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高考数学考点练习第六章立体几何43直线平面平行的判定及其性质试题文

考点测试 43 直线、平面平行的判定及其性质

一、基础小题

1.设 m,l 表示直线,α 表示平面,若 m? α ,则 l∥α 是 l∥m 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案 D

解析 l∥α ?/ l∥m,因为 l 与 m 也可以异面.反之 l∥m?/ l∥α ,因为也可以 l? α .

2.已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( )

A.只有一条,不在平面 α 内

B.只有一条,且在平面 α 内

C.有无数条,不一定在平面 α 内

D.有无数条,一定在平面 α 内

答案 B

解析 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β ,则平面 α ,β 有公共点,因此它们有一条

公共直线,设该公共直线为 m,因为 l∥α ,所以 l∥m,故过点 P 且平行于直线 l 的直线只

有一条,且在平面 α 内,选 B.

3.下列命题中,错误的是( )

A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

B.平行于同一个平面的两个平面平行

C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行

D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 答案 C 解析 由面面平行的判定定理和性质知 A、B、D 正确.对于 C,位于两个平行平面内的 直线也可能异面. 4.若直线 l 不平行于平面 α ,且 l?α ,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 答案 B 解析 因为 l?α ,若在平面 α 内存在与直线 l 平行的直线,则 l∥α ,这与题意矛盾, 故选 B. 5. 如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,且 PQ∥AC,则下列命题中,错误的 是( )

A.AC⊥BD

B.AC∥截面 PQMN

C.AC=BD

D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

答案 C

解析 由题意可知 PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正确;由 PQ∥AC 可得

AC∥截面 PQMN,故 B 正确;由 PN∥BD 可知,异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成

的角,又四边形 PQMN 为正方形,所以∠MPN=45°,故 D 正确;而 AC=BD 没有论证来源.

6.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥

β 的一个充分而不必要条件是( )

A.m∥β 且 l1∥α

B.m∥l1 且 n∥l2

C.m∥β 且 n∥β

D.m∥β 且 n∥l2

答案 B

解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1∥m 可

得 l1∥α ,同理可得 l2∥α 故可得 α ∥β ,充分性成立,而由 α ∥β 不一定能得到 l1∥m,

它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是必要

非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥β ,同选项 C,故不符合题意,综上选 B.

7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=a3,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上, 则 PQ=________.
答案 2 3 2a
解析 如图所示,连接 AC, 易知 MN∥平面 ABCD, ∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC. 又∵AP=a3, ∴PADD=PAQC=23. ∴PQ=23AC=2 3 2a.

8.如图,已知三个平面 α ,β ,γ 互相平行,a,b 是异面直线,a 与 α ,β ,γ 分别 交于 A,B,C 三点,b 与 α ,β ,γ 分别交于 D,E,F 三点,连接 AF 交平面 β 于 G,连接 CD 交平面 β 于 H,则四边形 BGEH 必为________.
答案 平行四边形 解析 由题意知,直线 a 与 AF 确定平面 ACF,由面面平行的性质定理,可得 BG∥CF,同 理有 HE∥CF,所以 BG∥HE.同理 BH∥GE,所以四边形 BGEH 为平行四边形. 二、高考小题 9.[2015·安徽高考]已知 m,n 是两条不同直线,α ,β 是两个不同平面,则下列命题 正确的是( ) A.若 α ,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α ,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 若 α ,β 垂直于同一个平面 γ ,则 α ,β 可以都过 γ 的同一条垂线,即 α , β 可以相交,故 A 错;若 m,n 平行于同一个平面,则 m 与 n 可能平行,也可能相交,还可 能异面,故 B 错;若 α ,β 不平行,则 α ,β 相交,设 α ∩β =l,在 α 内存在直线 a, 使 a∥l,则 a∥β ,故 C 错;从原命题的逆否命题进行判断,若 m 与 n 垂直于同一个平面, 由线面垂直的性质定理知 m∥n,故 D 正确.

10.[2016·全国卷Ⅰ]平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α ∥平面 CB1D1,α ∩ 平面 ABCD=m,α ∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )

3 A. 2

2 B. 2

3 C. 3

1 D.3

答案 A

解析 如图,延长 B1A1 至 A2,使 A2A1=B1A1,延长 D1A1 至 A3,使 A3A1=D1A1,连接 AA2,AA3, A2A3,A1B,A1D.易证 AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.
∴平面 AA2A3∥平面 CB1D1,即平面 AA2A3 为平面 α . 于是 m∥A2A3,直线 AA2 即为直线 n.显然有 AA2=AA3=A2A3,于是 m、n 所成的角为 60°,

3 其正弦值为 2 .选 A.

11.[2014·辽宁高考]已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是

()

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

B.若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n

C.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α

D.若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α

答案 B

解析 A 选项 m、n 也可以相交或异面,C 选项也可以 n? α ,D 选项也可以 n∥α 或 n

与 α 斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.

12.[2016·全国卷Ⅱ]α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:

①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β ; ②如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n;

③如果 α ∥β ,m? α ,那么 m∥β ;

④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.

其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)

答案 ②③④

解析 由 m⊥n,m⊥α ,可得 n∥α 或 n 在 α 内,当 n∥β 时,α 与 β 可能相交,也

可能平行,故①错.易知②③④都正确.

三、模拟小题

13.[2017·太原模拟]若直线 a∥平面 α ,直线 b∥直线 a,点 A∈b 且 A∈α ,则 b 与

α 的位置关系是( )

A.b∩α =A

B.b∥α

C.b∥α 或 b? α

D.b? α

答案 D

解析 由 a∥α ,b∥a? b∥α 或 b? α ,又 b 过 α 内一点,故 b? α .

14.[2017·福州质检]过平面 α 外的直线 l,作一组平面与 α 相交,如果所得的交线

分别为 a、b、c、…,那么这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 答案 D 解析 若 l∥平面 α ,则交线都平行;若 l∩平面 α =A,则交线都交于同一点 A. 15.[2017·山西四校联考] 如图所示,P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,矩形对角线交
点为 O,M 为 PB 的中点,给出下列五个结论:①PD∥平面 AMC;②OM∥平面 PCD;③OM∥平面 PDA;④OM∥平面 PBA;⑤OM∥平面 PBC.
其中正确的个数有( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案 C

解析 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,所以 O 为 BD 的中点.在△PBD 中,M 是 PB

的中点,所以 OM 是△PBD 的中位线,OM∥PD,则 PD∥平面 AMC,OM∥平面 PCD,且 OM∥平面

PDA.因为 M∈PB,所以 OM 与平面 PBA、平面 PBC 相交.故选 C.

16.[2016·江西重点中学联考]如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,下列直线与平

面 AD′C 平行的是( )

A.B′C′

B.A′B

C.A′B′

D.BB′

答案 B

解析 连接 A′B,∵A′B∥CD′,∴A′B∥平面 AD′C. 17.[2016·银川一模]如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,点 E、F、H、K 分别为 AC′、 CB′、A′B′、B′C′的中点,G 为△ABC 的重心.从 K、H、G、B′中取一点作为 P,使得该 棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行,则 P 为( )

A.K

B.H

C.G

D.B′

答案 C

解析 取 A′C′的中点 M,连接 EM、MK、KF、EF,则 EM 綊12CC′綊 KF,得 EFKM 为平行

四边形,若 P 为 K,则 AA′∥BB′∥CC′∥KF,故与平面 PEF 平行的棱超过 2 条;HB′∥MK

? HB′∥EF,若 P 为 H 或 P 为 B′,则平面 PEF 与平面 EFB′A′为同一平面,与平面 EFB′A′

平行的棱只有 AB,不满足条件,故选 C.

18.[2016·浙江金丽衢联考]已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α 、β 外一点,过点 P 的直

线 m 与 α 、β 分别交于点 A、C,过点 P 的直线 n 与 α 、β 分别交于点 B、D,且 PA=6,AC =9,PD=8,则 BD 的长为( )

A.16

B.24 或254

C.14

D.20

答案 B

解析



BD=x,由

α

∥β

?

AB∥CD?

△PAB∽△PCD?

PB PD PA=PC.

①当点

P

在两平面之间时,如图

x-8 8 1, 6 =9-6,

∴x=24;

②当点

P

在两平面外侧时,如图

8-x 8 2, 6 =9+6,

∴x=254.

一、高考大题 1. [2016·全国卷Ⅲ]如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC =3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.
(1)证明:MN∥平面 PAB; (2)求四面体 N-BCM 的体积. 解 (1)证明:由已知得 AM=23AD=2, 取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点,知 TN∥BC,TN=12BC=2.

又 AD∥BC,故 TN 綊 AM,故四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥AT.

因为 AT? 平面 PAB,MN?平面 PAB,所以 MN∥平面 PAB.

(2)因为 PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA.

取 BC 的中点 E,连接 AE.

由 AB=AC=3,得 AE⊥BC,AE= AB2-BE2= 5.

由 AM∥BC,得 M 到 BC 的距离为 5,

故 S△BCM=12×4× 5=2 5.

所以四面体 N-BCM 的体积

VN-BCM=13·S△BCM·P2A=4

3

5 .

2. [2016·四川高考]如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,

BC=CD=12AD.

(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. 解 (1)取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为所求的一个点.理由如下: 连接 CM.因为 AD∥BC,BC=12AD, 所以 BC∥AM,且 BC=AM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CM∥AB. 又 AB? 平面 PAB,CM?平面 PAB,

所以 CM∥平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)
(2)证明:连接 BM,由已知,PA⊥AB,PA⊥CD, 因为 AD∥BC,BC=12AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 所以 PA⊥平面 ABCD. 从而 PA⊥BD. 因为 AD∥BC,BC=12AD, 所以 BC∥MD,且 BC=MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形. 所以 BM=CD=12AD,所以 BD⊥AB. 又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD? 平面 PBD, 所以平面 PAB⊥平面 PBD. 二、模拟大题 3. [2016·北京丰台模拟]如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,点 M, N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点.
(1)求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1ABB1. 证明 (1)连接 BC1,

∵点 M,N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点,∴MN∥BC1. ∵MN?平面 BCC1B1,BC1? 平面 BCC1B1, ∴MN∥平面 BCC1B1. (2)∵AA1⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,∴AA1⊥BC. 又∵AB⊥BC,AA1∩AB=A,∴BC⊥平面 A1ABB1. ∵BC? 平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 A1ABB1.
4. [2017·四川模拟]如图,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形.
(1)证明:平面 AB1C∥平面 DA1C1; (2)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平面 DA1C1?若存在,确定点 P 的位置;若不存在, 说明理由. 解 (1)证明:由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质知, AB1∥DC1, ∵AB1?平面 DA1C1,DC1? 平面 DA1C1, ∴AB1∥平面 DA1C1, 同理可证 B1C∥平面 DA1C1,而 AB1∩B1C=B1, 由面面平行的判定定理知,平面 AB1C∥平面 DA1C1. (2)存在这样的点 P,使 BP∥平面 DA1C1. ∵A1B1 綊 AB 綊 DC, ∴四边形 A1B1CD 为平行四边形. ∴A1D∥B1C. 在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP, ∵B1B 綊 C1C, ∴B1B 綊 CP, ∴四边形 BB1CP 为平行四边形, 则 BP∥B1C,∴BP∥A1D, ∴BP∥平面 DA1C1. 5.[2017·大连检测]如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 3 的菱形,∠ABC =60°.PA⊥平面 ABCD,且 PA=3.E 为 PD 的中点,F 在棱 PA 上,且 AF=1.

(1)求证:CE∥平面 BDF; (2)求三棱锥 P-BDF 的体积. 解 (1)证明:取 PF 的中点 G,连接 EG,CG.

连接 AC 交 BD 于 O,连接 FO. 由题意可得 F 为 AG 的中点,O 为 AC 的中点,∴FO∥GC. 因为 G 为 PF 的中点,E 为 PD 的中点,∴GE∥FD. 又 GE∩GC=G,GE,GC? 平面 GEC,FO∩FD=F,FO,FD? 平面 FOD,∴平面 GEC∥平面 FOD. ∵CE? 平面 GEC,∴CE∥平面 BDF. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA 是三棱锥 P-ABD 的高,

又 S△ABD=12×3×3× 23=9 4 3,

∴VP-BDF=VP-ABD-VF-ABD=13×9

4

3 19 ×3-3×

4

33 ×1=

2

3 .

6.[2016·宁夏银川月考]如图,在空间几何体 ABCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCD,AE⊥平

面 ABC. (1)证明:AE∥平面 BCD;

(2)若△ABC

是边长为

2

的正三角形,DE∥平面

ABC,AD



BD,CD

所成角的余弦值均为

2 4,

求三棱锥 D-BEC 的体积.

解 (1)证明:过点 D 作 DO⊥BC 交 BC 于点 O. 因为平面 ABC⊥平面 BCD,DO? 平面 BCD,DO⊥BC,且平面 ABC∩平面 BCD=BC,所以 DO ⊥平面 ABC. 又 AE⊥平面 ABC,所以 AE∥DO. 又 DO? 平面 BCD,AE?平面 BCD,所以 AE∥平面 BCD. (2)连接 AO,由题意得 DE∥AO,
因为 AD 与 BD,CD 所成角的余弦值均为 42,AC=AB, 所以 BD=CD,所以 O 为 BC 的中点, 则易知 AO⊥平面 BCD,所以 ED⊥平面 BCD, 设 DO=a.因为 BC=2,所以 OB=OC=1,OA= 3,

所以 CD= 1+a2,AD= 3+a2. 在△ACD 中,AC=2,

所以 AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,即 4=3+a2+1+a2-2× 3+a2· 1+a2

× 42,解得 a2=1,

故 a=1,

所以 VD-BEC=VE-BCD=13×12×2×1×

3 3= 3 .


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