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用非函数法解解析几何中的一类最值问题


例谈求解最值问题的数形结合方法
721000 陕西宝鸡渭滨中学 彭宏伟
我们知道,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。 有关最值问题在解析几何中占有相当重要的地位。 因为最值问题涉及 到圆锥曲线的定义、方程、几何性质等内容,综合性强,所以也是高 考考查的重点。大多数最值问题均可转化为函数问题来解决,但也有 相当一部分题目,虽然可以引入变量,建立目标函数,但是它们的最 值利用初等方法不易或不能求出, 这时就需要考虑一些其他的非函数 的方法来解决。下面就是自己在教学中的一点体会。 一、 利用圆锥曲线的定义 有关圆锥曲线的最值问题, 利用圆锥曲线的定义, 常常使问题的解 决显得非常巧妙! [题1]:若点A坐标为(3,2) , F为抛物线 y2=2x 的焦点,点P在该抛
B Y

A P

物线上移动, 为使|PA|+|PF|取得 最 小 值 , 点 P 的 坐 标 为 ________________。 分析:如图1,设点P(x,y),则 |PA|+|PF|=
1 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 + ( x ? )2 ? y 2 2
图1 O F

X

此函数很难用初等方法求得最值,但是联想抛物线定义,注意到 |PF|等于点P到抛物线准线L的距离,由点P向L作垂线,垂足为

0

B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|。由平面几何知识,当A、 P、B三点共线时,其值最小,易知此时点P坐标为(2,2) 。 在椭圆、双曲线中也有类似的问题(如题2) [题2]:已知椭圆
1 x2 y2 ? ? 1 ,右焦点F,定点A( , 3 ) ,动点 2 5 4

P在椭圆上移动,求点P使|PA|+ 5 |PF|最小。 分析:如图 2,用椭圆
Y

的第二定义可得,答案是 (
5 。 , 3) 2
O

A P F

B B'
X

这类问题的一般形式 是: 已知A是圆锥曲线内部 (含焦点的区域) 不同于焦
图2

点的一个定点, F是一焦点, P是圆锥曲线上一动点, 求|AP|+ |PF| 的最小植(e 是圆锥曲线的离心率) 。而解这类问题的通法是圆锥曲 线的第二定义。 [题 3]:已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 ,A(1,1) 1、F2分别是它的左、 ,F 25 9

1 e

右焦点,在椭圆上求一点使得|PA|+|PF1|最小。 分析:此题可用椭圆的第一定义解得(如图 3) |PA|+|PF1|=(2a-|PF2|)+|PA|=2a+(|PA|-|PF2|)

1

而 ||PA|-|PF2|| ≤ | A F 2 | 显然,当点A、P、F2三点共线 且|PA|-|PF2|=-|AF2|时, 其和最 小为 2a-|AF2|=10- 10 ,不难通 过直线AF2的方程与椭圆方程联 立方程组求得点P坐标 (纵坐标大 于零).此时,点 P 在点 Q 处。
F1 O Q

Y P

A F2 X

图3

当然也可求得其最大值,当|PA|-|PF2|=|AF2|时,其和最大为 2a+|AF2|=10+ 10 二、 利用对称原理 [题4]:求函数 y= x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?1 的最小值。 分析:此题用初等方法很难求得最值,把数的问题转化为形的问题将 原式变形为 y= ( x ? )2 ? ? ( x ? )2 ?
1 2 3 4 1 2 3 4

B

Y

A

上式可视为X轴上任一点P(x,0)到A (- ,
1 3 )的距离与这点到 2 2 1 3 )距离之和(如图 4) 2 2

O

P

X

B( ,

A'

利用对称原理,考察A点关于X轴 对称点A‘,连|PA/|, 则|PA|=|PA/|, |PA|+|PB|=|PA/|+|PB|, 而|PA/|+|PB| ? |AB|。
2

显然当点P在 O 点时,其和最小为2。 亦可用类似的方法求解下题:求函数 y= x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 13 的最 大值。 三、 利用平面几何知识 [题5]:已知直线L:y=x-2,点 A(1,1)和点B(-1,1),在直线L 上找一点P,使得∠APB 最大,求此时点P坐标。 分析:此题可设点P坐标,用到角公式建立函数关系,但显得过 繁。由平面几何知识,当过A、B两点的圆与L相切时,切点即为所 求,可证明如下(如图 5) : P为切点,Q不是切点, 连 BQ 交⊙C于D,连 AD, 显然 ∠APB=∠ADB>∠AQB 由几何知识,圆心C在线 段 AB 的垂直平分线 y 轴上, 可令C(0,a)则|AC|=|CP|,即 (a ? 1)2 ? 1 ?
a?2 ?
Y

B

A

C

D P

Q

X

解得 a=0 或8,满足条件的圆有2个,但只有 a=0 时,∠APB 最大,此时P点坐标为(1,-1)。

(此文在华中师大《数学教学》2006 年第 11 期发表)

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