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华侨中学2011届高三综合测试数学试题(理科)参考答案2011.12

华侨中学2011届高三综合测试数学试题(理科)参考答案2011.12 一、DA C C DBDD
2 2 1、 解、M ? { x x ? 2} , N= ? y | y ? x , x ? R ? ? { y y ? x ? 0} , M ? N ? M ? N ? M 即

. 答案:D .

?

2、解 ? 2 (3 x ? sin x ) d x ? (
0

3 2

?

x ? co s x )
2

2 0

?

3 8

? ?1
2

答案:A.

3、解、

4 2

n n

? 64 ? n ? 6

答案:C
1 4

4、解、由一元二次方程有实根的条件 ? ? 1 ? 4 n ? 0 ? n ? 率为
1 4

,而 n ? ( 0 ,1) ,由几何概率得有实根的概

.答案: C .
b 2a ? 1 2 (? b a )? 1 2 ( x1 ? x 2 ) ? 1

5、解、由已知易得 a ? 0 ,故二次函数开口向上, 对 称 轴 x ? ?

? f ( x ) ? f (2 ? x ), 令 x ? ? 1有 f (3) ? f ( ? 1) ,又二次函数在 [1, ?? ) 上递增, f (2) ? f (3) ? f (5) 即
f ( 2 ) ? f ( ? 1) ? f (5) .

答案:D.

6、解、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,所以 A 正确;如果 两个平面与同一条直线垂直,则这两个平面平行,所以 C 正确;如果一个平面经过了另一个平面的一条垂 线,则这两个平面平行,所以 D 也正确; 只有 B 选项错误.答案: B . 7、y ? sin ( 2 x ? 8、D 二、填空题:9.
? ?

?
3
1 2

6 ) ? ? ? ? y ? sin [ 2 ( x ? ?

向左平移

?

?
6

)?

?
3

] ? sin 2 x ? ? ? ? ? ? ? y ? sin 2 ( ?

横 坐 标 变 为 原 来 的 2倍

1 2

x ) ? sin x

10. -

3 4

11. 5 ? a ? 7

12. 4

13.1
1 2

14. 3

15.9cm

9、解、若 c // d ,则 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x ) ? 0 ,解得 x ? 10、解、 C 2 C 5 ? C 5 ? 2 5
1 3 4



11、解、 5 ? a ? 7 12、解、令 n ? 0 ,则 a1 ? f ( a 0 ) ? 5 ,令 n ? 1 ,则 a 2 ? f ( a1 ) ? f (5) ? 2 , 令 n ? 2 ,则 a 3 ? f ( a 2 ) ? f (2) ? 1 ,令 n ? 3 ,则 a 4 ? f ( a 3 ) ? f (1) ? 4 , 令 n ? 4 , a 5 ? f ( a 4 ) ? f ( 4 ) ? 5 , n ? 5 , a 6 ? f ( a 5 ) ? f (5) ? 2 …, 则 令 则 所以 a 2 0 0 7 ? a 5 0 1? 4 ? 3 ? a 3 ? 4 . 13、解析: C 1 : ?
? ? x ? 1 ? cos ? y ? sin ? ? ( x ? 1) ? y
2 2

? 1 ;则圆心坐标为 (1, 0 ) .

C2

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t : ? ? x ? y ? 2 2 ?1 ? 0 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 1 ? y ?1? t 2 ?
1? 2 2 ?1 2 ? 2 ,所以要求的最短距离为 d ? 1 ? 1 .

d ?

2 2 2 2 2 14、解、由柯西不等式 ( a ? b )( x ? y ) ? ( ax ? by ) ,答案: 3 .

15、解、显然 ? A E F 与 ? C D F 为相似三角形,又 AE : CD ? 1 : 3 ,所以 ? C D F 的面积等于 9cm . 三、解答题: ? 2 16、解: (1) f ( x ) ? 2 cos x ? sin 2 x ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? a … 2分
2

4

则 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2?

?

?? ,

…………………………………4 分

且当 2 k ? ?

?

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

( k ? Z ) 时 f ( x ) 单调递增.

即 x ? [k? ?

2 3? 8

, k? ?

?
8

]( k ? Z ) 为 f ( x ) 的单调递增区间(写成开区间不扣分) .…6 分

(2)当 x ? [0, 所以 f ( x ) m ax ?
2x ?

?
6

] 时?

?
4

? 2x ?

?
4

?

7? 12

,当 2 x ?
2 .

?
4

?

?
2

,即 x ?

?
8

时 sin ( 2 x ?

?
4

) ? 1.

2 ?1? a ? 2 ? a ? 1?

…………………………9 分 …………………12 分
1 10 ? 16 5
5

?
4

? k? ?

?
2

? x?

k? 2

?

?
8

( k ? Z ) 为 f ( x ) 的对称轴.
4

2 3 ( 17.解: (1) 5 次预报中恰有 2 次准确的 P5 ( 2 ) ? C 52 ? ) ? ( ) ?

?

32 625

. ??4 分

5

5

(2) 5 次预报中至少有 2 次准确的概率为
1 5 4 1 4 1 ? 20 3104 1 = 1 ? P5 (0 ) ? P5 (1) =1 ? ( ) ? C 5 ? ? ( ) =1 ? 5 5 5 5 5 3125

?????????8 分
4 4 1 64 3125

1 (3) 5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概 ? C 4 ? ? ( ) 3 ? “

?14 分

5

5

5

18、 解法一: (Ⅰ)取 A B 中点 D ,连结 P D, C D .? A P ? B P ,? P D ? A B . ? A C ? B C ,? C D ? A B .? P D ? C D ? D ,? A B ? 平面 P C D . ? P C ? 平面 P C D ,? P C ? A B .………………………..4 分 (Ⅱ)? A C ? B C , A P ? B P ,?△ A P C ≌ △ B P C . 又 P C ? A C ,? P C ? B C 又 ? A C B ? 9 0 , 即 A C ? B C ,且 A C ? P C ? C , ? B C ? 平面 P A C .取 A P 中点 E .连结 B E , C E . ? A B ? B P ,? B E ? A P .? E C 是 B E 在平面 P A C 内的射影, ? C E ? A P .? ? B E C 是二面角 B ? A P ? C 的平面角.……….6 分
? 在 △ B C E 中, ? B C E ? 90 , B C ? 2 , B E ? ?

P

D A C P E A C B

B

3 2

AB ?

6 ,

? sin ? B E C ?

BC BE

?

6 3

? cos ? B E C =

3 3

,……..8 分

二面角 B ? A P ? C 的余弦值为

3

.………………9 分

3 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 A B ? 平面 P C D ,? 平面 A P B ? 平面 P C D . 过 C 作 C H ? P D ,垂足为 H .? 平面 A P B ? 平面 P C D ? P D ,
? C H ? 平面 A P B .? C H 的长即为点 C 到平面 A P B 的距离.…..11 分 由(Ⅰ)知 P C ? A B ,又 P C ? A C ,且 A B ? A C ? A , ? P C ? 平面 A B C .? C D ? 平面 A B C ,? P C ? C D .

P H D A B

在 R t △ P C D 中, C D ?
? PC ? PD ? CD
2 2

1 2

AB ?

2 , PD ?

3 2

PB ?

6 ,

? 2 . CH ?
2 3

PC ? CD PD

?

2 3 3

.….13 分 C

? 点 C 到平面 A P B 的距离为

.……………………….14 分

3 解法二: (Ⅰ)? A C ? B C , A P ? B P ,?△ A P C ≌ △ B P C .又 P C ? A C , ? P C ? B C .? A C ? B C ? C ,? P C ? 平面 A B C .
? P C ? A B .……….4 分 ? A B ? 平面 A B C , (Ⅱ)如图,以 C 为原点,CB,CA 所在直线分别为 X 轴 Y 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz ……….5 分

则 C (0,, , A (0,, , B (2,, .设 P (0,, t ) .? P B ? A B ? 2 2 , 0 0) 2 0) 0 0) 0
? t ? 2 , P (0,,) .取 A P 中点 E ,连结 B E , C E . 0 2

? A C ? P C , A B ? B P ,? C E ? A P , B E ? A P .
? ? B E C 是二面角 B ? A P ? C 的平面角.………………7 分. ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? E (0,1) , E C ? (0, 1, 1) , E B ? (2, 1, 1) , 1,

z P E y A C H x B

cos ? BEC ?

EC ? EB EC EB

?

2 2? 6

?

3 3



? 二面角 B ? A P ? C 的余弦值为

3 3

.………………..9 分

(Ⅲ)? A C ? B C ? P C ,? C 在平面 A P B 内的射影为正 △ A P B 的中心 H , 且 C H 的长为点 C 到平面 A P B 的距离.…………………11 分 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .? B H ? 2 H E ,? 点 H 的坐标为 ? , , ? .
?3 3 3? ???? 2 3 2 3 ? CH ? .? 点 C 到平面 A P B 的距离为 .……………………14 分 3 3
x x 19. (14 分)解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x ) ? e ? e x ,所以 f ?( x ) ? e ? e .……………1 分

????

????

?2 2 2?

? 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1, ? ) ,………………………3 分 1) 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?? , . …………………..5 分

(Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x ) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.………..7 分
x 由 f ? ( x ) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .

…………………8 分

x 1] ? ①当 k ? (0, 时, f ? ( x ) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0 ( x ? 0 ) .此时 f ( x ) 在 [0, ? ) 上单调递增.

故 f ( x ) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.………………………………………………..10 分
? ②当 k ? (1, ? ) 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f (x)

(0, k ) ln

ln k 0

(ln k , ? ) ?

?

?

单调递减

极小值

单调递增

? 由此可得,在 [0, ? ) 上, f ( x ) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .
? 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, 1 ? k ? e .…………………………………..13 分

综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .?????????????14 分
? ? ? ? ? ? ? ?

20、解:(I)? ( a + 3 b ) ? ( a - 3 b )
?2 ?2 ? a ? 3b ? 0
? Q 点的轨迹 C 的方程为
2 2

?(a +

3 b )·a - 3 b )=0 (

? x ? 3y ? 3 ? 0
x
2 2

化简得

x

2

? y ?1
2

3 ? y ? 1 . ???????????????5



3
? y ? kx ? m ? (II)由 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 3

得 ( 3 k ? 1) x ? 6 mkx ? 3 ( m ? 1) ? 0 ??????8 分
2 2 2

由于直线与椭圆有两个交点,
xM ? xN 3m k 3k ? 1
2

? ? ? 0, 即 m

2

? 3k

2

?1



当 k ? 0 时 , 设 弦 MN 的 中 点 为 P ( xP , yP ) xM 、 xN 分 别 为 点 M 、 N 的 横 坐 标 , 则 ,
xp ? ? ? 2 yp ?1
xp
2

从而 y p ? kx p ? m ?
2

m 3k
2

?1

? k Ap ?

? ?

m ? 3k

?1

又 AM ? AN ②

,? AP ? MN ,则

3 mk

?

m ? 3k

?1

? ?
?

1

即 2 m ? 3k 2 ? 1
? 0 ,解得 m ? 1 2

把②代入①得 2 m ? m 2 , 解得 0 ? m ? 2
1 2
2



3 mk

由②得

k

2

k 2m ? 1
3

.故所求 m 的取范围是(
? 3k
2

,2) ????11 分

(1) 当 k ? 0 时, AM ? AN

,? AP ? MN , m

? 1 , 解得 ? 1 ? m ? 1

故所求 m 的取范围是( ? 1 ,1) ??????????????13 分 . 综上可知,当 k ? 0 时, m 的取值范围是(
1 2

,2) ,当 k ? 0 时, m 的取值范围是( ? 1 ,1) ?14 分 .

21、(14 分)(Ⅰ)解:由 a 1

? S1 ?

1 6

( a 1 ? 1)( a 1 ? 2 )

,解得 a1=1 或 a1=2, …………………….2 分

由假设 a1=S1>1,因此 a1=2 又由 an+1=Sn+1- Sn= ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 2 ) ?
6 1 1 6

( a n ? 1)( a n ? 2 ) ,得 an+1- an-3=0

或 an+1=-an

因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。

…………………………………….5 分

因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列, 故{an}的通项为 an=3n-2。 (Ⅱ) 由 a n (2 b ? 1) ? 1 b n ? lo g 2 ? 1 ?
n

…………………………6 分
? ? 1 ? 3n ; ? ? lo g 2 an ? 3n ? 1
? ?。 3n ? 1 ? 3n
3

………..7 分

从而 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? lo g 2 ? ? ?? ?
?2 5

?3 6

3n ? 2 ?3 6 因此 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) ? lo g 2 ? ? ?? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5


2 ? ?? 5 ? 3? ? 3 n ? ? 3 n ? 2 ?
3

………….8 分
n(?3 ? 3 n (
3



3n ? 2 ?3 6 f ( n ) ? ? ? ?? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

3

,则

f ( n? 1 ) ? f ( n)

3? n 3n ?

3)
2

5n) ( 3 ?


2 )

因 (3 n ? 3) 3 ? (3 n ? 5)(3 n ? 2) 2 ? 9 n ? 7> 0 ,故 特别的
f ( n ) ? f (1) ? 27 20 >1

f ( n ? 1)> f ( n )

.

………………12 分

。从而 3T n ? 1 ? lo g ( a n ? 3) ? lo g 2 f ( n )> 0 , ……………..14 分

即 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) 。


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