x ? 5x ? c
2

---------------------------- 8 分

因为 g ( x )在[ , ? ? ] 上单调递减,要使 g ( x) ? 0 在[1,4]上恒成立, 则需要 g (1) ? 0 ,即 ? 3 ? 5 ? c ? 0

5 6

用心

爱心

专心

解得 c ? ?2 ? 当 c ? ?2 时,不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 在[1,4]上恒成立. 7.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)
3 2 已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x cos ? ?

------12 分

1 ? ,其中 x ? R , ? 为参数,且 0≤ ? ≤ . 32 2

(1)当 cos ? ? 0 时,判断函数 f ( x ) 是否有极值; (2)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x ) 在区间 ? 2a ?1, a ? 内都是增 函数,求实数 a 的取值范围。 答案: (1)当 cosθ =0 时, 4x +
3

cos ? ) 2 cos ? / 令 f (x)=0,x1=0,x2= ; 2
(2)f (x)=12x(x/

1 在 R 上为增函数,无极值;----------------2 分 32
-------------------------------------4 分

列表可知: (列表正确) f(x)极小= f(

cos ? 1 cos3 ? )= >0 2 32 4
---------------------------------------------------------8



? ? <θ < 3 2

分 (3)a<0 且 2a-1<a ∴a<0

cos ? 5 恒成立, ∴ <a<1 。 2 8 5 ∴a 的取值范围是:a<0 或 <a<1 。 ------------------------------------14 分 8
或 2a-1<a 且 2a-1> 8.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知函数 f ? x ? ? log a

2? x (0<a<1) 。 2? x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)解不等式 f(x)≤loga(3x) 答案: (1) (-2,2) -------------------------------------------------3 分 (2)奇函数 ----------------------------------------------------------6 分

?2 ? x ? 3x ? (3) ? 2 ? x ? ?3x? 0

--------------------------------------------------------8 分

用心

爱心

专心

∴{x|0<x≤

2 或 1 ≤x <2} 3

--------------------------------------12 分

9.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 f ? x ? ? x ? x ?1?? x ? a ? (a>1) (1)证明:函数 f(x)有两个不同的极值点 x1、x2; (2)若不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,求 a 的范围。 答案: (1)f(x)=x -(a+1)x +ax, / 2 f (x)=3x -2(a+1)x+a, ----------------------------------------------2 分 / 令 f (x)=0,得 x1,x2 其中:x1≠x2;可设 x1<x2 列表可知(略) ,x1,x2 是 f(x)的极值点。 ---------------------------------6 分
3 2

2(a ? 1) ? x1 ? x 2 ? ? ? 3 (2) ? , ------------------------------------------------8 分 ?x x ? a 1 2 ? 3 ?
由 f(x1)+ f(x2)≤0 得 a≤

1 或 a≥2 又 a>1 ∴{a|a≥2} 。------------12 分 2

10.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)

1 3 2 ax +bx +cx+d,其中 a、b、c、是以 d 为公差的等差数列,且 a>0,d>0,设 x0 3 2b / 为 f(x)的极小值点。在[1,0]上,f (x)在 x1 处取最大值,在 x2 处取最小值,记 a
f(x)= 点 A(x0 ,f(x0) ) ,B(x1 ,f (x1) ) ,C(x2 ,f (x2) ) 。 (1)求 x0 的值; (2)若△ABC 有一条边平行于 x 轴,且面积为 2+ 3 ,求 a、d 的值。 答案: (1)∵2b=a+c f (x)=ax +2bx+c= ax +(a+c)x+c=a(x+1) (x+
/ 2 2 / /

(14 分)

a ? 2d ) a

-----------------4 分

a ? 2d >1, a a ? 2d / 令 f (x)=0,得:x1=,x2=-1,x1<x2, a
∵a>0,d>0,∴ 列表可知,x1 为极小值点,x2 为极大值点;∴x0=-1; ---------------------------6 分

(2)f (x)的图象是开口向上,对称轴为 x=由 f (x)在[1/

/

b b 的抛物线,- <-1, a a

2b / ,0]上的图象可知:最大值为 f (0)=c,即 x1=0, a
用心 爱心 专心

f (x)在[1-

/

d2 2b b b / ,0]上的最小值为 f (- )=,即 x2=- ,-----------------8 分 a a a a

∴A(-1,-

d2 a b ) ,B(0,c) ,C(- ,) , --------------------------------10 分 3 a a

∵△ABC 的一边平行于 x 轴,∴AC 平行于 x 轴, ∴-

a d2 =∴a= 3 d, ---------------------------------------------------12 分 3 a

b=( 3 +1)d,c=( 3 +2)d,代入 S△=

1 b a |( -1) (C+ )|=2+ 3 得: 2 a 3

∴d=3,a=3 3 。 ---------------------------------------------------------14 分 11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 f(x)=ax·2
X

(1)若 f(x)在 x=0 处的切线为 y=x,求实数 a 的值; (2)若 a≠0,求函数 f(x)的增区间。 答案: (1)f (x)= a·2 +ax·2 ln2 -------------------------------------------(2 分) K= f (0)=1,得:a·2 =1,a=1
/ X X / 0 / X X

---------------------------------------(6 分)

(2)令 f (x)= a·2 +ax·2 ·ln2>0, ①当 a>0 时,x>-log2e,∴f(x)增区间是: (-log2e,+∞) ; ---------------(9 分) ②当 a<0 时,x<-log2e,∴f(x)增区间是: (-∞,-log2e) ;----------------(12 分)

12.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 2 2 已知 m∈R,设 p:x1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个实根,不等式|m -5m-3|≥|x1-x2|对任意 实数 a∈[-1,1]恒成立;Q:函数 f(x)=x +mx +(m+ 求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围。
3 2

4 )x+6 在(-∞,+∞)上有极值, 3

?? ? a 2 ? 8 ? 0 ? 2 2 答案:P: ? x1 ? x 2 ? a ,又∵|x1 –x2| =(x1 +x2) -4x1x2≤ 9 ? x x ? ?2 ? 1 2
用心 爱心 专心

∴ |m -5m-3|≥3,--------------------------------------------------------(4 分) m ≤-1 或 0≤m ≤5 或 m≥6, -------------------------------------------(6 分) Q:f (x)=3x +2mx+(m+
/ 2

2

4 )=0,①△<0,无极值;②△=0 时,列表可知,无极值; 3

③△>0 时,列表可知,有极值。 ------------------------------------------(10 分) 解得: m<-1 或 m>4 ∵P、Q 同时为真,则:m<-1 或 4<m≤5 或 m≥6 。-----------------------(12 分) 13.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) ,当 x ? ?1 时 f ( x ) 取得极值 5,且 f (1) ? ?11 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)证明对任意 x1 , x2 ? (?3,3) ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 32 恒成立. 答案: (Ⅰ) f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0)

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c

? f (1) ? ?11 ?a ? b ? c ? ?11 ? a ? 1 ? ? ? 由题意可得: ? f (?1) ? 5 ? ? ? a ? b ? c ? 5 ? ?b ? ?3 ? f ?(?1) ? 0 ?3a ? 2b ? c ? 0 ?c ? ?9 ? ? ?
因此, f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x , f ?( x) ? 3( x ? 1)(x ? 3) 当 x ? (??,?1) ? (3,??) 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? (?1,3) 时, f '( x) ? 0 , 所以函数单调增区间为 (??,?1) , (3,??) ,单调减区间为 (?1,3) .

f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 5,在 x ? 3 处取得极小值–27



(7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 在 (?3,?1) 上递增,在 (?1,3) 上递减, 所以, x ? (?3,3) 时, f ( x) ? f (?1) ? 5 , f ( x) ? f (?3) ? ?27 所以,对任意 x1 , x2 ? (?3,3) 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| 5 ? (?27) |? 32 . (12 分) 14.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 已知函数 f ( x) ?

1 4 x ? bx 3 ? cx 2 ? dx ? e( x ? R)在x ? 0和x ? 1 处取得极值。 2

(1)求 d 的值及 b,c 的关系式(用 c 表示 b) ,并指出 c 的取值范围; (2)若函数 f ( x)在x ? 0 处取得极大值 ①判断 c 的取值范围; ②若此时函数 f ( x)在x ? 1 时取得最小值,求 c 的取值范围。

用心

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答案: (1)? f ?( x) ? 2x 3 ? 3bx2 ? 2cx ? d 又? f ?(0) ? f ?(1) ? 0,

?d ? 0 ?? ?2 ? 3b ? 2c ? d ? 0
?d ? 0 ? ?? 2c ? 2 ????????????4 分 ?b ? ? 3 ?

? f ?( x) ? 2x 3 ? 2(c ? 1) x 2 ? 2cx
即: f ?( x) ? 2 x( x ? 1)(x ? c)

? c ? 0且c ? 1 即:c 的取值范围是 {c | c ? 0且c ? 1} ????????6 分
(2)① f ?( x) ? 2 x( x ? 1)(x ? c)

?当c ? 0时, 有
x

(??, c)
- 递减

c 0 极小值

(c,0) + 递增

0 0 极大值

(0,1) - 递减

1 0 极小值

(1,+ ? ) + 递增

f ?( x) f ( x)

符合题意 0<c<1 或 c>1 时,不符合题意 即:c 的取值范围是 {c | c ? 0} ????????10 分 ②由题意得 f (c) ? f (1), ??????12 分

1 2c 4 ? 2c 1 2c ? 2 ? c4 ? ? c3 ? e ? ? ?c?e 2 3 2 3
? c 4 ? 2c 3 ? 2c ? 1 ? 0
即: (c ? 1) (c ? 1) ? 0
3

? ?1 ? c ? 0即 : c 的取值范围是 {c | ?1 ? c ? 0} ??????14 分
15.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)
用心 爱心 专心

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x ? (a ? 4) x在(1,?? ) 上是增函数. 2

(I)求实数 a 的取值范围; (II)设 g ( x) ? e 2 x ? 2aex ? a 答案: (I) f ?( x) ? x ?

x ? [0, ln 3] ,求函数 g ( x) 的最小值.

1 ? a ? 4. ?????????????? 2 分 x

? f ( x)在(1,??)上是增函数, 1 1 ? a ? 4 ? 0在(1,??)上恒成立,即a ? 4 ? ( x ? )恒成立. x x 1 ? x ? ? 2(当且仅当x ? 1时, 等号成立), x 1 ? 4 ? ( x ? ) ? 2. x ?x ?
所以 a ? 2. ???????????????????5 分 (II)设 t ? e x , 则g (t ) ? t 2 ? 2at ? a ? (t ? a) 2 ? a ? a 2 ( t >0)

? 0 ? x ? ln 3,?1 ? t ? 3. ????????????????7 分
(1)当 2 ? a ? 3 时, g (t ) 最小值为 a ? a 2 ;??????????10 分 (2)当 a ? 3 时, g (t ) 最小值为 9 ? 5a 。????????????12 分

16.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, g ( x) ? 12x ? 4, 若f (?1) ? 0, 且f ( x) 的 图 象 在 点
3 2

(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? g ( x).
(I)求实数 a,b,c 的值; (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间. 答案: (I)? f (?1) ? 0 ,

? ?1 ? a ? b ? c ? 0.



?2 分

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ,
又 f ( x)的图象在点 (1, f (1))处的切线方程为 y ? g ( x),

? f (1) ? g (1) ? 8, 且f ?(1) ? 12.
即a ? b ? c ? 7,

2 a ? b ? 9.

② ③
用心 爱心 专心

?4 分 ? 6分

联立方程①②③,解得 a ? 3, b ? 3, c ? 1. (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5.

? 7分

h?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)(x ? 1).
令 h?( x) ? 0, 得x ? ?3, x ? 1.

? 9分

x f′(x) f(x)

(-∞,-3) +

-3 0 极大

(-3,1) -

1 0 极小

(1,+∞) +

故 h(x)的单调增区间为(-∞,-3) , (1,+∞) ,单调减区间为(-3,1)

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