2012-2013学年高二数学第一次月考试题新人教A版

沂水二中 2012-2013 学年高二第一次月考数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分.共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1. 若 a , b , c 成等比数列，则关于 x 的方程 ax 2 A．必有两个不等实根 C．必无实根
? bx ? c ? 0

(

)

B．必有两个相等实根 D．以上三种情况均有可能

2. 在 ? A B C 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若角 A、B、C 依次成 等差数列，且 a ? 1, b ? A．
3 2

3 , 则 S ? A B C =（

） C．
2

B．

3

D．2 等于（ D． 63 ）

3.设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和，已知 a 2 A．13 B．35

? 3 ， a 6 ? 1 1 ，则 S 7

C．49

4．在△ABC 中，若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 8 ，则其面积等于（ A． 12
5.
1 1? 2 ? 1 2?3

）

B．
?

21 2

C． 2 8
?? ? 1 n ( n ? 1)
n n ?1

D． 6
?

3

1 3? 4

（ C.
n ?1 n? 2

） D.
n ?1 n

A.

n ?1 n

B.

2 6. 等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ，已知 a m ?1 ? a m ? 1 ? a m

? 0 ， S 2 m ?1 ? 38

，则 m ?

A． 9 7．在△ABC 中， ? C

B. 10
? 90

C. 20
? A ? 45

D. 38 ）

0

，00

0

，则下列各式中正确的是（

A． sin

A ? cos A

B． sin B

? cos A

C． sin A ? cos B

D． sin B ? cos B

1

8. 已知等比数列 ? a n ? 中，a 3 a1 1 等于 A． 16 9. 在 ? ABC 中，已知 B A
?
2

? 4 a 7 ，数列 ? b n ? 是等差数列，且 b7 ? a 7 ，则 b 5 ? b 9

B. 8
? 60
0

C. 4 且b
3? 4

D. 2 ）

?

3

，则 ? ABC 外接圆的面积是（ C
?

B

D ）

2?

10. 在 ? A B C 中，若 co s A co s B A．等边三角形

? sin

2

C 2

，则 ? A B C 是 （ C．锐角三角形
1 2

B．等腰三角形

D．直角三角形

11．各项为正数的等比数列 ? a n ? 的公比 q ? 1 ，且 a 2 ,
a3 ? a4 a4 ? a5

a 3 , a1 成等差数列，则

的值是
5 ?1 2 5 ?1 2
? log

(
1? 2
n ?1
2

)
5 ?1 2

A.

B.

C.

5

D.
( n ? N *)

5 ?1 2

或

12． (理)已知数列 { a n } 的通项公式为 a n 则使 S n
? ? 5 成立的自然数

n?2

， 设其前 n 项和为 Sn， （ ）

n C．有最大值 32
n

A．有最大值 63 B．有最小值 63

D．有最小值 32
2 2 2

（文）已知等比数列 { a n }的前 n 项和 S n （ ） A、 ( 2
n

? 2 ? 1 ，则 a 1 ? a 2 ? ? ? a n

等于

? 1)

2

n B、 ( 4 ? 1)

1

3

C、 4 ? 1
n

n D、 ( 2 ? 1)

1

3

2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把各题答案填写在答题纸相 应位置． ） 13.设 a 1 ? 2 ，数列 {1 ? a n } 是以 3 为公比的等比数列，则 a 4 的值是 14. 已知两个等差数列 ? a n ? 、 ? b n ? 的前 n 项和分别为 S n 、 T n . 且 S n
Tn ? 7n ? 1 4n ? 27 (n ? N ? )

，

则

a1 ? a 5 2 b3

?

.

15.数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 n ? 2 n ? 1, 则它的通项公式是__________；

考号：

16. 在 ? A B C 中， A , B , C 的对边分别为 a , b , c ， a , b , c 成等差数列，B ? 30 0 ，? A B C 角 若 的面积为
3 2

，则 b ?

三、解答题： 17． （本小题满分 12 分）设等差数列 ? a n ? 满足 a 3 ? 5 ， a1 0 ? ? 9 . （1）求 ? a n ? 的通项公式 （2）求 ? a n ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大时 n 的值.

班级：

姓名：

3

19. （本小题满分 12 分）在 △ A B C 中， co s B ? ? （Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）设 △ A B C 的面积 S △ A B C ?
33 2

5 13

， co s C ?

4 5

．

，求 B C 的长．

4

5

20. 已知等差数列 { a n } 前三项的和为 ? 3 ，前三项的积为 8 . （Ⅰ）求等差数列 { a n } 的通项公式； （Ⅱ）若 a 2 ， a 3 ， a 1 成等比数列，求数列 {| a n |} 的前 n 项和.

21.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射 高度：在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点 A、B 两地相距 100 米，∠BAC＝60°， 2 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒．A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15°，A 17 地测得最高点 H 的仰角为 30°，求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒)

6

22．(本小题满分 12 分) 已知 数列 ? b n ? 中， b1 ? 1 ， 且点 ? b n ? 1 , b n ? 在直 线 y ? x ? 1 上. 数列 ? a n ? 中， a1 ? 1 ，
a n ?1 ? 2 a n ? 3 ，

(Ⅰ) 求数列 ? b n ? 的通项公式； （Ⅱ）求数列 ? a n ? 的通项公式； （Ⅲ）若 c n ? a n ? 3 ，求数列 ? b n c n ? 的前 n 项和 S n .

7

高二上学期第一次月考考试 数学试题参考答案 一、选择题 1-6：CACDBB DBCBBB 13．80 14.
36 47

15. a n ? ?

?2 ? 2 ?3
n ?1

n=1 ?2 n? 2

16.

3 ?1

17. 解： （1）由题意得
? a1 ? 2 d ? 5 ? a1 ? 9 ，解得 ? . ? ?d ? 2 ? a1 ? 9 d ? ? 9

∴ a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 9 ? 2 ( n ? 1) ? 1 1 ? 2 n --------------------------------6 分 （2）由（1）知 S n ? n a1 ? ∴当 n ? 5 时， S n 取最大值 18．解：解： （Ⅰ）依题意有
a1 ? ( a1 ? a1 q ) ? 2 ( a1 ? a1 q ? a1 q )
2

n ( n ? 1) 2

d ? 1 0 n ? n ? ? ( n ? 5) ? 2 5
2 2

-----------12 分

--------------2 分

由于 a 1 ? 0 ，故
2q ? q ? 0
2

又 q ? 0 ，从而 q ? －

1 2 1
2

-------------3 分

2 （Ⅱ）由已知可得 a 1 ? a（ ? ） ? 3 1

故 a1 ? 4
n ? ? 1? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? n ? 2? ? 8? ? ? 1? ? ? 从而 S n ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3? ? 1? ? 2? ? ? ? 1? ?? ? ? 2?

-------------12 分

19. 解： （Ⅰ）由 co s B ? ? 由 co s C ?
4 5

5 13

，得 sin B ?

12 13

，

???2 分 ???4 分
33 65

，得 sin C ?

3 5

．

所以 sin A ? sin ( B ? C ) ? sin B co s C ? co s B sin C ? （Ⅱ）由 S △ A B C ?
33 2 33 65
8

．???6 分

得 ? A B ? A C ? sin A ?
2

1

33 2

， ???8 分

由（Ⅰ）知 sin A ?

，故 A B ? A C ? 65 ，

又 AC ?

A B ? sin B sin C

?

20 13

AB

，故

20 13

AB ? 65 ， AB ?
2

13 2

.??10 分
，

所以 ???12 分 20． （Ⅰ）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a 2
由题意得 ?
? 3 a 1 ? 3 d ? ? 3, ? a 1 ( a 1 ? d )( a 1 ? 2 d ) ? 8 .

? a1 ? d

， a3 或?

? a1 ? 2 d

解得 ?

? a1 ? 2 , ? d ? ? 3,

? a 1 ? ? 4, ?d ? 3.

所以由等差数列通项公式可得 a n ? 2 ? 3( n ? 1) ? ? 3 n ? 5 ，或 a n ? ? 4 ? 3( n ? 1) ? 3 n ? 7 . 故 a n ? ? 3 n ? 5 ，或 a n ? 3 n ? 7 . （Ⅱ）当 a n ? ? 3 n ? 5 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 ? 1 ， ? 4 ， 2 ，不成等比数列； 当 a n ? 3 n ? 7 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 ? 1 ， 2 ， ? 4 ，成等比数列，满足条件. 故 | an
? ?3n ? 7, |? | 3 n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 1, 2, n ? 3.

记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时， S 1 ? | a1 |? 4 ；当 n ? 2 时， S 2 当 n ? 3 时，
?5? ( n ? 2 )[ 2 ? (3 n ? 7 )] 2 ? 3 2 n ?
2

? | a1 | ? | a 2 | ? 5

；

S n ? S 2 ? | a 3 | ? | a 4 | ? ? ? | a n | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7 ) ? (3 ? 4 ? 7 ) ? ? ? (3 n ? 7 )

11 2

n ? 10

. 当n

? 2

时，满足此式.

n ? 1, ? 4, ? Sn ? ? 3 2 11 综上， n ? 10, n ? 1. ? n ? ?2 2

21．[解析]

2 由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－ ×340 17

＝x－40， 2 2 2 在△ABC 内，由余弦定理：|BC| ＝|BA| ＋|CA| － 2|BA|·|CA|·cos∠BAC， 2 2 即(x－40) ＝x ＋10000－100x，解得 x＝420. 在△ACH 中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°， ∠CHA＝90°－30°＝60°， |CH| |AC| 由正弦定理： ＝ ， sin∠CAH sin∠AHC sin∠CAH 可得|CH|＝|AC|· ＝140 6. sin∠AHC
答：该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6米.

22．解：(Ⅰ)由 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 得 a n ? 1 ? 3 ? 2 ? a n ? 3 ? 所以 ? a n ? 3? 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ，公比为 2 的等比数列. 所以 a n ? 3 ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1 ，故 a n ? 2 n ? 1 ? 3 （Ⅱ）因为 ? b n ? 1 , b n ? 在直线 y ? x ? 1 上，
9

所以 b n ? b n ? 1 ? 1 即 b n ? 1 ? b n ? 1 又 b1 ? 1 故数列 ? b n ? 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 所以 b n ? n （Ⅲ） c n ? a n ? 3 = 2 n ? 1 ? 3 ? 3 = 2 n ? 1 故 b n c n ? n ? 2 n ? 1 所以 S n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ?2 n ? 1 故 2Sn ?
2

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ? 1 ? ?2
3 4

n ?1

? n ?2
n

n?2

相减得 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

n ?1

? n ?2

n?2

?

4 ? 2 ? 1? 2 ?1

? n ?2

n?2

? ?1 ? n ? 2

n?2

?4

所以 S n ? ? n ? 1 ? ?2 n ? 2 ? 4

10