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2011广东高考理数试题与答案全解析


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、 答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求做大的答案无效。 4、 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的, 答案无效。 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高.

? 线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 b ? y ? ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? , a ? y ? bx .

2

其中 x, y 表示样本均值.

n 是正整数,则 an ? bn ? ? a ? b? (an?1 ? an?2b ? ? abn?2 ? bn?1 ).
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
1. 设复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z = A. 1 ? i 【解析】B;依题意得 z ? B. 1 ? i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2i 合题目要求的。

2 ? 1 ? i ,故选 B. 1? i 2 2 2. 已知集合 A ? {( x, y) | x , y 为实数,且 x ? y ? 1? , B ? {( x, y) | x , y 为实数,且 y ? x? ,则 A ? B 的元素
个数为 A.0 B.1
2 2

C.2

D.3

【解析】C;题意等价于求直线 y ? x 与圆 x ? y ? 1的交点个数,画大致图像可得答案为 C. 3. 若向量 a , b , c 满足 a ∥ b 且 a ⊥ c ,则 c ?(a + 2b) = A.4 B.3 C.2 D.0 【解析】D;因为 a ∥ b 且 a ⊥ c ,所以 b ⊥ c ,从而 c ? (a + 2b) = c ? a + 2c ? b = 0 ,故选 D. 4. 设函数 f ? x ? 和 g ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ? x ? ? g ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? ? g ? x ? 是偶函数 B. f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数

【解析】A;依题意 f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x) ,故 f (? x)? | g (? x) |? f ( x)? | g ( x) | ,从而

f ( x)? | g ( x) | 是偶函数,故选 A.

?0 ? x ? 2 ? 5. 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D 上的动点,点 A 的 ? ?x ? 2 y

坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为 A. 4 2 C.4 B. 3 2 D.3 y 2 A O
2

???? ??? ? ?

【解析】C;目标函数即 z ? 2 x ? y ,画出可行域如图所示,代入端点 比较之,易得当 x ? 2, y ? 2 时 z 取得最大值 4 ,故选 C. 6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军, 乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获 得冠军的概率为 A.

x

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

【解析】 D;设甲队获得冠军为事件 A ,则 A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概 率 P ( A) ?

1 1 1 3 ? ? ? ,从而选 D. 2 2 2 4

7. 如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积 为 A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3 【解析】B;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面,高为

3 的四棱柱,又平行四边形的底边长为 3 ,高为 3 ,所以面积

S ? 3 3 ,从而所求几何体的体积 V ? Sh ? 9 3 ,故选 B. 8.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ?a, b ? S , 有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法是封闭的. 若 T , V 是 Z 的两个不相交的非空子集, T ? V ? Z 且 ?a, b, c ? T , 有 abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V ,则下列结论恒成立的是 A. T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T ,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T ,V 中每一个关于乘法都是封闭的 【解析】A;因为 T ? V ? Z ,故必 有 1 ? T 或 1? V ,不妨设 1 ? T ,则令 c ? 1 ,依题意对 ?a, b ? T ,有 ..
ab ? T ,从而 T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选 A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不 封闭以及可以两个都封闭),取 T ? N ,则 V 为所有负整数组成的集合,显然 T 封闭,但 V 显然是不封闭 的,如 (?1) ? (?2) ? 2 ?V ;同理,若 T ? { 奇数 } , V ? { 偶数 } ,显然两者都封闭,从而选 A. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。
(一)必做题(9-13 题) 9. 不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0 的解集是 .

[1, 【解析】 ??) ;解法一:原不等式 ? ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 3 ?x ? 3 或? 或? , ??( x ? 1) ? (3 ? x) ? 0 ? x ? 1 ? (3 ? x) ? 0 ? x ? 1 ? ( x ? 3) ? 0 解得 x ? 1 ,从而原不等式的解集为 [1, ??) . 解法二(首选): | x ? 1| ? | x ? 3 | 的几何意义为到点 ?1 的距离与到点 3 的距离的差,画出数轴易得 x ? 1 . 2 2 解法三:不等式即 | x ? 1|?| x ? 3 | ,平方得 x ? 2 x ? 1 ? x ? 6 x ? 9 ,解得 x ? 1 .
7

2? ? 4 10. x ? x ? ? 的展开式中, x 的系数是 (用数字作答) x? ? 2 7 3 k k 7 ?2 k 【解析】 84 ;题意等价于求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数 Tk ?1 ? (?2) C7 x , k ? 0,1, 2,3,?,7 ,令 x 2 7 ? 2k ? 3 得 k ? 2 ,故所求系数为 4C7 ? 84 . 11. 等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ? ______.

【解析】 10 ;由 S9 ? S4 得 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 5a7 ? 0 , ak ? a4 ? 0 ? 2a7 ? a4 ? a10 ,故 k ? 10 . 12. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 在 x ? _____处取得极小值. 【解析】 2 ; f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,当 x ? 0 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 故当 x ? 2 时, f ( x ) 取得极小值. 13. 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿子的身高与 父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm. 【解析】 183.5 ;提炼数据为 (1,173),(2,170),(3,176),(4,182) ,易得 x ? 2.5, y ? 175.25 , 于是
n

? ( x ? x)( y ? y) ? 1.5 ? 2.25 ? 0.5 ? 5.25 ? 0.5 ? 0.75 ? 1.5 ? 6.75 ? 16.5
i ?1 i i
2 i

n

? 16.5 ? 3.3 ,, a ? 175.25 ? 3.3? 2.5 ? 167 . ? ? 1.52 ? 0.52 ? 0.52 ? 1.52 ? 5 ,从而 b ? 5 i ?1 所以线性回归方程为 ? ? 3.3x ? 167 ,当 x ? 5 时, ? ? 183.5 . y y

? ( x ? x)

正确做法:抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据 (173,170),(170,176),(176,182), 易得平均 值 x ? 173, y ? 176 ,于是

? ( x ? x)( y ? y) ? 3 ? 6 ? 18 , ? ( x ? x)
i ?1 i i i ?1 i

n

n

2

? 18 ,

? ? 从而 b ? 1 ,, a ? 176 ? 1?173 ? 3 ,所以线性回归方程为 ? ? x ? 3 ,当 x ? 182 时, ? ? 185 . y y
(这题做完后没把握!疑问是 xi 的值取 1, 2,3, 4 的理由!) (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题)

5 2 ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? ? 4 (t ? R ) , (0 ? ? ? ? ) 和 ? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ? 它 ?y ? t ? y ? sin ? ? ?
们的交点坐标为_______.

4 x2 2 5 【解析】 (1, ) ;对应普通方程为 ? y 2 ? 1(? 5 ? x ? 5, 0 ? y ? 1) , y 2 ? x ,联立方程消去 y 得 5 5 5 2 5 2 5 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?5 (舍去),于是 x ? 1 , y ? ,故所求交点坐标为 (1, ). 5 5 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线 和割线交圆于 A , B ,且 PB =7, C 是圆上一点使得 BC =5, ∠ BAC =∠ APB , 则 AB = . AB PB ? 【解析】 35 ;结合弦切角定理易得 ?ABP ? ?CBA ,于是 , BC AB 代入数据解得 AB ? 35 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (Ⅰ)求 f (

5? ? 10 6 ? ?? ) 的值; (Ⅱ)设 ? , ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. 4 2 13 5 ? 2? 5? 1 5? ? ? ? ) ? 2sin ? 2 ; 【解析】 (Ⅰ) f ( ) ? 2sin( ? 4 3 4 6 4 ? ? ? 10 5 (Ⅱ)因为 f (3? ? ) ? 2sin(? ? ? ) ? 2sin ? ? ,所以 sin ? ? , 2 6 6 13 13 2? ? ? 6 3 ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? , 所以 cos ? ? , 因为 f (3? ? 2? ) ? 2sin( ? ? 3 6 2 5 5

1 3

?
6

), x ? R.

12 4 ? ?? 2 2 ? , 所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 13 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 , ? 2? 12 3 5 4 16 ? ? ? ? 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? . 13 5 13 5 65
又 ? , ? ? ?0, 17. (本小题满分 13 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x, y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (Ⅰ)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (Ⅱ)当产品中的微量元素 x , y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙 厂生产的优等品的数量; (Ⅲ)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其 均值(即数学期望). 【解析】 (Ⅰ)乙厂生产的产品数量为 98 ?

5 =35 件. 14

(Ⅱ)样本中满足 x≥175,且 y≥75 的产品有 2 件,故样本频率为 为 35 ?

2 ,则可估计乙厂生产的优等品数量 5

2 =14 件. 5

1 1 2 C32 3 C3C2 3 C2 1 (Ⅲ) ? 的可能取值为 0,1, 2 ,且 P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? , 2 C5 10 C5 5 C5 10 故 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 3 1 P 10 5 10 3 3 1 4 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 10 5 10 5

18.(本小题满分 13 分) 如图 5,在椎体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的菱形, 且 ?DAB ? 60? , PA ? PD ? 2 , PB ? 2 , E , F 分别是 BC , (Ⅰ)证明: AD ? 平面 DEF ; (Ⅱ)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)连接 AE , BD , 因为 ABCD 是边长为 1 的菱形,且 ?DAB ? 60? , E 是 BC 的中点,所以 ?ABD, ?BCD 均为正三角形, 且 DE ?
2

PC 的中点.

z

3 1 , BE ? , ?ABE ? 120? , 2 2
2 2

所以 AE ? AB ? BE ? 2 AB ? BE ? cos ?ABE ?

7 4

M y

x 3 7 2 2 2 所以 AD ? DE ? 1 ? ? ? AE ,从而 AD ? DE , 4 4 取 AD 的中点 M ,连接 PM , BM ,因为 PA ? PD , BA ? BD ,所以 PM ? AD, BM ? AD , 又 PM ? BM ? M ,所以 AD ? 平面 PBM ,所以 AD ? PB 在 ?BCP 中,因为 E , F 分别是 BC , PC 的中点,所以 EF // PB ,所以 AD ? EF

又 EF ? DE ? E ,所以 AD ? 平面 DEF . (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 ?BMP 为二面角 P ? AD ? B 的平面角, 易得 BM ?

1 2 7 3 2 , PM ? ( 2) ? ( ) ? , 2 2 2
BM 2 ? PM 2 ? PB 2 21 ?? 2 BM ? PM 7

在 ?BPM 中, PB ? 2 ,由余弦定理得 cos ?BMP ? 所以二面角 P ? AD ? B 的余弦值为 ?

解法二:先证明 DF ? 平面 ABCD ,即证明 DF ? DE 即可,

21 . 7

12 ? ( 5)2 ? ( 2)2 2 在 Rt ?PBC 中, PC ? 2 ?1 ? 5 ;在 ?PDC 中, cos ?DCP ? ? 2 ?1? 5 5 1 5 2 5 2 1 所以在 ?FDC 中, DF 2 ? 12 ? ( ) ? 2 ?1? ? ? , DF ? 2 2 2 5 4
2 2

3 2 1 ) ? ? 1 ? EF 2 ,故 ?DEF 为直角三角形,从而 DF ? DE . 2 4 1 3 建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示,则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), P(? , ? ,1) , 2 2 ??? ? ??? ? 1 3 所以 DA ? (1, 0, 0), DP ? (? , ? ,1) ,设平面 PAD 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 2 2 ??? ? ?x ? 0 ?x ? 0 ?n1 ? DA ? 0 ? ? ? ,从而 ? 1 ,解得 ? ? ? ??? 3 3 ,令 y ? 2 得 n1 ? (0, 2, 3) ? x? y?z ?0 z? y ?n1 ? DP ? 0 ? ? ? ? 2 2 ? 2 显然平面 DAB 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ,
在 ?DEF 中, DE ? DF ? (
2 2

从而 cos ? n1 , n2 ?? 19.(本小题满分 14 分)

21 n1 ? n2 3 21 ,所以二面角 P ? AD ? B 的余弦值为 ? . = ? 7 | n1 || n2 | 7 7 ?1

设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4,( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (Ⅰ)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;

3 5 4 5 , ), F ( 5,0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时点 P 的坐标. 5 5 【解析】 (Ⅰ)设圆 C 的圆心为 C ( x, y) ,半径为 r ,圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 的圆心为 F (? 5,0) ,半径为 2; 1
(Ⅱ) 已知点 M ( 圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 的圆心为 F2 ( 5,0) ,半径为 2;依题意,有 ? 所以 || CF | ? | CF2 ||? 4 ? 2 5 ?| F F2 | 1 1 所以圆 C 的圆心轨迹 L 是以原点为中心,焦点在 x 轴上,焦距为 2c ? 2 5 ,实轴长为 2a ? 4 的双曲线, 因此 a ? 2 , c ? 5, b ? 1 ,故轨迹 L 的方程为 (Ⅱ)易得过点 M (

?| CF1 |? r ? 2 ?| CF1 |? r ? 2 或? ?| CF2 |? r ? 2 ?| CF2 |? r ? 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

3 5 4 5 , ), F ( 5,0) 的直线 l 的方程为 y ? ?2( x ? 5) , 5 5

? x2 2 6 5 14 5 ? ? y ?1 2 联立方程 ? 4 消去 y 得 15x ? 32 5x ? 84 ? 0 ,解得 x1 ? , , x2 ? 5 15 ? y ? ?2( x ? 5) ?

则直线 l 与双曲线 L 的交点为 P ( 1

6 5 2 5 14 5 2 5 ,? ), P2 ( , ), 5 5 15 15

因为 P 在线段 MF 外,所以 || MP | ? | FP ||?| MF |? ( 1 1 1 因为 P 在线段 MF 内,所以 || MP | ? | FP ||?| MF | , 1 1 2 若点 P 不住 MF 上,则 || MP | ? | FP ||?| MF | , 综上, MP ? FP 的最大值为 2 ,此时点 P 的坐标为 ( 20.(本小题满分 14 分) 设 b ? 0 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? b , an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

2 5 2 4 5 2 ) ?( ) ?2, 5 5

6 5 2 5 ,? ). 5 5

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

bn?1 (Ⅱ)证明:对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1. 2 nban ?1 n 2 n ?1 1 【解析】 (Ⅰ)由 an ? 得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an?1 b 1 n n ?1 1 n 1 1 当 b ? 2 时, ? ? , 所以 { } 是以首项为 ? ,公差为 的等差数列, 2 an an ?1 2 an a1 2 n 1 1 n 所以 ? ? (n ? 1) ? ? ,从而 an ? 2 . an 2 2 2 n 1 2 n ?1 1 n 1 1 1 2 当 b ? 2 时, ,公比为 ? ? ( ? ) ,所以 { ? } 是首项为 ? ? an 2 ? b b an?1 2 ? b an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b)
2 nb n (2 ? b) n 1 2 2 2n 的等比数列,所以 ,从而 an ? . ? ? ? ( )n?1 ? n b 2n ? b n an 2 ? b b(2 ? b) b b (2 ? b) ?2, b ? 2 ? 综上所述,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? nb n (2 ? b) ,b? 2 ? n ? 2 ? bn (Ⅱ)当 b ? 2 时,不等式显然成立; b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 b n ? 2n ? n ?1 ? 1 ,即证 n ? 2n?1 ? bn ? (2n?1 ? bn?1 ) ? 当 b ? 2 时,要证 an ? n ?1 ? 1 ,只需证 (*) 2n ? b n 2 b?2 2 b n ? 2n n ?1 n ?1 ? (2 n?1 ? bn?1 )( bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 2 bn?3 ? ? ? 2 n?1 ) 因为 (2 ? b ) ? b?2 n?1 n?1 n ? 2 n ?2 ? (2 b ? 2 b ? ?? 22n ) ? (b2n ? 2b2n?1 ? ?? 2n?1bn?1 )

1 2 2n?1 bn bn ?1 b ? 2n?1 bn [( ? 2 ? ? ? n ) ? ( n?1 ? n ? ? ? 2 )] b b b 2 2 2 2 n ?1 n 1 b 2 b 2 b ? 2n?1 bn [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n?1 )] b 2 b 2 b 2

? 2n?1 bn (2

1 b 2 b2 2n?1 bn ? 2 ? 2 2 ? 3 ??? 2 ? n?1 ) ? 2n?1 bn (1 ? 1 ? ? ? 1) ? n2n?1 bn n b 2 b 2 b 2
bn?1 ? 1. 2n?1

所以不等式(*)成立,从而原不等式成立; 综上所述,当 b ? 0 时,对于一切正整数 n , an ?

(解后反思)事实上如果利用多元基本不等式更简单,

(2

n?1

? b )(b

n?1

n?1

? 2b

n?2

?2 b
2

n?3

??? 2 ) ? 2 2 b

n?1

n?1 n?1

?n b

n

n ( n ?1) 2

2

n ( n ?1) 2

? n ? 2n?1 ? bn .

21.(本小题满分 14 分) 在平面直 角坐标系 xOy 上 ,给定抛物线 L : y ?

x2 ? px ? q ?0 的两根,记 ? ( p, q) ? max ? x1 , x2 ? .
(Ⅰ)过点 A( p0 ,

1 2 x ,实 数 p, q 满足 p2 ? 4q ? 0 , x1 , x2 是方程 4

1 2 p0 )( p0 ? 0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B .证明:对线段 AB 上任一点 Q( p, q) 有 4

p0 ; 2 2 (Ⅱ)设 M (a, b) 是定点,其中 a , b 满足 a ? 4b ? 0 , a ? 0 .过 M (a, b) 作 L 的两条切线 l1 , l2 ,切点 1 2 1 2 分别为 E ( p1 , p1 ), E ?( p2 , p2 ) ,l1 , l2 与 y 轴分别交与 F , F ? .线段 EF 上异于两端点的点集记为 X .证 4 4 p1 明: M (a, b) ? X ? | p1 |?| p2 | ? ? (a, b) ? ; 2 1 5 2 (Ⅲ)设 D ? {( x, y ) | y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) ? } .当点 ( p, q) 取遍 D 时,求 ? ( p, q) 的最小值(记为 4 4

? ( p, q ) ?

?min )和最大值(记为 ?max ).

【解析】 (Ⅰ)因为 y? ?

1 1 1 1 x ,所以 y?|x ? p0 ? p0 ,过点 A 的切线方程为 y ? p0 2 ? p0 ( x ? p0 ) 2 2 4 2 2 2 p0 p0 p0 p p p2 AB 上,故 q ? 0 ? 0 ,其中 0 ?| p |?| p0 | x? ) ,又 Q( p, q) 在直线 即y? ,从而 B(0, ? 2 4 2 4 4 2 p p p p p 2 所以方程为 x ? px ? 0 ? 0 ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? p ? 0 2 2 2 4 p0 p p . 由于 0 ?| p |?| p0 | ,且 p, p0 同号,所以 | x2 |?| p ? 0 |?| 0 |?| x1 | ,所以 ? ( p, q ) ? 2 2 2 1 2 p p2 (Ⅱ)过点 M (a, b) 且切点为 E ( p1 , p1 ) 的 L 的切线 l1 方程为 EF : y ? 1 x ? 1 4 2 4 2 1 2 p p 因为 M (a, b) ? l1 ,所以 b ? 1 a ? 1 且 0 ?| a |?| p1 | ,因为 E ?( p2 , p2 ) , 4 2 4 2 p p 1 2 p2 ? ( 1 a ? 1 ) 2 2 4 ? p2 ,即 1 p 2 ? ( p1 a ? p1 ) ? p2 ( p ? a) 所以 k ME ? ? 4 2 2 p2 ? a 2 4 2 4 2

p12 p2 2 p1 p p2 p 2 p p p p ? ? a ? 2 a ,所以 1 ? 2 ? ( 1 ? 2 ? a)( 1 ? 2 ) ? 0 ,所以 p2 ? 2a ? p1 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 因为 0 ?| a |?| p1 | ,且 a, p1 同号,所以 | p2 |?| 2a ? p1 |?| 2 p1 ? p1 |?| p1 | 反之也成立,所以 M (a, b) ? X ? | p1 |?| p2 | , |p | |p | 由 (Ⅰ) 可知, M (a, b) ? X ? ? (a, b) ? 1 ,反之,逆推也成立,所以 M (a, b) ? X ? ? (a, b) ? 1 2 2 p1 综上, M (a, b) ? X ? | p1 |?| p2 | ? ? (a, b) ? . 2 2 (Ⅲ)此题即求当点 ( p, q) 取遍 D 时,方程 x ? px ? q ? 0 的绝对值较大的根的最大值与最小值,


p ? p 2 ? 4q 1 5 2 解方程得 x ? ,因为 D ? {( x, y ) | y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) ? } , 4 4 2

p ? p 2 ? 4q 1 5 2 令 x ? 1 ? ( x ? 1) ? ,解得 x ? 0 或 x ? 2 ,所以 0 ? p ? 2 , ? ( p, q) ? 4 4 2 1 5 2 因为 ( p, q) ? D ,所以 ( p ? 1) ? ? q ? p ? 1 ,于是 ( p ? 1)2 ? 5 ? 4q ? 4 p ? 4 4 4 p ? p 2 ? 4q p ? ?2 p ? 4 ?[1, ] 2 2 p ? ?2 p ? 4 4 ? t2 (0 ? t ? 2) 设 f ( p) ? (0 ? p ? 2 ) ,令 t ? ?2 p ? 4 ,则 p ? 2 2 1 2 1 1 5 5 2 则 f ( p ) ? g (t ) ? ? t ? t ? 1 ? ? (t ? 1) ? ,所以 f ( p ) ? [1, ] 4 2 4 4 4 3 5 5 综上,当 p ? 2, q ? 1 或 p ? 0, q ? ?1 时, ?min ? 1 ;当 p ? , q ? 时, ? max ? . 2 16 4
所以 ( p ? 2)2 ? p2 ? 4q ? ?2 p ? 4 ,所以 ? ( p, q) ?


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