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2.3.1直线与平面垂直的判定与性质


备课组 课 题

2019 届 数学学科

二次备课教师 上课时间

课时

2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质 集体备课内容

二次备课

授课类型

新授课
1、知识与技能(1)掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定 理; (2)掌握判定直线和平面垂直的方法;掌握直线和平面垂直的性质。 (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础

教学目标

上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法(1)感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情感态度与价值观:培养学生学会从“感性认识”到“理性认识” 过程中获取新知。

教学重难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
(一)创设情景,揭示课题 举例:旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系。 模型演示:直棱柱的侧棱与底面的位置关系。

教 学 环 节 及 主 要 内 容

(二)研探新知 1、 直线与平面垂直的定义: 直线 l 与平面内 α 的任意一条直线都垂直。 记作:l ⊥α。 直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面,垂线与平面的交点 P 叫做垂足。 2、直线与平面垂直的判定: (1)探究:准备一块三角形纸片。 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置 在桌面上(BD、DC 与桌面接触) 。 ① 折痕 AD 与桌面所在平面 α 垂直吗? ② 如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 α 垂直? (AD 是 BC 边上 的高)

(2)思考: ① 有人说,折痕 AD 所在直线已桌面所在平面 α 上的一条直线垂直, 就可以判断 AD 垂直平面 α,你同意他的说法吗? ② 如图,由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD⊥CD,AD ⊥BD,由此你能得到什么结论? (3)归纳结论: (直线与平面垂直

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的判定定理) 一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言: a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ? 。 作用:由线线垂直得到线面垂直。 (线不在多,相交就行。 ) 强调:① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; ② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相 转化的数学思想。 3、实际应用,巩固深化 例 1:有一根旗杆 AB 高 8 米,它 的顶端 A 挂有一条长 10 米的绳子, 拉 紧绳子并把它的下端放在地面上的两 点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、 D,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6 米,那么旗杆就和地面升起垂直, 为什么? 分析:AB⊥BC,AB⊥BD,且 B、C、D 三点不共线。 课堂练习:已知三角形 ABC,直线 l ⊥AB,l ⊥AC,求证 l ⊥BC。

例 2:直线 a、b 和平面 α 有以下三种关系: (1)a // b, (2) a ? ? , (3) b ? ? ,如果任意取其中两个作为前提,另一个作为结论构造命题, 能构成几个命题?并判断其真假。如果是 真命题,请予以证明;如果是假命题,请 举一个反例。 命题 1:如图,已知 a // b, a ? ? ,求

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证: b ? ? 。 证明:在平面 α 内作两条相交直线 m,n,因为直线 a ? ? ,根据直 线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n ,又因为 a // b,所以 b ? m, b ? n , 又因为 m ? ? , n ? ? ,m,n 是两条相交直线,所以 b ? ? 。 归纳:两条互相平行的直线,如果有一条与一个平面垂直,则另一条 也与这个平面垂直。 命题 2:如图,已知直线 a⊥α ,b⊥α,那么 a // b。 证明(反证法)假设 a、b 不平行,且

b ? ? ? O ,b? 是经过点 O 与直线 b 平行的直线。
直线 b 与 b? 确定平面 β,设 ? ? ? ? c ,则 O ? c 。因为 a⊥α 、b⊥α, 所以 a⊥c、b⊥c,又因为 b ? // a ,所以 b ? ? c 。这样在平面 β 内,经过直 线 c 上同一点 O 就有两条直线 b, b? 与 c 垂直,显然不可能,因此 a // b。 归纳(直线与平面垂直的性质) :垂直于同一平面的两条直线平行。 说明:可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行,性质定理 揭示了“平行”与“垂直”之间的内在 联系。 (三)课堂练习:课本 P67,练习 1、2。 1、如图,在三棱锥 V—ABC 中, VA = VC,AB = BC,求证:VB⊥AC。

2、 过三角形 ABC 所在平面 α 外一点 P, 作 PO⊥α, 垂足为 O, 连接 PA, PB,PC。 (1)若 PA=PB=PC,∠C=90°,则点 O 是 AB 边的点。 (2)若 PA=PB=PC,则点 O 是三角形 ABC 的心。 (3)若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是三角形 ABC 的心。

(四)归纳小结: (1)获得直线与平面垂直的判定定理的

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基本过程。 (2)直线与平面垂直的判定定理,体现 的数学思想方法是什么? (五)课后作业: 1、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求证:AC ⊥BDD1B1。 2、如图,已知 PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,O、D 分别为 AB、AC 的中点, 求证:OD⊥平面 PAC。 3、如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的 平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证: MN⊥CD。

教学反思


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