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2016


§2 微积分基本定理

课前预习学案

3 2 若函数 f(x)=3x,函数 F(x)=2x . 则 F′(x)=f(x). (1)由定积分的几何意义求 3xdx 的值. (2)观察 f(x)dx 与 F(1)-F(0)之间的关系,你认为导数与定 积分之间有什么联系?
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0

3 3 [提示] (1) 3xdx=2;(2)由于 F(1)-F(0)=2, 0 故 3xdx=F(1)-F(0),一般地应有: f(x)dx=F(b)-F(a), 其中 F′(x)=f(x).
?1 ? ? ?0 ?b ? ? ?a

?1 ? ? ?

1.函数的原函数
f(x)=F′(x) , 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即____________ 原函数 . 通常称F(x)是f(x)的一个________

2.微积分基本定理
(1)如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数, 即 f(x)=F′(x), 则有
?b ? ? ?a

F(b)-F(a) f(x)dx = _______________ . 定 理 中 的 式 子 称 为

牛顿—莱布尼茨公式 . _____________________
? F(x)? ?a (2)在计算定积分时,常常用记号___________来表示 F(b)

b

- F(a) , 于 是 牛 顿 — 莱 布 尼 茨 公 式 也 可 写 作

?b ? ? ?a

f(x)dx =

F(b)-F(a) . F(x) =______________

?b ? ?a

(1)求导数运算与求原函数运算互为逆运算,在 微积分基本定理中函数 F(x)叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的一个 原函数,因为[F(x)+c]′=F′(x),所以 F(x)+c 也是函数 f(x) 的原函数. (2)利用微积分基本定理求定积分, 只需两步, 即: ①求 f(x) 的一个原函数 F(x),②计算 F(b)-F(a).

1 1.定积分? ? 1dx 的值等于( ?
?0

)

A.0 1 C.2
解析:
?1 ? ? ?

B.1 D.2
1dx=x|1 0=1.

0

答案: B

2.若 (2x-3)dx=0,则 t 等于( A.0 C.0 或 3 解析:
?t ? ? ?0 ?t ? ? ?0

?t ? ? ?0

)

B.3 D.以上均不对 (2x-3)dx= 2xdx- 3dx
?t ? ? ?0

=x2|t0-3x|t0=t2-3t=0, 解得 t=3 或 t=0,又 t≠0,故选 B.

答案: B

3.由直线x=1,x=2,y=0及曲线y=x2-x所围成的平面 图形的面积为________________.
解析:
?2 ? ? ?

如图:

S= (x2-x)dx
1

?1 3 =? x ?3 - ?

1 2?? 2 ?? x 1 2 ?? ?

?1 1? 8 =3-2-?3-2? ? ?

5 =6.

5 答案: 6

4.求下列定积分的值: (1) (2x+3)dx;(2)
0
?1 ? ? ? ?2 ? ? ? ?1 ? ? ?-2

(1-t3)dt;

(3) (t+2)dx.
1

解析:
?1 ? ? ?0

(1)∵(x2+3x)′=2x+3,

?1 2 ? =1+3=4. ? x + 3 x ? ∴ (2x+3)dx= ?0

? t4? (2)∵?t- 4 ?′=1-t3, ? ?



?1 ? ? ?- 2

(1-t3)dt=

? t4??1 ?t- ??-2 4 ?? ?

4? ? - 2 ? 1 ? 1 27 ? ? =1-4-?-2- =7-4= 4 . ? 4 ? ?

(3)∵(tx+2x)′=t+2,
?2 ∴ (t+2)dx= ?tx+2x?? ?1 ?2 ? ? ?1

=(2t+4)-(t+2) =t+2.

课堂互动讲义

利用微积分基本定理求定积分
求下列定积分. (1) (x2+2x+1)dx;(2) (sin x-cos x)dx;
1 0
?0 1? ? x ? (3) 2x-x2 dx;(4)? (cos x + e )dx. ?-π ? ? ?3? ? ? ? ?1 ?2 ? ? ? ?π ? ? ?

[思路导引]

已知被积 求f?x?的原 ―→ 函数f?x? 函数F?x?

―→ F?b?-F?a? ―→ 结论

[边听边记]
?2 ? ? ?1 ?2 ? ? ?1

(1)

?2 ? ? ?1

(x2+2x+1)dx

= x2dx+ 2xdx+ 1dx x3?2 19 2? ?2 2 ? ? ? = 3 1 +x ?1+x?1 = 3 . ? (2)
?π ? ? ?0

?2 ? ? ?1

(sin x-cos x)dx
?π ? ? ?0

= sin xdx- cos xdx
? ? -sin x? =2. =(-cos x)? ?0 ?0

?π ? ? ?0

π

π

(3)

?3? ? ? ? ?1

?3 ?3 1? 1?3 ? ? 1 2 3 2x-x2?dx=? 2xdx-? dx=x |1+x?1 ?1 ?1x2 ? ? ?

?1 ? 22 =(9-1)+?3-1?= 3 . ? ?

(4) =

?0 ? ? ?-π

(cos x+ex)dx
?0 ? ? ?-π

?0 ? ? ?-π

cos xdx+
?0 ?- ? π

exdx 1 =1-eπ.

=sin x

+e ?-π

0 x? ?

(1)根据微积分基本定理计算定积分,关键是
由被积函数这一导数,求出原函数,然后计算原函数在积分区 间上的增量即可. (2)如果被积函数较复杂,则要先化简再求解.

1.计算下列定积分. (1) (2x-1)dx; 1 (2) (e +x )dx;
x
?e ? ? ?1 ?1 ? ? ?0

(3)

?π ? ? ?-π

sin25xdx.

解析: (1)∵(x2-x)′=2x-1, ∴ (2x-1)dx=(x2-x)|1 0=0. 1 (2)∵(e +ln x)′=e +x ,
x x
?1 ? ? ?0

1? e ∴ e +x ?dx=(ex+ln x)|e 1=e -e+1. ? ?
x

?e ? ? ? ? ?1

(3) = =

?π ? ? ?- π

sin 5xdx=

2

?π ? ? ?- π

1-cos 10x dx 2

?π ? ? ?-π

π 1 1? ? ? 2dx-2?-πcos 10xdx

? 1 ?π 1 π ?-π- sin 10x? x ?-π 2 ? 20 ?

1 1 =2(π+π)-20(sin 10π+sin 10π) = π.

求分段函数的定积分
? π? ? 0≤x≤2? ?sin x? ? ? ? ? π 已知函数 f(x)=? ? ? ? ?1?2≤x≤2?, ? ?x-1?2≤x≤4?,

求 f(x)dx.

?4 ? ? ?0

[思路导引] 来解决即可.

分段函数的定积分可利用定积分的性质分段

解析:

?4 ? ? ?

? 2 f(x)dx=? sin ?0 0
π 2

π

? ?4 ? ?π xdx+? 1dx+? (x-1)dx ?
2

2

2

? ?2 =-cos x? ?0

? ?x2 ?? 4 ? ? +x ?π +? 2 -x?? ? ??2 ?2

? π? =1+?2-2?+(4-0) ? ?

π =7-2.

求分段函数的定积分时,可利用积分性质将
其表示为几段定积分和的形式,若函数解析式中含有绝对值, 应根据绝对值的意义找到分界点,去掉绝对值符号,化为分段 函数后再求积分.

2.利用微积分基本定理计算 |x2-3x+2|dx 的值.
0

?3 ? ? ?

解析: 内,

由积分的上、下限可知我们讨论的 x 在[0,3]范围

2 ? ?x -3x+2≤0, 当? ? ?0≤x≤3,

时,

即 1≤x≤2 时, |x2-3x+2|=-x2+3x-2.

2 ? ?x -3x+2>0 当? ? ?0≤x≤3

时,

即 0≤x<1 或 2<x≤3 时, |x2-3x+2|=x2-3x+2.

再由定积分的性质得
?3 ? ? ?0

|x2-3x+2|dx
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0

= |x -3x+2|dx+ |x -3x+2|dx+ |x2-3x+2|dx = (x -3x+2)dx+
2
?2 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

2

?3 ? ? ?2

(-x +3x-2)dx+

2

?3 ? ? ?2

(x2-3x+2)dx

?1 3 3 2 ?? 1 ? =?3x -2x +2x?? ? ??0 ?1 3 3 2 ?? 3 ? x - x +2x?? 2 ?3 ?? ?2

? 1 3 3 2 ?? 2 ? +?-3x +2x -2x?? ? ??1



11 =6.

已知函数的定积分求参数
已知
?1 ? ? ?-1

(x +ax+3a-b)dx=2a+6 且 f(t)= (x3+ax

3

?t ? ? ?0

+3a-b)dx 为偶函数,求 a,b.

[思路导引] 组求解.

先求出积分,再由条件列出关于 a,b 的方程

[规范解答] ∴ ∴ =
?1 ? ? ?-1 ?1 ? ? ?-1 ?1 ? ? ?-1

∵f(x)=x3+ax 为奇函数, 2分

(x3+ax)dx=0, (x3+ax+3a-b)dx (x +ax)dx+
3
?1 ? ? ?-1

(3a-b)dx

=0+(3a-b)[1-(-1)] =6a-2b. ∴6a-2b=2a+6,即 2a-b=3 5分 ①7 分

又 f(t)=

?x4 a 2 ?? ? + x +?3a-b?x??t 0 2 ?4 ??

t4 at2 = 4 + 2 +(3a-b)t 为偶函数, ∴3a-b=0 由①②得 a=-3,b=-9.

9分 ②10 分 12 分

求与定积分有关的参数问题,通常利用函数
的性质与微积分基本定理转化为方程求解.

17 3.f(x)是一次函数,且 f(x)dx=5, x f(x)dx= 6 ,求 f(x) 的解析式.
解析: 设 f(x)=ax+b(a≠0), 1 2? 1 ?1 1 ? ? 则 (ax+b)dx= axdx+ bdx=2ax ?0+bx?0=2a+b,
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0

?1 ? ? ?0

?1 ? ? ?0

1 3?1 1 2?1 1 1 x(ax+b)dx= (ax +bx)dx= 3ax ?0+ 2bx ?0=3a+2b, ? ?
?1 ? ? ?0

2

?1 ?2a+b=5 由? ?1a+1b=17 6 ?3 2 故 f(x)=4x+3.

? ?a=4, ,解得? ? ?b=3,

求 (2xln x+x)dx 的值.
1

?2 ? ? ?

【错解】
?2 ? ? ?

∵(2xln x+x)′=2ln x+3,
2

? ∴ (2xln x+x)dx=(2ln x+3)? ?1

1

=(2ln 2+3)-(2ln 1+3)=2ln 2.

【错因】 将求导数与求原函数混淆是初学积分时最易出 现的错误.求积分必须先求原函数,而不是求导数.

【正解】
?2 ? ? ?1

1 ∵(x ln x)′=2xln x+x · x =2xln x+x,
2 2 2
?2 ? ?1

∴ (2xln x+x)dx=(x ln x) =22ln 2-12ln 1=4ln 2.


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