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不等式恒成立能成立与恰成立问题


一、恒成立问题 思路: (1)判别式 (2) 函数最值 (3)分离参数 (4)变更主元 1、在定义域上的恒成立问题 例 1.若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。

例 2、已知不等式

kx 2 ? kx ? 6 ? 2 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围 x2 ? x ? 2
在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。

例 3、若函数

y ? mx2 ? 6mx ? m ? 8

2、在给定区间上的恒成立问题 (1)给定自变量的取值范围,求参数

例 4、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? ]时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。

x 2 ? 2x ? a f ?x ? ? , x 例 5、已知 对任意 x ? ?1,???, f ?x ? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围

例 6、已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

x 2 x 例 7、已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 ? a ? a ? 4 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

?

?

例 8、当 x ? (1,2)时,不等式 ( x ? 1) <
2

loga x 恒成立,求 a 的取值范围。

(2)给定参数的取值范围,求自变量 例 9、若对于任意

a ?1

,不等式 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围
2

例 10、 对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范 围。

例 11、若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。
2

二、能成立问题 思路:

f ? x ?max ? A 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 ; f ? x ?min ? B 若在区间 D 上存在实数使不等 x 式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 .
例 12、若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是
2

例 13、不等式 kx 2 ? k ? 2 ? 0 有解,求 k 的取值范围。

例 14、①对一切实数 x,不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? a 恒成立,求实数 a 的范围。 ②若不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? a 有解,求实数 a 的范围。 ③若方程 x ? 3 ? x ? 2 ? a 有解,求实数 a 的范围。

三、恰成立问题

1? ? x | ? 1 ? x ? ? ? 2 3 ? 则 a ? b ? ___________ 例 15、不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ?

例 16、已知

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a , x 当 x ? ?1,???, f ?x ? 的值域是 ?0,??? ,试求实数 a 的值.

例 17、已知两函数 f(x)= 8x ? 16x ? k ,g(x)= 2 x ? 4 x ,其中 k 为实数。
2 2

(1)对任意 x ? [-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (2)存在 x ? [-3,3],使 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (3)对任意 x1、x2 ? [-3,3],都有 f(x1)≤g(x2),求 k 的取值范围。


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