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高中数学“学考复习”模块过关专题讲座练习:第十一讲 平面向量的数量积


第十一讲
一、知识回顾

平面向量的数量积

知识点 1:定义:两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 叫做 ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? (①“ a · b ”中间的 a 与 b 的数量积(或内积) “· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。② 零向量与任何向量的数量积为零) 。 的范围 0°≤ ? <90° =90° 0°< ? ≤180° ? ?

a · b 的符号
知识点 2:向量投影的概念:如图,把│ b │cos ? (│ a │cos ? )叫做向量 b 在 a 方向上 ( a 在 b 方向上)的投影,记做:OB1=︱│ b │︱cos ? 。数量积的几何意义: 数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影︱ b ︱cos ? 的 乘积。 知识点 3:数量积的性质:设 a 和 b 都是非零向量,则 1、 a ⊥ b

a · b =0

2、︱ a · b ︱≤︱ a ︱×︱ b ︱

3、当 a 与 b 同向时,︱ a · b ︱=︱ a ︱︱ b ︱;当 a 与 b 反向时,
2 ︱ a · b ︱= -︱ a ︱︱ b ︱, 特别地, a · a =︱ a ︱ 或︱ a ︱= a ? a

知识点 4:数量积的运算律:

已知向量 a 、 b 、 c 和实数λ,则: (1) a · b = b · a (2) (λ a ) b =λ( a · b )= a · · (λ b )

例 2、 (已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求( a +2 b )( a -3 b ) · ,

(3) a + b ) c = a · c + b · c ( ·
2 2 2

变式: (1)( a + b ) = a +2 a · b + b

(2)( a + b )·( a - b )= a — b

2

2

知识点 5:设两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? , a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) , 则:① a ? b ? ② cos? ? ③a ? b ? ④a ∥b ?

a ?

b ?

二、典型例题
例 1、 已知| a |=3, b |=6, | 当① a ∥ b , a ⊥ b , a 与 b 的夹角是 60°时, ② ③ 分别求 a · b 。

例 2、 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为 直角,求 k 值。

变式:已知 , a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, (1) ka ? b与 ? 3b 垂直? , a (2) ka ? b与 ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向? a

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

变式:已知向量 a=(-2,-1),b=(λ ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 取 值范围是多少?

例 3、与 a= ?3,4 ? 平行的单位向量是__________ 变式:与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________

?

?

三、课堂练习
1、已知| a |=5, | b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120o, a · = b 2.已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为

? , 那么向量 m= a -4 b 的模 为 3

.

. .

3.已知 a + b =2i-8j,a - b =-8i+16j, 其中 i、 是 x 轴、 轴正方向上的单位向量, j y 那么 a · = b 4.设 m、n 是两个 单位向量,其夹角为60 °,求向量 a =2m+n 与 b =2n-3m 的夹角.

5.已知| a |=1,| b |= 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a · ;(2)若 a 、 b 的夹角为60° ,求| a + b |; b (3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

四、总结提升 1、 a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 2、a=(x1,y1),b(x2,y2),则 a·b=(x1,y1)·(x2,y2) =x1x2+y1y。 五、课后作业
1、设 a=(2,1),b=(1,3),求 a·b 及 a 与 b 的夹角

2. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在b 方向上的投影为_________ 3. 已知 a ⊥ b 、c 与 a 、 b 的夹角均为 60°,且| a |=1,| b |=2,|c|=3,则( a +2 b -c) =______.


?

?

?

4、已知 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90 ?,若能求 C 坐标;若不能,说明理由。


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