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内蒙古包头市一中2019届高三下学期二模考试数学(理)试题(含答案)

包头一中 2019 学年度高三年级校二模试题

(数学理科)

命题人:陈巧梅

审题人:数学备课组

一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的.)

1.若集合 M = {x | (x + 4)(x +1) = 0} , N = {x | (x - 4)(x - 1) = 0} ,则 M ? N = (



A. ?0?

B.??1, ?4?

C. ?

D.?1, 4?

2.若复数 z 满足 z ? i ,其中 i 为虚数为单位,则 z =( ) 1?i

(A)1? i

(B)1? i

(C) ?1? i

(D) ?1? i

3.执行如图所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? ( )

A. 6

B. 3

C. 8

D. 4

7

7

9

9

4.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8-2π B.8-π 4

C.8-π D.8-π 2

5.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为1”的( ) 2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 6.已知

数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则 log13(a5+a7+a9)的值是 (

)

A.-1 5

B.-5

C.5

D.1

5

7.将函数 y=3sin

2x+π 3

的图像向右平移π个单位长度,所得图像对应的函数(

)

2

π,7π A.在区间 12 12 上单调递减
ππ -, C.在区间 6 3 上单调递减

π,7π B.在区间 12 12 上单调递增
ππ -, D.在区间 6 3 上单调递增

4x-y-10≤0, 8.设实数 x,y 满足条件 x-2y+8≥0,
x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+by(a>0,

23 b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( ).
ab

A. 4

8

11

B.

C.

3

3

25 D.
6

9 如图,设抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A , B , C ,其中点

A , B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是( )

BF ?1 A. AF ?1
BF ?1
C.
AF ?1

BF 2 ?1 B. AF 2 ?1
BF 2 ?1 D. AF 2 ?1

10.已知数列{an}满足 a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则 S2 016=( )

A.22 016-1

B.3·21 008-3

C. 3·21 008-1

D.3·21 007-2

11. 已知三棱锥 S?ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O

的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( )

A. 2 B. 3 C. 2 D. 2

6

6

3

2

12 已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题: 2x
①f(-x)=-f(x);②f 1+x2 =2f(x);③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13. (x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________.(用数字填写答案) 14 设当 x=θ时,函数 f(x)=sin x-3cos x 取得最大值,则 cos θ=________.

15.已知点 ? 和 Q 的横坐标相同,? 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍,? 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和

C2 .若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则 C2 的渐近线方程为



16. 如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率

为________.

三.解答题:(解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题 12 分)
向量 a=(2,2),向量 b 与向量 a 的夹角为3π,且 a·b=-2. 4

(1)求向量 b;

cosA,2cos2C

(2)若 t=(1,0),且 b⊥t,c=

2 ,其中 A、B、C 是△ABC 的内角,若△ABC 的内角 A、

B、C 依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)
如图,已知四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形,AA1 ? 6 ,且 AA1 ? 底面 ABCD ,点 P , Q 分别在棱 DD1 ,BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ ;

(2)若

PQ

/

/

平面

ABB1 A1

,二面角

P

?

QD

?

A

的余弦值为

3 7

,求四面体

ADPQ

的体积.

19.(本小题满分 12 分)

一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三

次,每次

击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏

击鼓三

次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得

20 分,出

现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为1,且各次击鼓出现音乐相互独立.
2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列.

分(即获

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少

了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

20. (本小题满分 12 分)

如图,椭圆

C:xa22+yb22=1(a>b>0)经过点 P

1,3 2

,离心率

e=1,直线 l 的方程为 2

x=4.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM

的斜率分别为 k1,k2,k3,问:是否存在实数λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在, 请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x2e?x .
(1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点,
OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于 点 D.连接 CF 交 AB 于点 E.
(1)求证:DE2=DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长.

C

A

OE

BD

F

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:x+y=2.以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立 极坐标系.
(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|.

(1)若关于 x 的不等式 f(x)<|1-2a|的解集不是空集,求实数 a 的取值范围;

(2)若关于 t 的一元二次方程 t2+2 6t+f(m)=0 有实根,求实数 m 的取值范围.

3π 17.解:(1)设 b=(x,y),则 a·b=2x+2y=-2,且|b|= 4 =1=,

x=-1, x=0, ∴解得 y=0, 或y=-1.

∴b=(-1,0)或 b=(0,-1).

(2)∵b⊥t,且 t=(1,0),∴b=(0,-1).

π ∵A、B、C 依次成等差数列,∴B=3.

C ∴b+c=-1=(cosA,cosC).

∴|b+c|2=cos2A+cos2C

1 =1+2(cos2A+cos2C)

1 4π =1+2-2A

1 =1+23

1π =1+2cos3.

π 5π ∵2A+3∈ 3 ,

π1 ∴-1≤cos3<2,

1

5

∴2≤|b+c|2<4,

2

5

∴2≤|b+c|<2.

18..

(1)若 是 的中点,则



,即 的两个不共线向量.

;(2)由题设知,

,于是 ,

,∴

是平面



,即 为底面的三棱锥



,亦即

,从而

,于是,将四面体

,则其高

,故四面体

的体积

视为以

.

19



20.

3

19

【解析】 (1)由 P 2在椭圆上,得a2+4b2=1.①

依题设知 a=2c,则 b2=3c2.②

将②代入①,解得 c2=1,a2=4,b2=3.

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.

注意到 A,F,B 三点共线,则有 k=kAF=kBF, y1 y2
即有x1-1=x2-1=k.

所以 k1+k2=2+2

y1 y2 3 1 =x1-1+x2-1-2x2-1

3

x1+x2-2

=2k-2·x1x2-(x1+x2)+1.⑤

将④代入⑤,得

3 8k2 k1+k2=2k-2·+1=2k-1.
1 又 k3=k-2,所以 k1+k2=2k3.

故存在常数λ=2 符合题意.

21. 22.(1)证明:连接 OF.

因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB?DA. 所以 DE2=DB?DA. (2)解: DF2=DB?DA,DB=2,DF=4.

DA= 8, 从而 AB=6, 则



又由(1)可知,DE=DF=4, BE=2,OE=1.

从而 在

中,



23.

……………… 5 分 ………………10 分

35 24. 解:(1)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴|1-2a|>4,∴a<-2或 a>2,

35 ∴实数 a 的取值范围为2∪,+∞.

(2)Δ=24-4(|2m+1|+|2m-3|)≥0,

即|2m+1|+|2m-3|≤6,

∴不等式等价于





(2m+1)+(2m-3)≤6或(2m+1)-(2m-3)≤6或

, -(2m+1)-(2m-3)≤6.

3

1

3

1

∴2<m≤2 或-2≤m≤2或-1≤m<-2,

∴实数 m 的取值范围是[-1,2].

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