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2013年湖北高考理科数学试题及答案


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)


注意事项:

学(理工类)

本试题卷共 6 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3. 填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔 涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答 题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2i 1.在复平面内,复数 z ? ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 2.已知全集为 R ,集合 A ? {x ( ) x ? 1} , B ? {x x 2 ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 A ? ?R B ? 2

A. {x x ? 0} C. {x 0 ? x ? 2或x ? 4}

B. {x 2 ? x ? 4} D. {x 0 ? x ? 2或x ? 4}

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. ( ?p ) ∨ ( ?q ) B. p ∨ ( ? q ) C. ( ? p ) ∧ ( ? q ) D. p ∨ q

4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图
1

象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 6 x2 y2 y2 x2 π 5.已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : ? ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos2 ? sin 2 ? sin ? sin ? tan 2 ? 4 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 ? ??? ? ??? 6.已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
3 15 2 25 7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t ) ? 7 ? 3t ? (t 的 1? t 单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 11 A. 1 ? 25ln5 B. 8 ? 25ln C. 4 ? 25ln5 D. 4 ? 50ln 2 3 8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分 别记为 V1 , V2 , V3 , V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3

B. V1 ? V3 ? V2 ? V4

C. V2 ? V1 ? V3 ? V4

D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

第 8 题图

第 9 题图

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X ,则 X 的均值 E( X ) ? A.
126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

10.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则
2

A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填 在答题卡对应 题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... .. (一)必考题(11—14 题) 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间, 频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中 x 的值为_________; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 [100, 250) 内的户数为_________.
开始

a ? 10, i ? 1
a ? 4?
否 是 是

a 是奇数 ?



a ? 3a ? 1

a?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

第 11 题图

第 12 题图

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ? _________. 13.设 x, y, z ? R ,且满足: x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _________.

3

14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10, ? , 第 n 个三角形数为
n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N (n, k ) (k ? 3) ,以下列出 2 2 2

了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数
1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2
N (n, 4) ? n 2 ,

3 1 N (n,5) ? n2 ? n , 2 2
N (n,6) ? 2n2 ? n ,

……………………………………… 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10, 24) ? _________. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E .若
CE 的值为_________. EO

AB ? 3 AD,则

C

A

E D O

B

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)

第 15 题图

? x ? a cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, a ? b ? 0 ). 在 ? y ? b sin ? 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴

π 2 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin(? ? ) ? m (m 为非零常数) 4 2 与 ? ? b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点, 且与圆 O 相切, 则椭圆 C 的离心率为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)
4

在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: | a2 ? a3 | ? 10 , a1a2 a3 ? 125 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m ,使得 在,说明理由.
1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存 a1 a2 am

19. (本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, 点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点, 直线 PC ? 平面 ABC ,E ,F 分别是 PA , PC 的中点. (Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与 平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 ???? 1 ??? ? Q 满足 DQ ? CP . 记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角 2 为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角

E ? l ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? .
第 19 题图

20. (本小题满分 12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800, 502 ) 的随机变量. 记一天 中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (Ⅰ)求 p0 的值; (参考数据:若 X ~ N (? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)

(Ⅱ)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每
5

天往返一次. A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营 运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车 队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去 乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型 车各多少辆?

21. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 y m A 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ? ,△ BDM 和△ ABN 的面积分 n B 别为 S1 和 S 2 . (Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ? 并说明理由.

M
C

O

N x

D
第 21 题图

22. (本小题满分 14 分) 设 n 是正整数, r 为正有理数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x)r ?1 ? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:
n r ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? n r ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? ? x? ? 为不小于 ? 2? ? ? 2,? ?π? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . ...x 的最小整数,例如 ? ? 2?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? ?S ? ? 的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 ) 参考答案 一、选择题
6
4 4 4 4

DCABD AC CBD 二、填空题 11.(1)0.004 4 (2)70 12.5 13.

3 14 7

14.1 000

15.8

16.

6 3

三、解答题 17.解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,

1 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 3 3 1 ? bc ? 5 3 ,得 bc=20.又 b=5,知 c=4. (2)由 S= bcsin A= bc ? 2 2 4 2 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a ? 21 . b c bc 2 20 3 5 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A ? sin A ? 2 sin A ? ? ? . a a a 21 4 7 ? a13 q 3 ? 125, 18.解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,则由已知可得 ? 2 ?| a1q ? a1q |? 10,
解得 cos A=

5 ? ? a1 ? , ? a1 ? 5, 解得 ? 3 或? ? q ? ?1. ? ? q ? 3,
故 an ?

5 n ?1 - (-1)n 1. ? 3 ,或 an=-5· 3
n ?1

1 3 ?1? 5 n ?1 ? ?? ? (2)若 an ? ? 3 ,则 an 5 ? 3 ? 3
m 3 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? m 1 5 ? ? ?3? ? ? = 从而 ? 1 n ?1 an 1? 3 m 9 ? ?1? ? 9 <1 . = ? ?1 ? ? ? ? ? 10 ? ? ?3? ? ? 10

,故 ?

?1? 3 1 ? 是首项为 ,公比为 的等比数列, 5 3 ? an ?

若 an=(-5)· (-1)n 1,则


?1? 1 1 1 ? ? ( ? 1) n ?1 ,故 ? ? 是首项为 ? ,公比为-1 的等比 an 5 5 ? an ?

7

? 1 m 1 1 ?? , m ? 2k ? 1? k ? N ? ?, ? 1. 数列,从而 ? 故? ?? 5 n ?1 an n ?1 an ? ?0, m ? 2k ? k ? N ? ?, m 1 ? 1. 综上,对任何正整数 m,总有 ? n ?1 an 1 1 1 故不存在正整数 m,使得 ? ?? ? ? 1 成立. a1 a2 am
m

19.(1)解:直线 l∥平面 PAC,证明如下: 连接 EF,因为 E,F 分别是 PA,PC 的中点, 所以 EF∥AC. 又 EF 平面 ABC,且 AC ? 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 而 EF ? 平面 BEF,且平面 BEF∩平面 ABC=l,所以 EF∥l. 因为 l 平面 PAC,EF ? 平面 PAC, 所以直线 l∥平面 PAC. (2)证明:(综合法)如图 1,连接 BD,由(1)可知交线 l 即为直线 BD,且 l∥AC. 因为 AB 是 O 的直径,

图1 所以 AC⊥BC, 于是 l⊥BC. 已知 PC⊥平面 ABC,而 l ? 平面 ABC,所以 PC⊥l. 而 PC∩BC=C,所以 l⊥平面 PBC. 连接 BE,BF,因为 BF ? 平面 PBC, 所以 l⊥BF. 故∠CBF 就是二面角 E-l-C 的平面角, 即∠CBF=β. 由 DQ ?

????

? 1 ??? 1 CP ,作 DQ∥CP,且 DQ ? CP . 2 2

连接 PQ,DF,因为 F 是 CP 的中点,CP=2PF, 所以 DQ=PF, 从而四边形 DQPF 是平行四边形,PQ∥FD. 连接 CD,因为 PC⊥平面 ABC,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即∠CDF=θ.
8

又 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,知∠BDF 为锐角, 故∠BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角,即∠BDF=α, 于是在 Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF 中,分别可得

CF BF CF ,sin α= ,sin β= , DF DF BF CF BF CF 从而 sin αsin β= =sin θ, ? ? BF DF DF
sin θ= 即 sin θ=sin αsin β. (向量法)如图 2,由 DQ ?

????

? 1 ??? 1 CP ,作 DQ∥CP,且 DQ ? CP . 2 2

图2 连接 PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线 l 即为直线 BD. 以点 C 为原点,向量 CA , CB , CP 所在直线分别为 x、y、z 轴,建立如图所示的空 间直角坐标系,设 CA=a,CB=b,CP=2c,则有 C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c), Q(a,b,c),E ?

??? ?

??? ?

??? ?

?1 ? a, 0, c ? ,F(0,0,c). ?2 ? ? ??? ? ?1 ??? ? ? ??? 于是 FE ? ? a, 0, 0 ? , QP =(-a,-b,c), BF =(0,-b,c), ?2 ? ??? ? ??? ? FE ? QP b2 ? c2 a 2 所以 cos α= ??? ,从而 sin? = 1 ? cos ? ? . ? ??? ? ? FE ? QP a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? c2 ??? ? m ? QP a 又取平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1),可得 sin ? ? , ??? ? ? 2 m ? QP a ? b2 ? c2
设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z),

??? ? ?1 ? ? ax ? 0, ?n ? FE ? 0, 所以由 ? ??? 可得 ? 2 取 n=(0,c,b). ? n ? BF ? 0, ? ? ? ? ?by ? cz ? 0.
9

| m?n | b , ? | m |?| n| b2 ? c2 c 2 从而 sin β= 1 ? cos ? ? . 2 b ? c2
于是|cos β|= 故 sin αsin β=

b2 ? c2 a 2 ? b2 ? c2

?

c b2 ? c2

?

c a 2 ? b2 ? c2

=sin θ,即 sin θ=sin αsin β.

20.解:(1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502), 故有 μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954 4. 由正态分布的对称性,可得 p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900) =

1 1 ? P (700<X≤900)=0.977 2. 2 2

(2)设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,则相应的营运成本为 1 600x+2 400y. 依题意,x,y 还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由(1)知,p0=P(X≤900), 故 P(X≤36x+60y)≥p0 等价于 36x+60y≥900.

? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 于是问题等价于求满足约束条件 ? ?36 x ? 60 y ? 900, ? ? x, y ? 0, x, y ? N,
且使目标函数 z=1 600x+2 400y 达到最小的 x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴上截距

z 最小,即 z 取得最小值. 2400

故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆. 21.解:依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

10

x2 y 2 x2 y2 C1: 2 ? 2 =1 ,C2: 2 ? 2 =1 . a m a n m 其中 a>m>n>0,λ= >1 . n
(1)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x=0,则 S1= =

1 |BD|· |OM| 2

1 1 1 a|BD|,S2= |AB|· |ON|= a|AB|, 2 2 2

图1 所以

S1 | BD | ? . S 2 | AB |

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x=0,可得 yA=m,yB=n,yD=-m,

| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1 S ? ?1 若 1 =? ,则 =? ,化简得 λ2-2λ-1=0. S2 ? ?1
于是 由 λ>1,可解得 λ= 2+1 .

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λS2,则 λ= 2+1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;

1 1 |BD|· |OM|= a|BD|, 2 2 1 1 S2= |AB|· |ON|= a|AB|. 2 2 S | BD | m ? n ? ? 1 ? ? 所以 1 ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1 S ? ?1 若 1 =? ,则 =? ,化简得 λ2-2λ-1=0. S2 ? ?1
S1= 由 λ>1,可解得 λ= 2+1 . 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λS2,则 λ= 2+1 . (2)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2.根据对称性,不妨设 直 线 l : y = kx(k > 0) , 点 M( - a,0) , N(a,0) 到 直 线 l 的 距 离 分 别 为 d1 , d2 , 则
11

d1 ?

| ?ak ? 0 | 1? k 2

?

ak 1? k 2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k 2

?

ak 1? k 2

,所以 d1=d2.

图2

S | BD | 1 1 ? ? ,即|BD|=λ|AB|. 又 S1= |BD|d1,S2= |AB|d2,所以 1 ? S2 | AB | 2 2
由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是

| AD | ? ? 1 .① ? | BC | ? ? 1
xA ? am

将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得

a 2k 2 ? m2

, xB ?

an a 2k 2 ? n2

.

根据对称性可知 xC=-xB,xD=-xA,于是

1 ? k 2 | x A ? xD | 2 x A | AD | ? ? | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB


m a2k 2 ? n2 .② n a 2k 2 ? m2
a 2k 2 ? n2 ? ?1 ? .③ 2 2 2 a k ?m ? ? ? ? 1?

从而由①和②式可得

令 t=

因为 k≠0,所以 k >0.于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t ? 1) ? t ?
2 2

n 2 ? ? 2t 2 ? 1? ? ?1 2 ,则由 m>n,可得 t≠1,于是由③可解得 k ? . a 2 ?1 ? t 2 ? ? ? ? ? 1? n 2 ? ? 2t 2 ? 1? 2 a 2 ?1 ? t 2 ? >0 ,
? ? 1 ? 1 <0 由 λ>1,可解得 <t<1, 2 ? ? ? ?



1

?

?

? ?1 <1 ,由 λ>1,解得 λ> 1+ 2 ,所以 ? ? ? ? 1?

当 1<λ≤ 1+ 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2; 当 λ> 1+ 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1=λS2. 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2.根据对称性,不妨设直
12

线 l:y=kx(k>0), 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2, 则 d1 ?

| ?ak ? 0 | 1? k 2

1? k 2 1? k 2 1? k 2 S | BD | 1 1 又 S1= |BD|d1,S2= |AB|d2,所以 1 ? =? . S 2 | AB | 2 2
因为

?

ak

, d2 ?

| ak ? 0 |

?

ak

,所以 d1=d2.

1 ? k 2 | xB ? xD | x A ? xB | BD | x ? ?1 ? ? ? ? ,所以 A ? . | AB | xB ? ? 1 1 ? k 2 | x A ? xB | x A ? xB

由点 A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在 C1,C2 上,可得

xA2 k 2 xA2 xB 2 k 2 x B 2 , ? =1 ? 2 =1 , a2 m2 a2 n

x A 2 ? xB 2 k 2 ? x A 2 ? ? 2 x B 2 ? 两式相减可得 ? =0 , a2 m2
依题意 xA>xB>0,所以 x A ? xB .所以由上式解得 k ?
2 2

2

m 2 ? x A 2 ? xB 2 ? . a 2 ? ? 2 xB 2 ? x A 2 ?

因为 k2>0,所以由 从而 1<

? ?1 <? ,解得 λ> 1+ 2 ,所以 ? ?1

m 2 ? x A 2 ? xB 2 ? x >0 ,可解得 1< A ? ? . 2 2 2 2 a ?? x B ? x A ? xB

当 1<λ≤ 1+ 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2; 当 λ> 1+ 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1=λS2. 22.(1)解:因为 f′(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1],令 f′(x)=0,解得 x= 0. 当-1<x<0 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(-1,0)内是减函数; 当 x>0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)内是增函数. 故函数 f(x)在 x=0 处取得最小值 f(0)=0. (2)证明:由(1),当 x∈(-1,+∞)时,有 f(x)≥f(0)=0,即 + (1+x)r 1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当 x=0 时成立, 故当 x>-1 且 x≠0 时,有 + (1+x)r 1>1+(r+1)x.①

1 ? 1? 在①中,令 x ? (这时 x>-1 且 x≠0),得 ?1 ? ? n ? n?
上式两边同乘 nr 1,得(n+1)r 1>nr 1+nr(r+1),即
+ + +

r +1

>1+

r ?1 . n

nr ?

? n ? 1?r ?1 ? n r ?1 .② r ?1

当 n>1 时,在①中令 x ? ?

1 (这时 x>-1 且 x≠0),类似可得 n

nr ?

n r ?1 ? ? n ? 1?r ?1 .③ r ?1
13

且当 n=1 时,③也成立.

综合②,③得

nr ?1 ? ? n ? 1?r ?1 ? n ? 1?r ?1 ? n r ?1 .④ ? nr ? r ?1 r ?1 1 (3)解:在④中,令 r ? ,n 分别取值 81,82,83,?,125,得 3 4 4 4 4 3 3 3 (81 ? 80 3 )<3 81< (82 3 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 (82 3 ? 813 )<3 82< (833 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 (83 ? 82 )< 83< (84 ? 833 ) , 4 4
??
4 4 4 4 3 3 (125 3 ? 124 3 )<3 125< (126 3 ? 125 3 ) . 4 4

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 (125 3 ? 80 3 )<S< (126 3 ? 813 ) . 4 4 4 4 4 4 3 3 代入数据计算,可得 (125 3 ? 80 3 ) ? 210.2 , (126 3 ? 813 ) ? 210.9 . 4 4

由[S]的定义,得[S]=211.

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