华侨中学2011届高三综合测试数学试题(理科)参考答案2011.12

华侨中学2011届高三综合测试数学试题（理科）参考答案2011.12 一、DA C C DBDD
2 2 1、 解、M ? { x x ? 2} ， N＝ ? y | y ? x , x ? R ? ? { y y ? x ? 0} ， M ? N ? M ? N ? M 即

． 答案：D ．

?

2、解 ? 2 (3 x ? sin x ) d x ? (
0

3 2

?

x ? co s x )
2

2 0

?

3 8

? ?1
2

答案：A．

3、解、

4 2

n n

? 64 ? n ? 6

答案：C
1 4

4、解、由一元二次方程有实根的条件 ? ? 1 ? 4 n ? 0 ? n ? 率为
1 4

，而 n ? ( 0 ,1) ，由几何概率得有实根的概

．答案： C ．
b 2a ? 1 2 (? b a )? 1 2 ( x1 ? x 2 ) ? 1

5、解、由已知易得 a ? 0 ，故二次函数开口向上， 对 称 轴 x ? ?

? f ( x ) ? f (2 ? x ), 令 x ? ? 1有 f (3) ? f ( ? 1) ，又二次函数在 [1, ?? ) 上递增， f (2) ? f (3) ? f (5) 即
f ( 2 ) ? f ( ? 1) ? f (5) .

答案：D．

6、解、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以 A 正确；如果 两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以 C 正确；如果一个平面经过了另一个平面的一条垂 线，则这两个平面平行，所以 D 也正确； 只有 B 选项错误．答案： B ． 7、y ? sin ( 2 x ? 8、D 二、填空题：9.
? ?

?
3
1 2

6 ) ? ? ? ? y ? sin [ 2 ( x ? ?

向左平移

?

?
6

)?

?
3

] ? sin 2 x ? ? ? ? ? ? ? y ? sin 2 ( ?

横 坐 标 变 为 原 来 的 2倍

1 2

x ) ? sin x

10. －

3 4

11. 5 ? a ? 7

12. 4

13.1
1 2

14. 3

15.9cm

9、解、若 c // d ，则 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x ) ? 0 ，解得 x ? 10、解、 C 2 C 5 ? C 5 ? 2 5
1 3 4

．

11、解、 5 ? a ? 7 12、解、令 n ? 0 ，则 a1 ? f ( a 0 ) ? 5 ，令 n ? 1 ，则 a 2 ? f ( a1 ) ? f (5) ? 2 ， 令 n ? 2 ，则 a 3 ? f ( a 2 ) ? f (2) ? 1 ，令 n ? 3 ，则 a 4 ? f ( a 3 ) ? f (1) ? 4 ， 令 n ? 4 ， a 5 ? f ( a 4 ) ? f ( 4 ) ? 5 ， n ? 5 ， a 6 ? f ( a 5 ) ? f (5) ? 2 …， 则 令 则 所以 a 2 0 0 7 ? a 5 0 1? 4 ? 3 ? a 3 ? 4 ． 13、解析： C 1 ： ?
? ? x ? 1 ? cos ? y ? sin ? ? ( x ? 1) ? y
2 2

? 1 ；则圆心坐标为 (1, 0 ) ．

C2

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ： ? ? x ? y ? 2 2 ?1 ? 0 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 1 ? y ?1? t 2 ?
1? 2 2 ?1 2 ? 2 ，所以要求的最短距离为 d ? 1 ? 1 ．

d ?

2 2 2 2 2 14、解、由柯西不等式 ( a ? b )( x ? y ) ? ( ax ? by ) ，答案： 3 ．

15、解、显然 ? A E F 与 ? C D F 为相似三角形，又 AE : CD ? 1 : 3 ，所以 ? C D F 的面积等于 9cm ． 三、解答题： ? 2 16、解： （1） f ( x ) ? 2 cos x ? sin 2 x ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? a … 2分
2

4

则 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2?

?

?? ，

…………………………………4 分

且当 2 k ? ?

?

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

( k ? Z ) 时 f ( x ) 单调递增．

即 x ? [k? ?

2 3? 8

, k? ?

?
8

]( k ? Z ) 为 f ( x ) 的单调递增区间（写成开区间不扣分） ．…6 分

（2）当 x ? [0, 所以 f ( x ) m ax ?
2x ?

?
6

] 时?

?
4

? 2x ?

?
4

?

7? 12

，当 2 x ?
2 ．

?
4

?

?
2

，即 x ?

?
8

时 sin ( 2 x ?

?
4

) ? 1．

2 ?1? a ? 2 ? a ? 1?

…………………………9 分 …………………12 分
1 10 ? 16 5
5

?
4

? k? ?

?
2

? x?

k? 2

?

?
8

( k ? Z ) 为 f ( x ) 的对称轴．
4

2 3 （ 17．解： （1） 5 次预报中恰有 2 次准确的 P5 ( 2 ) ? C 52 ? ） ? ( ） ?

?

32 625

． ??4 分

5

5

（2） 5 次预报中至少有 2 次准确的概率为
1 5 4 1 4 1 ? 20 3104 1 ＝ 1 ? P5 (0 ) ? P5 (1) ＝1 ? ( ) ? C 5 ? ? ( ) ＝1 ? 5 5 5 5 5 3125

?????????8 分
4 4 1 64 3125

1 （3） 5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确”的概 ? C 4 ? ? ( ) 3 ? “

?14 分

5

5

5

18、 解法一： （Ⅰ）取 A B 中点 D ，连结 P D， C D ．? A P ? B P ，? P D ? A B ． ? A C ? B C ，? C D ? A B ．? P D ? C D ? D ，? A B ? 平面 P C D ． ? P C ? 平面 P C D ，? P C ? A B ．………………………..4 分 （Ⅱ）? A C ? B C ， A P ? B P ，?△ A P C ≌ △ B P C ． 又 P C ? A C ，? P C ? B C 又 ? A C B ? 9 0 ， 即 A C ? B C ，且 A C ? P C ? C ， ? B C ? 平面 P A C ．取 A P 中点 E ．连结 B E ， C E ． ? A B ? B P ，? B E ? A P ．? E C 是 B E 在平面 P A C 内的射影， ? C E ? A P ．? ? B E C 是二面角 B ? A P ? C 的平面角．……….6 分
? 在 △ B C E 中， ? B C E ? 90 ， B C ? 2 ， B E ? ?

P

D A C P E A C B

B

3 2

AB ?

6 ，

? sin ? B E C ?

BC BE

?

6 3

? cos ? B E C =

3 3

,……..8 分

二面角 B ? A P ? C 的余弦值为

3

．………………9 分

3 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 A B ? 平面 P C D ，? 平面 A P B ? 平面 P C D ． 过 C 作 C H ? P D ，垂足为 H ．? 平面 A P B ? 平面 P C D ? P D ，
? C H ? 平面 A P B ．? C H 的长即为点 C 到平面 A P B 的距离．…..11 分 由（Ⅰ）知 P C ? A B ，又 P C ? A C ，且 A B ? A C ? A ， ? P C ? 平面 A B C ．? C D ? 平面 A B C ，? P C ? C D ．

P H D A B

在 R t △ P C D 中， C D ?
? PC ? PD ? CD
2 2

1 2

AB ?

2 ， PD ?

3 2

PB ?

6 ，

? 2 ． CH ?
2 3

PC ? CD PD

?

2 3 3

．….13 分 C

? 点 C 到平面 A P B 的距离为

．……………………….14 分

3 解法二： （Ⅰ）? A C ? B C ， A P ? B P ，?△ A P C ≌ △ B P C ．又 P C ? A C ， ? P C ? B C ．? A C ? B C ? C ，? P C ? 平面 A B C ．
? P C ? A B ．……….4 分 ? A B ? 平面 A B C ， （Ⅱ）如图，以 C 为原点，CB,CA 所在直线分别为 X 轴 Y 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz ……….5 分

则 C (0，， ， A (0，， ， B (2，， ．设 P (0，， t ) ．? P B ? A B ? 2 2 ， 0 0) 2 0) 0 0) 0
? t ? 2 ， P (0，，) ．取 A P 中点 E ，连结 B E ， C E ． 0 2

? A C ? P C ， A B ? B P ，? C E ? A P ， B E ? A P ．
? ? B E C 是二面角 B ? A P ? C 的平面角．………………7 分. ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? E (0，1) ， E C ? (0， 1， 1) ， E B ? (2， 1， 1) ， 1，

z P E y A C H x B

cos ? BEC ?

EC ? EB EC EB

?

2 2? 6

?

3 3

．

? 二面角 B ? A P ? C 的余弦值为

3 3

．………………..9 分

（Ⅲ）? A C ? B C ? P C ，? C 在平面 A P B 内的射影为正 △ A P B 的中心 H ， 且 C H 的长为点 C 到平面 A P B 的距离．…………………11 分 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 C ? xyz ．? B H ? 2 H E ，? 点 H 的坐标为 ? ， ， ? ．
?3 3 3? ???? 2 3 2 3 ? CH ? ．? 点 C 到平面 A P B 的距离为 ．……………………14 分 3 3
x x 19． （14 分）解： （Ⅰ）由 k ? e 得 f ( x ) ? e ? e x ，所以 f ?( x ) ? e ? e ．……………1 分

????

????

?2 2 2?

? 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1 ，故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1， ? ) ，………………………3 分 1) 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1 ，故 f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?? ， ． …………………..5 分

（Ⅱ）由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数． 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x ) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立．………..7 分
x 由 f ? ( x ) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k ．

…………………8 分

x 1] ? ①当 k ? (0， 时， f ? ( x ) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0 ( x ? 0 ) ．此时 f ( x ) 在 [0， ? ) 上单调递增．

故 f ( x ) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ，符合题意．………………………………………………..10 分
? ②当 k ? (1， ? ) 时， ln k ? 0 ．当 x 变化时 f ? ( x )， f ( x ) 的变化情况如下表：

x
f ?( x )
f (x)

(0， k ) ln

ln k 0

(ln k ， ? ) ?

?

?

单调递减

极小值

单调递增

? 由此可得，在 [0， ? ) 上， f ( x ) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k ．
? 依题意， k ? k ln k ? 0 ，又 k ? 1， 1 ? k ? e ．…………………………………..13 分

综合①，②得，实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e ．?????????????14 分
? ? ? ? ? ? ? ?

20、解：(I)? ( a ＋ 3 b ) ? ( a － 3 b )
?2 ?2 ? a ? 3b ? 0
? Q 点的轨迹 C 的方程为
2 2

?(a ＋

3 b )·a － 3 b )=0 (

? x ? 3y ? 3 ? 0
x
2 2

化简得

x

2

? y ?1
2

3 ? y ? 1 . ???????????????5

分

3
? y ? kx ? m ? (II)由 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 3

得 ( 3 k ? 1) x ? 6 mkx ? 3 ( m ? 1) ? 0 ??????8 分
2 2 2

由于直线与椭圆有两个交点，
xM ? xN 3m k 3k ? 1
2

? ? ? 0, 即 m

2

? 3k

2

?1

①

当 k ? 0 时 ， 设 弦 MN 的 中 点 为 P （ xP ， yP ） xM 、 xN 分 别 为 点 M 、 N 的 横 坐 标 ， 则 ，
xp ? ? ? 2 yp ?1
xp
2

从而 y p ? kx p ? m ?
2

m 3k
2

?1

? k Ap ?

? ?

m ? 3k

?1

又 AM ? AN ②

,? AP ? MN ，则

3 mk

?

m ? 3k

?1

? ?
?

1

即 2 m ? 3k 2 ? 1
? 0 ，解得 m ? 1 2

把②代入①得 2 m ? m 2 ， 解得 0 ? m ? 2
1 2
2

；

3 mk

由②得

k

2

k 2m ? 1
3

．故所求 m 的取范围是（
? 3k
2

，2） ????11 分

(1) 当 k ? 0 时， AM ? AN

,? AP ? MN ， m

? 1 ， 解得 ? 1 ? m ? 1

故所求 m 的取范围是（ ? 1 ，1） ??????????????13 分 ． 综上可知，当 k ? 0 时， m 的取值范围是（
1 2

，2） ，当 k ? 0 时， m 的取值范围是（ ? 1 ，1） ?14 分 ．

21、(14 分)（Ⅰ）解：由 a 1

? S1 ?

1 6

( a 1 ? 1)( a 1 ? 2 )

，解得 a1＝1 或 a1＝2， …………………….2 分

由假设 a1＝S1＞1，因此 a1＝2 又由 an+1＝Sn+1- Sn＝ ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 2 ) ?
6 1 1 6

( a n ? 1)( a n ? 2 ) ，得 an+1- an-3＝0

或 an+1＝-an

因 an＞0，故 an+1＝-an 不成立，舍去。

…………………………………….5 分

因此 an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为 3，首项为 2 的等差数列， 故｛an｝的通项为 an＝3n-2。 （Ⅱ） 由 a n (2 b ? 1) ? 1 b n ? lo g 2 ? 1 ?
n

…………………………6 分
? ? 1 ? 3n ； ? ? lo g 2 an ? 3n ? 1
? ?。 3n ? 1 ? 3n
3

………..7 分

从而 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? lo g 2 ? ? ?? ?
?2 5

?3 6

3n ? 2 ?3 6 因此 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) ? lo g 2 ? ? ?? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

。
2 ? ?? 5 ? 3? ? 3 n ? ? 3 n ? 2 ?
3

………….8 分
n(?3 ? 3 n (
3

令

3n ? 2 ?3 6 f ( n ) ? ? ? ?? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

3

,则

f ( n? 1 ) ? f ( n)

3? n 3n ?

3)
2

5n) ( 3 ?

。
2 )

因 (3 n ? 3) 3 ? (3 n ? 5)(3 n ? 2) 2 ? 9 n ? 7＞ 0 ，故 特别的
f ( n ) ? f (1) ? 27 20 ＞1

f ( n ? 1)＞ f ( n )

.

………………12 分

。从而 3T n ? 1 ? lo g ( a n ? 3) ? lo g 2 f ( n )＞ 0 ， ……………..14 分

即 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) 。