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均值不等式、柯西不等式


第二章
一、
2

均值不等式
?
n

概述
a 1 ? a 2 ? ... ? a n n
2 2

1、

?

a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

a 1 a 2 ... a n ?

n 1 a1 ? 1 a2 ? ... ? 1 an

ai ? R?

2、基本不等式 (1) a , b ? R , a 2 ? b 2 ? 2 ab
a?b ? ab (a , b ? R )
?

(2)

2
a
2

(3)对 b>0,

? 2a ? b

b

例 1、设 x 1 , x 2 ,...... x n ? R 求证
2

?

x1

2

?

x2

2

? ... ?

x n ?1 xn

2

?

xn

2

x2

x3

x1

? x 1 ? x 2 ? ... ? x n

证明:?

x1

x2 x2
2

? x 2 ? 2 x1

x3

? x3 ? 2 x2

……
x n ?1 xn xn
2 2

? x n ? 2 x n ?1

x1

? x1 ? 2 x n

以上不等式相加则原不等式成立。 例 2 求函数 sin 解: sin
3 3

x ? sin 3 x 的最大值。
2

x ? sin 3 x = sin

x (sin x ? sin 3 x )
(? 1 2
2

=

1 ? cos 2 x 2 1 4 1 4

)(cos 4 x ? cos 2 x ) 2 x ? 1 ? cos 2 x )

=? =?

(1 ? cos 2 x )( 2 cos

(1 ? cos 2 x )( 2 cos 2 x ? 1 )(cos 2 x ? 1 )

1

=

1 4

(1 ? cos 2 x )( 2 cos 2 x ? 1 )( 1 ? cos 2 x )
3

?

1 ? ?1 ? cos 2 x ? ? ? 2 cos 2 x ? 1 ? ? ?1 ? cos 2 x ? ? ? 4 ? 3 ? ?
2 3

?

1 4

当且仅当 1-cos2x=2cos2x+1 即 cos 2 x ?

时取“=”

例 3 给定正数 p,q,a,b,c,其中 p ? q ,若 p,a,q 是等比数列 p,b,c,q 是等差数列, 则一元二次方程 bx 2 ? 2 ax ? c ? 0 A 无实根 B 有两等根 解: pq ? a 2 C 有两个同号相异实根
2c ? b ? q
c ? p ? p ? q 3 p ? 2q 3 ? ? p ? q ? q 3 ?
3

( D 有两个异号实根



2b ? p ? c
2p ? q 3

由后两式得: b ?
bc ? 2p ? q 3 ?

p ? 2q 3

p q 3 pq

2

2

? pq ? a

2

? p ? q

? bc ? a

2

? ? 4a

2

? 4 bc ? 4 ( a

2

? bc ) ? 0

( A)
2

例 4、设 n 是自然数,对任意实数 x,y,z 恒有 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? n ( x 4 ? y 4 ? z 4 ) 成立, 则 n 的最小值是? 解:在
a
2

?b

2

? c

2

?

a ? b ? c 3



3

令a ? x2

b ? y

2

c ? z 可得: 3 ( x ? y
2 4

4

? z ) ? (x ? y
4 2

2

? z )
2
4

2

? n ? 3 时对任意的 x 、 y 、 z ? R 不等式 x

?

2

? y

2

? z

2

?

2

? n( x ? y
4

? z ) 恒成立。
4

当 x 2 ? y 2 ? z 2 时9x 4 ? n ? 3x 4
? n 的最小值是 3.

n ? 3

例 5、设 0 ? ? ? ? , 则 sin 解:令 y ? sin
?
2

?
2

(1 ? cos ? ) 的最大值是

(1 ? cos ? ) 则
2

y

2

? sin

2

?
2

? ( 2 cos

2

?
2

)

2

? 2 ( 2 sin

2

?
2

? cos

2

?
2

? cos

2

?
2

2 sin ) ? 2?(

?
2

? 2 cos 3

2

?
2 )
3

? 2?

8 27

?

16 27

?0 ?? ??
4 3 3

? sin

?
2

? 0,

1 ? c o s? ? 0

y ? 0

则y ?

?

4 9

3

2

当且仅当 2 sin
?
2

2

?
2

? cos

2

?
2

即 ? ? arctan

2 时 等号成立。

? sin

(1 ? cos ? ) 的最大值是

4 9

3

例 6、设 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 求 f (n) ?
Sn ( n ? 32 ) S n ? 1
n ( n ? 1) 2

n? N

的最大值。
( n ? 1 )( n ? 2 ) 2

解: S n ?

S n ?1 ?

n ( n ? 1) f (n) ? ( n ? 32 ) n n 2 ? ? 2 ? ( n ? 1)( n ? 2 ) ( n ? 32 )( n ? 2 ) n ? 34 n ? 64 2
? n ? 64 n
? f (n) ? 1 16 ? 34

1 n? 64 n ? 34

? 2

n?

64 n
?

? 16
1 50 dx
2

当且仅当 n=8 时取“=” 的分式函数可以转化为二次方程判断根的问题。当 x,a,

注:对形如 f ( x ) ?
ax

? bx ? c

b,c,d ? R ? 时都可以考虑利用分子常数转化的方法求他们的最大值。 例 7、设 a , b , c ? R 且 a ? b ? c ? 1, 证明
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
?

1 a

?

1 b
3

?

1 c

? 9

证明:

?

?

? ( a ? b ? c )(

?

?

) ? 3 abc ? 3 3

1 a

?

1 b

?

1 c

? 9

例 8:已知 0 ? x ? 3 则函数 y ? x 2 3 ? x 的最大值是
0 ? x ? 3, y ? x ?
2



3? x ?

x (3 ? x ) ?
4

x ? x ? x ? x ? (3 ? x ) 1 4 ? 1 4 ?( 12 5 )
5

解:
x ? x ? x ? x ? (12 ? 4 x ) ?

=

144 125

15

当且仅当 x ? 12 ? 4 x , x ?

12 5

时取“=”

例 9 设 a , b , c ? R ? 且 a ? b ? c ? 1, 证明 (1 ? a )( 1 ? b )( 1 ? c ) ? 8 (1 ? a )( 1 ? b )( 1 ? c ) 证明:? a ? b ? c ? 1

3

? 1 ? a ? 2 ? b ? c ? (1 ? b ) ? (1 ? c ) ? 2 (1 ? b )( 1 ? c ) ? 0

同理 1 ? b ? 2 (1 ? a )( 1 ? c ) ? 0

1 ? c ? 2 (1 ? a )( 1 ? b ) ? 0

相乘即得。

例 10 已知 a 1 , a 2 ,...... a n 是 n 个正数,满足 a 1 a 2 ...... a n ? 1 求证 ( 2 ? a 1 )( 2 ? a 2 )...( 2 ? a n ) ? 3 n 证明:? 2 ? a 1 ? 1 ? 1 ? a 1 ? 3 3 a 1 ? 0
2 ? a 2 ? 1 ? 1 ? a 2 ? 3 3 a 2 ? 0 ……
2 ? a n ? 1 ? 1 ? a n ? 33 a n ? 0

所以 ( 2 ? a 1 )( 2 ? a 2 )...( 2 ? a n ) ? 3 n 例 11 假设实数 a 1 , a 2 , b1 , b 2 , c 1 , c 2 满足 a 1 a 2 ? 0 , a 1 c 1 ? b1 , a 2 c 2 ? b 2 求证 ( a 1 ? a 2 )( c 1 ? c 2 ) ? ( b1 ? b 2 ) 2 证明: ( a 1 a 2 )( c 1 c 2 ) ? a 1 c 1 ? a 2 c 2 ? a 1 c 2 ? a 2 c 1 ? b1 ? b 2 ? a 1 c 2 ? a 2 c 1
? b1 ? b 2 ? 2 a 1 a 2 c 1 c 2 ? b1 ? b 2 ? 2 b1 b 2 ? ( b1 ? b 2 )
2 2 2 2 2
2 2 2 2

例 12 已知 a , b , c , d ? R ,求证 证明:
a b ? c ? b d ? c ? c a ? d ?

?

a b ? c
d a ?b

?

b d ? c
a b ? c

?
?

c a ? d
c a ? d

?

d a ?b
b

? 2
? d a ?b )

? (

)? (

d ? c

=

a ( d ? a ) ? c (b ? c ) ( b ? c )( a ? d )

?

b (a ? b ) ? d (c ? d ) ( c ? d )( a ? b )
2



由均值不等式

(a ? b ? c ? d ) 4

? ( b ? c )( a ? d )



1 ( b ? c )( a ? d ) 1

?

4 (a ? b ? c ? d ) 4 (a ? b ? c ? d )
2 2

同理

( d ? c )( a ? b )

?

所以①式 ?

4(a

2

?b

2

? c

2

? d

2

? ab ? bc ? ad ? cd )
2

(a ? b ? c ? d )

4

? 2

(a ? b ? c ? d )

2

? (a ? c)

2 2

? (b ? d )

2

(a ? b ? c ? d )

? 2

例 13 求证对任何的非负数 a 和 b,不等式
1 2 1 4 1

1 2

(a ? b)

2

?

1 4

(a ? b) ? a

b ? b

a 成立。

证:

(a ? b)

2

?

(a ? b) ?

1? 1 1 1 ? ? ? (a ? b) (a ? b) ? ? ( a ? b ) ( a ? ) ? (b ? ) ? ? ? 2 2? 2 4 4 ? ? ? ?

?

ab ( a ?

b) ? a b ? b a
c a ? a b ? c ? b c ? 2

例 14 设 a,b,c 是正整数,求证
c a a b ? c b ? c c

证明:左=

?

?

? 1 ? 33

c a

?

a b ? c

?

b ? c c

?1 ? 2

柯西不等式(Cauchy)
灵活运用柯西不等式解奥赛题 对于实数组 a
a1 b1 ? a2 b2 ? ...... ?

, a 2 , ...... a n .b1 , b 2 ...... b n 1

有 (?
i ?1

n

a ibi )

2

? ( ? a i )( ? b i )
2 i ?1 i ?1

n

n

2

当且仅当

an bn

时取“=”

证明:令 f ( x ) ? ( a 1 x ? b1 ) 2 ? ( a 2 x ? b 2 ) 2 ? ...... ? ( a n x ? b n ) 2 则 f ( x ) ? 0 恒成立。 即
( a 1 ? a 2 ? ... ? a n ) x ? 2 ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ... ? a n b n ) x ? ( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? 0 恒成立
2 2 2 2 2 2 2

? ? ? 0 ? ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ... ? a n b n )
? ? 即 ? ? a ibi ? ? i ?1 ?
n 2

2

? ( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )( b1 ? b 2 ? ... ? b n )

2

2

2

2

2

2

? ? 2 ?? ? ? ? a i ?? ? bi ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n n

2

例1、 设 a,b,x,y 都是实数且 a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1 证明 ax ? by ? 1 证明: ( ax ? by ) 2 ? ( a 2 ? b 2 )( x 2 ? y 2 ) ? 1
? ax ? by ? 1

5

例2、 设 x 和 y 是正实数且 x ? y ? 1 证明 (1 ?

1 x

)( 1 ?

1 y

) ? 9 (加拿大)

证明: (1 ?

1 x

)( 1 ?

1

? 2 1 2 ?? 2 1 2? ) ? ?1 ? ( ) ? ?1 ? ( ) ? y x ?? y ? ? ? ?
? (1 ? 1 ? 1 x 1 2 ? 1 y 1 xy )
2

? (1 ?

1 xy

)

2

?1 ? x ? y ? 2

xy

?

xy ?

? 2

则 (1 ? 均
(1 ? 1 x

1 x

)( 1 ?

1 y

) ? (1 ?

1 xy

)

2

? (1 ? 2 )

2

? 9


)( 1 ? 1 y ) ? (1 ? x ? y x


)( 1 ? x ? y y


) ? (2 ? y x )( 2 ? x y


) ? 5 ? 2( x y ? y x


) ? 9



例 3 设 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0且 a ? b ? c ? 3 证明
a 1? a
2

?

b 1? b
2 2

?

c 1? c
2

?

3 2 a

?

1 1? a ? 1 2

?

1 1? b

?

1 1? c

(15 届全俄)

证明:? 1 ? a 同理?
b 1? b
2

? 2a
1 2 ?

?

1? a
c
2

2

?

1? c

?

1 2

三式相加即知左式成立。
1 1? a 9 3?3 ? ? 1 1? b 3 2
2

由柯西不等式得 ??1 ? a ? ? ?1 ? b ? ? ?1 ? c ??(
? 1 1? a ? 1 1? b ? 1 1? c ? 9 3? a ?b ? c ?

?

1 1? c

) ? 3

2

注、 ( ? 1 ? a ? ? ;
2

?
?

1? b

?

2

?

?

1? c

?
?

2

? )( ? ? ?

? ? ? 1? a ? 1 1

? ?? ? ?
2

? ? ? 1? b ? 1

2

? ?? ? ?

? ? ) ? 1? c ? 1

2

? ? ? 1? a ? ? ?

1 1? a

1? b ?

1 1? b

1? c ?

? ? ? 1? c ?

例4、



a , b , c , d
a
3

是 满 足
c
3

ab+bc+cd+da=1
d
3

的 非 负 数 , 试 证

b ? c ? d a
3

?

b

3

a ? d ? c

?

a ? b ? d

?

a ? b ? c

?

1 3

(31 届 IMO 预选)

证:S=左= ?

b ? c ? d



6

S ??

? a (b ? c ? d ) ? ? ? ? ?

? ? ? ?

a

3

b? c? d

?

?? a ?b ? c ? d ? ? ? ?? ??

2

? (a

2

?b

2

? c

2

? d )
2

2


? 2 ? a (b ? c ? d ) ?
? S ?

? ??a
? d
2

2

?b

2

? ? (a
2

2

? c ) ? (a ? b ) ?
2 2 2

? ? ?3 a
a ? 1 3
x n ?1 xn
2

2

?b ?c ?d
2 2

2

? ? 6? a
1 3

2

?a

2

? b

2

? c

2

?

?

a (b ? c ? d )

?

(a

? b

2

? c

2 2

? d )
2

3? a

?

1

? 3

( ab ? bc ? cd ? da ) ?

例5、 证
(

设 x 1、 x 2 ... x n 都是正整数,求证 明
x1
2

x1

2

?

x2

2

? ... ?

?

xn

2

x2

x3

x1

? x 1 ? x 2 ? ... ? x n


2


2


2

西




2





?

x2

? ... ?

x n ?1 xn

?

xn

x2

x3

x1

) ? ( x 1 ? x 2 ? ... ? x n ) ? ( x 1 ? x 2 ? ... ? x n ) 从而得证。

例6、

设 a,b,c 都是正数且 a ? b ? c ? 1证明
1 a ? 1 c 1 b ? 9 ? 1 c

1 a

?

1 b

?

1 c

? 9
2

证明:由柯西不等式得 ( a ? b ? c )( 由 a ? b ? c ? 1可得 例7、
1 a ? 1 b

) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 )

? 9

?

设 a 1 , a 2 ,...... a n 为正数且 a 1 ? a 2 ? ... a n ? 1 证明
a1
2

a1 ? a 2

?

a2

2

a2 ? a3

? ...... ?

a n ?1

2

a n ?1 ? a n

?

an

2

a n ? a1

?

1 2

(24 届苏联)

证明: 左=
1 2
?

?? a 1
1 2

2 ? a12 ? a n ?1 an a2 ? a 2 ? ? ( a 3 ? a 4 ) ? ... ? ( a n ? 1 ? a n ) ? ( a n ? a 1 ) ? ? ? ? ? ... ? ? ? a2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1 ? ? a1 ? a 2 ? ? 2 2

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )

2

?

1 2 1 a )
2

例8、

设 a,b,c 为正数且 a+b+c=1 求证 ( a ?

? (b ?

1 b

)

2

? (c ?

1 c

) ?

100 3

证明:由柯西不等式得 左=
1 1 2 1 2 1 2? 1 ? (1 ? 1 ? 1 ) ( a ? ) ? ( b ? ) ? ( c ? ) ? ? ? 3 a b c ? 3 ?
2 2 2

1 1 1 ? ? 1 ? ( a ? ) ? 1 ? (b ? ) ? 1 ? (c ? ) ? a b c ? ? ?
2

2

?

1 ? 1 1 1 ? 1? ( ? ? ) 3? a b c ? ? ?

2

?

1 ? 1 1 1 ? 1 ? ( a ? b ? c )( ? ? ) 3? a b c ? ? ?

7

?

1 ? ?1 ? ( 3?

a ?

1 a

?

b ?

1 b
c

?

c ?
a

1

2 ? ) ? c ?

2

?
b

1 3
?

(1 ? 9 )
3 2

2

?

100 3

例 9 已知 a , b , c ? 0 求证: 证明:左+3= ? a

a ?b

?

b ? c

?

a ? c

1 1 ? ? 1 ? b ? c ?? ? ? ? b? c c? a? ?a ?b
? b ) ? (c ? b ) ? (a ? c )? 1 1 ? ? 1 ? ? ?a ? b b ? c c ? a? ? ?
1 c ?b 1 c ? a 9 2

=

1 2
1 2

?( a

?

[(

a ?b ?

1 a ?b

)? ( c ?b ?

)? ( c ? a ?

)]

2

?

?

c a ?b

?

a b ? c

?

b a ? c

?

3 2
2

例 10 设三个正数 a,b,c 满足不等式 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2 ( a 4 ? b 4 ? c 4 ) 证明 a,b,c 一定是某个三角形的三条边。 证明: ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2 ( a 4 ? b 4 ? c 4 ) ? ? a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2 a 2 b 2 ? 2 c 2 b 2 ? 2 a 2 c 2
2

= ? ?a 2 ? b 2 ? ? c 4 ? 2 a 2 b 2 ? 2 a 2 c 2
2

?

?

= ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) ? 2b 2 c 2 ? 2 a 2 c 2 = 4 a 2 c 2 ? ( a 2 ? c 2 ? b 2 ) 2 ? ( 2 ac ? a 2 ? c 2 ? b 2 )( 2 ac ? a 2 ? c 2 ? b 2 ) = ? a ? c ? ? b 2 ?b 2 ? ( a ? c ) 2 ? ? ( a ? b ? c )( a ? c ? b )( b ? a ? c )( b ? a ? c ) ? 0
2

?

?

所以 ( a ? c ? b )( b ? a ? c )( b ? a ? c ) ? 0 得证。 例 11 a , b , c , d , e ? R 且满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8, a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 16 求 e 的取值范围。
1 2 2 2 2 1

解: 8 ? e ? (1 ? a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 ? d ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ) 2 ( a ? b ? c ? d ) 2
1

= 2 (16 ? e ) 2
2

所以 0 ? e ?

16 5

例 12 设实数 a , b , c , d 满足条件:
求证 1 ? a ? 2

a ? b ? c ? d ? 3, a

2

? 2 b ? 3c ? 6 d
2 2

2

?5

8

证明:由柯西不等式得 ?

?1 ?2

?

1 3

?

1? 2 2 ? ?2 b ? 3 c ? 6 d 6?

2

??

(b ? c ? d )

2

即 5 ? a 2 ? (3 ? a 2 ) ? 1 ? a ? 2 例 13 a , b , c ? R , abc ? 1 ) 证明:? abc ? 1
?[ 1 a (b ? c )
3 ?

证明:

1 a (b ? c )
3

?

1 b (a ? c)
3

?

1 c (a ? b)
3

?

3 2

(36 届 IMO

?

1 a

?

1 b

?

1 c

? bc ? ca ? ab

?

1 b (a ? c)
3

?

1 c (a ? b)
3

][ a ( b ? c ) ? b ( a ? c ) ? c ( a ? b )] ? (

1 a

?

1 b

?

1 c

)

2

?

1 a (b ? c )
3

?

1 b (a ? c)
3

?

1 c (a ? b)
3

?

1 1 1 1 3 ( ? ? ) ? 2 a b c 2

3

1 abc

?

3 2

课题:不等式的解法及其应用 教学目标: 解不等式的关键是在熟练掌握基本不等式的基础上根据不等式的有关性质, 对不等式作同解变形,常用到换元法、分类讨论等方法,同时要注意不等式与方程函数等知 识 的联系,注意数形结合方法的运用。 例 1:不等式 2 x ? 2 ? x ? 1 的解集 分析:不等式
?g (x) ? 0 ?g (x) ? 0 或? f ( x) ? g ( x) ? ? 2 ? f (x) ? 0 ? f (x) ? [g (x) ]

?1 ? x ? 2 ?

5

例 2:若非空集合 ( )

A ? ?x 2 a ? 1 ? x ? 3 a ? 5 B ? ?x 3 ? x ? 22

?

?

则使 A ? ( A ? B ) 成立的所有 a 的集合是

(A) ?a 1 ? a ? 9 ?

(B) ?a 6 ? a ? 9 ?

(C) ?a a ? 9 ?

(D) ?

?2a ? 1 ? 3 ? 解:? A ? ( A ? B ) ? A ? B 使有 ? 3 a ? 5 ? 22 ? 6? a ?9 ?3a ? 5 ? 2 a ? 1 ?
2x

B

x

2

例 3:不等式 log

?
sin x

log

在区间(0,2 ? )上的解是
sin x

。 (九届希望杯)

9

? 0 ? x ? 2? ? ? sin x ? 0 ? sin x ? 1 ? ?2 x ? x 2 ?

解得

2<x< ?

例 4、求实数 a 的取值范围,使得对实数 x 和任意 ? ? [0,2 ? ] 恒有(x+3+2sin ? cos ? )2+(x+asin ? +acos ? ) 2 ?
1 8 1 8

(96 中联)
2

解:令 f ( x ) ? ( x ? 3 ? 2 sin ? cos ? ) 2 ? ( x ? a sin ? ? a cos ? ) ? 则
f (x) ? 2 x
2

? 2 ( 3 ? 2 sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ) x ? ( 3 ? 2 sin ? cos ? )

2

? ( a sin ? ? a cos ? )

2

?

1 8

? 0

对任意 x ? R 成立
? ? ? 4 ( 3 ? 2 sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? )
2

? 4?2

? ?3 ? 2 sin ? cos ? ? ?

?

2

? ? cos ? sin ? ? a cos ?

?

2

?

1? ? 0 8? ?









?3 ?
1 2

2 sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ?

?

2

?

1 4

? ?1 ?



?1 ?



3 ? 2 sin ? cos ? ? a ? sin ? ? cos ?

? ?2 ? 1 2 ? ?3 ?

3 ? 2 sin ? cos ? ?

或a ?

sin ? ? cos ?

? ? ? ? ? ? ? 0 , ? ? sin ? ? cos ? ? ? 2?

? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 1, 4 ? ?

?

2

?

由 ?2 ? 得

3 ? 2 sin ? cos ? ? sin ? ? cos ?

1 2 ? ?sin ? ? cos ? ? ?
5 2 ? 1 x

5 2

?

1 sin ? ? cos ?

当1 ? x ?

2 时 函数 g ? x ? ? x ?

单减
1 2

3 ? 2 sin ? cos ? ?

? 当 sin ? ? cos ? ? 1 时

sin ? ? cos ? 1 2

取得最大值: 1 ?

5 2

?

7 2

? a ?

7 2

3 ? 2 sin ? cos ? ?

由(3)得:

sin ? ? cos ?
6 2

? ? sin ? ? cos ? ? ?

3 2

?

1 sin ? ? cos ?

? 2

3 2

?

6

当且仅当: sin ? ? cos ? ?

时等式成立? a ?

6 综上所述得 a ?

7 2

或a ?

6

例 5: (98 中联)设命题 P:关于 x 的不等式 a 1 x 2 ? b1 x ? c 1 ? 0 与 a 2 x 2 ? b 2 x ? c 2 ? 0 得
10

解集相同,命题 Q:

a1 a2

?

b1 b2

?

c1 c2

,则命题 Q





A、是 p 的充分必要条件 C、是 p 的必要不充分条件 例, x 2 ? 3 x ? 2 ? 0

B、是 p 的充分不必要条件 D、既不是 p 的充分条件也不是 p 的必要条件
a1 a2 ? b1 b2 ? c1 c2 ? ? 1 但解集不同,排除 A,B,

与 ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,



x ? x ?1 ? 0
2

与 x 2 ? x ? 2 ? 0 解集相同,排除
? x ?3 ? x ? 2 x ? 4 x ? 4 ? x ?1 x?3 ? x? 2 x ? 4 ? x ?1 x ? 4
x ?1 x ? 4

C

例 6.解不等式

x ? 4 ? x ?1 x?3 ? x ? 2

解:在原不等式两边同时乘以



( x ? 4) ( x ? 3)

2 2

? ( x ? 1) ? ( x ? 2)

2 2

?



? 3(2 x ? 5) ? (2 x ? 5)

?1?



2?

?2 x ? 4 ? x ? 1 ? ? x ? 4 ?x ? 4 x ?1

? 3 ? x ? 4或4 ? x ? 7
1 ? y x log 27 ? log 4 ? ? 6 ? ? y x 例 7.求实数 x,y 使得 ? 27 ? 4 ? 1 ? 5 ?x ?y ? 4 ? 27 ? ? 6 ?

解:设 4 x ? a ? 0 , 27

y

(3)有 ? b ? 0 ,则由(1)
1 a 1 2 ? 1 a ?1 ? 5 6

1 a

?

1 b

?

5 60

,b ? a ? 1

即b ? a ? 1 将

b ? a ? 1 代入(1)有

, 5 a 2 ? 7 a ? 6 ? 0 解得 a ? 2 ,

即 4 x ? 2 2x ? 2 , x ?

将 a ? b ? 1 代入(1) ; 当 b-1>0 即 b>1 时有
1 b ? 1 b ?1 ? 1 3 5 6 , 5b
2

? 17 b ? b ? 0 解得

2 5

? b ? 3, ? y ?

1 3

当 b-1<0 即 0<b<1 时仍有 y ?

11

又由 log
log

27

y ? log
1 3 ? log

4

x ?
x ?

1 b
1 2

有 即
2x 4

27

y ?

4

log

27

3 y ? log

4

2x

又由 x ? 由y ?
1 3

1 2

2x ? 1 得 log

? 0

,3y ? 1 得 log
3 y ? log
1 b

27

3y ? 0
x ? 1 2 y ? 1 3

故有 log

27

4

2x ? 0
1 b ?1 5 6

时 满足(2)所以 x=

1 2

,y ?

1 3

注:0<b<1 时

?

?

b ?1? b ?
2

5 6

b ( b ? 1) ?

5 b ? 17 b ? 6 ? 0 2 5 y ? 5 3 ? b ?1

例 8 :解不等式

x 1? x
2

?

1? x 1? x

2 2

? 0

解 : 令
2 sin
2

x=tan ? ( ?

?
2

?? ? ?

?
2 1 2

) 则 原 不 等 式 变 形 为
? s i n? ? 1

t a? n s e ?c

? c o ?s ? 0 即

? ? sin ? ? 1 ? 0
?
2

? ?

?
6

?? ?

x ? t a n? ? ?

3 3

故原式不等式的解集为 ?x x ? ? 例 9:已知 ax
2

3 3

?

? 2004 x ? b ? 0 的解集是 ?x ? 3 ? x ? ? 1

?
.
2

则不等式: ax 2 ? 2004 x ? b ? 0 的解集是 解:由 ? 3 ? x ? ? 1 得 ? x ? 3 ?? x ? 1 ? ? 0
?a ? 0
x
2

x ? 4 x ? 3 ? 0 ? ax
2

? 2004 ? b ? 0 x

?

2004 a

x ?

b a

? 0

12



2004 a

? ?4

b a

? 3

由 ax 2 ? 2004 x ? b ? 0 得
x
2

?

2004 a

x ?

b a

? 0 即 x

2

? 4x ? 3 ? 0

? ?x 1 ? x ? 3

?
2

例 10: (00 年希望杯)求所有的正实数 a ,使得对任意实数 x 都有 a cos 2 x ? a 2 sin 解:原不等式即: a 1 ? 2 sin 设 a 2 sin
2 2x

x

? 2

?a

2 sin

2

x

? 2 (1)
?t ? 2

x

? t 则(1)变形为 at

-1

t ? 1, a

?

2

??a ? 1?

t ? a ,1 ?0 ? a ? 1 ?
2

?

?

即: t 2 ? 2 t ? a ? 0 设 f (t ) ? t 2 ? 2 t ? a
?a ? 1 ? f (1 ) ? 0 ? ?? 即 ?a ? 0 ? 2 ? f (a ) ? 0 ? 4 2 ?a ? 2a ? a ? 0
2

? t 在 1 ~ a 之间小于或等于 0
2

5 ?1 2

? a ?1

例 11:是否存在 a , b , c ? R 使函数 f ? x ? ? ax 切实数 x 都有 ? x ? f ? x ? ?
1 2

? bx ? c 的图像过点 M ?1, 0 ? 且满足:对一

?1 ?

x

2

? 成立?请说明理由。

解:? f ? x ? 图像经过 M ?1, 0 ? ? a ? b ? c ? 0 (1) 又? ? x ? f ? x ? ?
? 1 ? f ?? 1? ? 1
1 2

?1 ?

x

2

?
a ? b ? c ? 1( 2 )
1 2

f ?? 1? ? 1
1 2

(1)+(2)得 a ? c ?

,b ? ?

,c ?

1 2

? a
2

? 对一切 x ? R , ? x ? f ? x ? 恒成立 即: ax

?

1 2

x ?

1 2

? a ? 0 成立

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 2 即 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? 4a? ? a ? ? 0 ?? ? ?? ? 2 a ? ? 0 4 ?2 ? ? ? ?? 2
? a ? 1 4 ? b ? 1 4 1 4 1 2

故存在 a ? c ?

,b ? ?

使结论成立

13

例 12:已知不等式

1? 2

x

? ... ? ? n ? 1 ? ? n
2

x

?a

? 0 (其中 n ? 2 , n ? N )

n

对任意 x ? ? ? ? ,1 ? 恒成立,试求 a 的取值范围?
1? 2
x







x ?1
?? 1 ? a ? ? ?? ? ?? n ? ?
x


x

? ... ? ? n ? 1 ? ? n
x

x

?a

? 0







n

?n

? 2, n ? N

??

?2? ?? ? ?n?
x

x

? n ?1? ? ... ? ? ? ? n ?

x

? ? 恒成立 ? ?

?1? ?2? ? n ?1? ? ? ? , ? ? ,? ? ? ?n? ?n? ? n ?

x


x

? ? ? ,1?













?? 1 ? ? f ? x ? ? ? ?? ? ?? n ? ?

x

?2? ?? ? ?n?
1? n 2

x

? n ?1? ? ?? ?? ? ? 在 ? ? ? ,1 ? n ? ? ?

? 上是增函数。要使 a

? f ? x ? 成立,

应有 a ? f ? x ? max ?

例 13:若不等式 x 2 ? 2 x ? 26 ? 解: f ? x ? ?
f ? x ? ? 2 13

x ? 6 x ? 10 ? a 没有实数解,求 a 的取值范围。
2

? x ? 1?

2

? ?0 ? 5 ? ?
2

?x ? 2 ?

2

? ?0 ? 1 ?

2

? x , 0 ? 到 ? ? 1,5 ? ?3 ,1 ? 距离之和

? a ? 2 13

? y ? 3x ? 1 ? 例 14:在平面直角坐标平面上,满足不等式组 ? y ? x 的整点的个数是 2551 3 ? ? x ? y ? 100 ?

解:由 x 轴 y 轴和直线 x ? y ? 100 所围成的区域 R (包括边界)内的整点个数共有
1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 ? 101 ? (1 ? 101 ) ? 101 2 ? 5151 个

y
y ? 3x

14
y ? x ? 100
1

由直线 y ?

1 3

x , x ? y ? 100 和 x 轴围成的区域 G (不包括 y ?

1 3

x 上的整点)内的整点

个数共有 100 ? 96 ? 92 ? ? ? 8 ? 4 ? 1300 个 据对称性知:由直线 y ? 3 x , x ? y ? 100 和 y 轴所围成的区域(不包括边界 y ? 3 x 上 的整点)内也有 1300 个整点 ? 符合条件的整点个数共有 5151 ? 2 ? 1300 ? 2551 个

15


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