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2013-2014年高考理科数学陕西卷试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (陕西卷)
第一部分(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分). 1.(2013 陕西,理 1)设全集为 R,函数 f(x)= 1? x2 的定义域为 M,则 RM 为( ). A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 1)∪(1,+∞). 2.(2013 陕西,理 2)根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为( ). A.25 B.30 C.31 D.61 3.(2013 陕西,理 3)设 a,b 为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a ∥b”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (2013 陕西, 理 4)某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1,2, ?, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ). A.11 B.12 C.13 D.14 5.(2013 陕西,理 5)如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围 分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内 随机地选一地点,则该地点无 信号的概率是( ). .

π 4 A. π 2? 2 C. 1?

π ?1 B. 2 π D. 4
).

6.(2013 陕西,理 6)设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假 命题是( . A.若|z1-z2|=0,则

z1 ? z2

B.若

z1 ? z2 ,则 z1 ? z2

2 2 C.若|z1|=|z2|,则 1 1 D.若|z1|=|z2|,则 z12=z22 7.(2013 陕西,理 7)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则 △ABC 的形状为( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
6 ?? 1? x ? ?? ? ,x ? 0,则当 x>0 时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 8.(2013 陕西,理 8)设函数 f(x)= ?? x? ? ?? x , x ? 0,

z ?z ? z ?z

A.-20 B.20 C.-15 D.15 9. (2013 陕西, 理 9)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300 2 m 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是( ). A.[15,20] C.[10,30] B.[12,25] D.[20,30]
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10.(2013 陕西,理 10)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有( A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

).

第二部分(共 100 分)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.(2013 陕西,理 11)双曲线

5 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m 等于__________. 4 16 m

12.(2013 陕西,理 12)某几何体的三视图如图所示,则其体积为__________.

13.(2013 陕西,理 13)若点(x,y)位于曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小 值为__________. 14.(2013 陕西,理 14)观察下列等式 2 1 =1 2 2 1 -2 =-3 2 2 2 1 -2 +3 =6 2 2 2 2 1 -2 +3 -4 =-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为__________. 15.(2013 陕西,理 15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评 分) A.(不等式选做题)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 __________. B.(几何证明选做题)如图,弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知 PD=2DA=2,则 PE= __________.

C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数,则 2 2 圆 x +y -x=0 的参数方程为__________.

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分). 16.(2013 陕西,理 16)(本小题满分 12 分)已知向量 a= ? cosx, ? ? ,b=( 3 sin x,cos 2x),x∈R, 设函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在 ?0, ? 上的最大值和最小值. 2

? ?

1? 2?

? π? ? ?

17.(2013 陕西,理 17)(本小题满分 12 分)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

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18.(2013 陕西,理 18)(本小题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面 中心,A1O⊥平面 ABCD,AB=AA1= 2 . (1)证明:A1C⊥平面 BB1D1D; (2)求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小.

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19.(2013 陕西,理 19)(本小题满分 12 分)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由 现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号 歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏 爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望.

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20.(2013 陕西,理 20)(本小题满分 13 分)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分 线,证明直线 l 过定点.

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21.(2013 陕西,理 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=e ,x∈R. (1)若直线 y=kx+1 与 f(x)的反函数的图像相切,求实数 k 的值; 2 (2)设 x>0,讨论曲线 y=f(x)与曲线 y=mx (m>0)公共点的个数; (3)设 a<b,比较

x

f ? a ? ? f ?b ? f ?b ? ? f ? a ? 与 的大小,并说明理由. 2 b?a

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (陕西卷)
第一部分(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分). 1. 答案:D 解析:要使函数 f(x)= 1? x2 有意义,则 1-x ≥0,解得-1≤x≤1,则 M=[-1,1], 1)∪(1,+∞). 2. 答案:C
2 R

M=(-∞,-

解析:由算法语句可知 y ? ?

?0.5x, x ? 50, ?25 ? 0.6? x ? 50?, x ? 50,

所以当 x=60 时,y=25+0.6×(60-50)=25+6=31. 3. 答案:C 解析:若 a 与 b 中有一个为零向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件;若 a 与 b 都不为 零向量,设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 a·b=|a||b|cos θ ,由|a·b|=|a||b|得|cos θ |=1,则两向量的 夹角为 0 或 π ,所以 a∥b.若 a∥b,则 a 与 b 同向或反向,故两向量的夹角为 0 或 π ,则|cos θ |=1, 所以|a·b|=|a||b|,故“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件. 4. 答案:B 解析:840÷42=20,把 1,2,?,840 分成 42 段,不妨设第 1 段抽取的号码为 l,则第 k 段抽取的号码为

l + (k - 1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42. 令 481≤l + (k - 1)·20≤720 , 得 25 +
1≤l≤20,则 25≤k≤36.满足条件的 k 共有 12 个. 5. 答案:A 解析:S 矩形 ABCD=1×2=2,S 扇形 ADE=S 扇形 CBF=

1? l l ≤k≤37 - .由 20 20

π .由几何概型可知该地点无信号的概率为 4

π S矩形ABCD ? S扇形ADE ? S扇形CB F 2 ? 2 π ? ? 1? . P= S矩形ABCD 2 4
6. 答案:D 解析:对于选项 A,若|z1-z2|=0,则 z1=z2,故 z1 ? z2 ,正确;对于选项 B,若 z1 ? z2 ,则 z1 ? z2 ?z2 , 正确;对于选项 C,z1· z1 =|z1| ,z2· z 2=|z2| ,若|z1|=|z2|,则 z1 ? z1 ? z2 ? z2 ,正确;对于选项 D,
2 2

如令 z1=i+1,z2=1-i,满足|z1|=|z2|,而 z1 =2i,z2 =-2i,故不正确. 7. 答案:B 2 2 解析:∵bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A,∴sin(B+C)=sin A, 即 sin A=sin A.又 sin A>0,∴sin A=1,∴ A ?
2

2

2

π ,故△ABC 为直角三角形. 2

8. 答案:A 解析:当 x>0 时,f(x)= ? x <0,则

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f[f(x)]= ? ? x ?

? ?

1 ? ? 1 ? ? ?? x ? ? . x? ? x?
r

6

6

Tr ?1 ? C ( x )
r 6

6? r

6?r r ? ? 1 ? 3 r r r 3? r 2 2 得 r=3, 此时 T4=(-1) C3 ?? ? ? ( ? 1) C x ? x ? ( ? 1) r C6 x .令 3-r=0, 6 6 ? x? ?

=-20. 9. 答案:C 解析:设矩形另一边长为 y,如图所示.

x 40 ? y ? ,则 x=40-y,y=40- 40 40

x.由 xy≥300,即 x(40-x)≥300,解得 10≤x≤30,故选 C.
10. 答案:D 解析:对于选项 A,取 x=-1.1,则[-x]=[1.1]=1,而-[x]=-[-1.1]= -(-2)=2,故不正确;对于选项 B,令 x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,故不正确;对于选 项 C,令 x=-1.5,y=-2.5,则[x+y]=[-4]=-4,[x]=-2,[y]=-3,[x]+[y]=-5,故不正 确;对于选项 D,由题意可设 x=[x]+β 1,0≤β 1<1,y=[y]+β 2,0≤β 2<1,则 x-y=[x]-[y]+β 1 -β 2,由 0≤β 1<1,-1<-β 2≤0,可得-1<β 1-β 2<1.若 0≤β 1-β 2<1,则[x-y]=[[x]-[y] +β 1-β 2]=[x]-[y]; 若-1<β 1-β 2<0, 则 0<1+β 1-β 2<1, [x-y]=[[x]-[y]+β 1-β 2]=[[x] -[y]-1+1+β 1-β 2]=[x]-[y]-1<[x]-[y],故选项 D 正确. 第二部分(共 100 分)

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分).
11.答案:9 解析:由双曲线方程知 a=4.又 e ? 12. 答案:

c 5 ? ,解得 c=5,故 16+m=25,m=9. a 4

π 3

解析:由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥,底面半圆的半径 r=1,高

1 ? π?2 π 3 SO=2,则 V 几何体= ? . 2 3
13.答案:-4 解析: 由 y=|x-1|= ? 分所示. 令 2x-y=z, 则 y=2x-z, 画直线 l0: y=2x 并平移到过点 A(-1,2) 的直线 l,此时-z 最大,即 z 最小=2×(-1)-2=-4. 14. 答案:1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2

? x ? 1, x ? 1, 及 y=2 画出可行域如图阴影部 ?? x ? 1, x ? 1

n+1 2

n =(-1)n+1·
n+1 2

n? n ? 1? 2

解析:第 n 个等式的左边第 n 项应是(-1) 1+2+3+?+n=

n ,右边数的绝对值为

n? n ? 1? 2 2 2 2 n+1 2 n+1 n? n ? 1? ,故有 1 -2 +3 -4 +?+(-1) n =(-1) . 2 2

15.(2013 陕西,理 15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.答案:2
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解析: (am+bn)(bm+an)=abm +(a +b )mn+abn =ab(m +n )+2(a +b )≥2abmn+2(a +b )=4ab+2(a +b )=2(a +2ab+b )=2(a+b) =2(当且仅当 m=n= 2 时等号成立). B.
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

答案: 6 解析:∠C 与∠A 在同一个

O 中,所对的弧都是 BD ,则∠C=∠A.又 PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A

=∠PED.又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则 =3,∴PE =3×2=6,∴PE= 6 .
2

PE PD 2 ? ,∴PE =PA·PD.又 PD=2DA=2,∴PA=PD+DA PA PE
C.

答案: ?

? x ? cos ? ,
2

? y ? sin? cos?

(θ 为参数)

y 2 2 2 2 2 =tan θ (x≠0),y=xtan θ ,由 x +y -x=0 得,x +x tan θ -x=0,x= x 1 π 2 2 =cos θ ,则 y=xtan θ =cos θ tan θ =sin θ cos θ ,又 ? ? 时,x=0,y=0 也适合题 2 1 ? tan ? 2 2 ? x ? cos ? , 意,故参数方程为 ? (θ 为参数). ? y ? sin? cos?
解析:由三角函数定义知 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分). 16.

1? 2? 1 = 3 cos xsin x- cos 2x 2 1 3 = sin 2x- cos 2x 2 2 π π = cos sin 2x ? sin cos 2x 6 6 π? ? = sin ? 2 x ? ? . 6? ? 2π 2π ? ?π, (1)f(x)的最小正周期为 T ? ? 2
即函数 f(x)的最小正周期为 π . (2)∵0≤x≤

解:f(x)= ? cosx, ? ? ·( 3 sin x,cos 2x)

? ?

π , 2 π π 5π ∴ ? ? 2x ? ? .由正弦函数的性质, 6 6 6 π π π 当 2x ? ? ,即 x ? 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x ? ? ? ,即 x=0 时,f(0)= ? , 6 6 2 π 5 π ?π? 1 当 2x ? ? π ,即 x ? 时, f ? ? ? , 6 6 2 ?2? 2 1 ∴f(x)的最小值为 ? . 2
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因此,f(x)在 ?0, ? 上最大值是 1,最小值是 ? . 2 ? 2? 17. (1)解:设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+?+a1=na1; 2 n-1 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q +?+a1q ,① 2 n qSn=a1q+a1q +?+a1q ,② n ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1q ,

? π?

1

?na1 ,q ? 1, a1 ?1 ? q n ? ? ∴ Sn ? ,∴ S n ? ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ? 1 ? q ,q ? 1. ?
(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, 2 (ak+1+1) =(ak+1)(ak+2+1),

ak ?12 +2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, k k-1 k+1 ∵a1≠0,∴2q =q +q . 2 ∵q≠0,∴q -2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾, ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
18. (1)证法一:由题设易知 OA,OB,OA1 两两垂直,以 O 为原点建立直角坐标系,如图. ∵AB=AA1= 2 , ∴OA=OB=OA1=1, ∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1). 由 A1B1 = AB ,易得 B1(-1,1,1). ∵ AC 1 =(-1,0,-1), BD =(0,-2,0),

BB1 =(-1,0,1),
∴ AC 1 · BD =0, AC 1 · BB 1 =0, ∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1, ∴A1C⊥平面 BB1D1D. 证法二:∵A1O⊥平面 ABCD,∴A1O⊥BD. 又∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 A1OC,∴BD⊥A1C. 又∵OA1 是 AC 的中垂线,∴A1A=A1C= 2 ,且 AC=2,∴AC =AA1 +A1C ,∴△AA1C 是直角三角形,∴AA1 ⊥A1C. 又 BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面 BB1D1D. (2)解:设平面 OCB1 的法向量 n=(x,y,z),
2 2 2

∵ OC =(-1,0,0), OB1 =(-1,1,1), ∴?

? ?n ? OC ? ? x ? 0, ? ?n ? OB1 ? ? x ? y ? z ? 0,

∴?

? x ? 0, ? y ? ? z.

取 n=(0,1,-1), 由(1)知, AC 1 =(-1,0,-1)是平面 BB1D1D 的法向量, ∴cos θ =|cos〈n, AC 1 〉|= 又∵0≤θ ≤

1 1 ? . 2? 2 2

π π ,∴ ? ? . 2 3
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19. 解:(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”, 则 P(A)=

C1 C2 2 3 2 4 , P ( B ) = ? ? . 2 3 C3 3 C5 5

∵事件 A 与 B 相互独立, ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B )=P(A)·P( B )=P(A)·[1-P(B)]=
3 C1 4 ? 2 2 4 ? 2 ? C4 ? ? . ? 或P? AB ? ? 2 3 ? . ? C3 ? C5 15 ? 3 5 15 ?

(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”,则 P(C)= ∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为

C2 3 4 ? , 3 C5 5

1 2 2 4 ? , 3 5 5 75 P(X=1)= P(ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75
P(X=0)= P( ABC ) ? ? ? P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= ? ? P(X=3)=P(ABC)= ? ?
∴X 的分布列为

2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

2 3 3 18 ? , 3 5 5 75
X P
0 1 2 3

4 20 33 18 75 75 75 75 4 20 33 18 140 28 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ∴X 的数学期望 EX =0 ? . 75 75 75 75 75 15
20. (1)解:如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴ |O1M | ?
2

x 2 ? 42 ,又 |O1 A| ? ? x ? 4?2 ? y 2 , x 2 ? 42 ,

2 2 ∴ ? x ? 4? ? y ?

化简得 y =8x(x≠0). 2 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y =8x, 2 ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. (2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y =8x 中, 2 2 2 得 k x +(2bk-8)x+b =0, 其中 Δ =-32kb+64>0. 由求根公式得,x1+x2=
2

8 ? 2bk ,① k2

x1x2=

b2 ,② k2
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因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,

所以

y1 y ?? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 2 2 将①,②代入③得 2kb +(k+b)(8-2bk)+2k b=0, ∴k=-b,此时 Δ >0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1), 即直线 l 过定点(1,0). 21. 解:(1)f(x)的反函数为 g(x)=ln x. 设直线 y=kx+1 与 g(x)=ln x 的图像在 P(x0,y0)处相切, 则有 y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)= 解得 x0=e , k ?
2

1 , x0

1 . e2
2

ex (2)曲线 y=e 与 y=mx 的公共点个数等于曲线 y ? 2 与 y=m 的公共点个数. x x x e e ? x ? 2? 令 ? ? x ? ? 2 ,则 ? ?(x) ? , x3 x
x

∴φ ′(2)=0. 当 x∈(0,2)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(0,2)上单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(2,+∞)上单调递增, ∴φ (x)在(0,+∞)上的最小值为 ? (2) ? 当 0<m<

e2 . 4

e2 ex 时,曲线 y ? 2 与 y=m 无公共点; x 4 2 x e e 当m ? 时,曲线 y ? 2 与 y=m 恰有一个公共点; 4 x 2 e 1 2 当m ? 时,在区间(0,2)内存在 x1 ? ,使得 φ (x1)>m,在(2,+∞)内存在 x2=me ,使得 φ (x2) 4 m x e >m.由 φ (x)的单调性知,曲线 y ? 2 与 y=m 在(0,+∞)上恰有两个公共点. x
综上所述,当 x>0 时, 若 0<m< 若m ?

e2 2 ,曲线 y=f(x)与 y=mx 没有公共点; 4

e2 2 ,曲线 y=f(x)与 y=mx 有一个公共点; 4 e2 2 m ? 若 ,曲线 y=f(x)与 y=mx 有两个公共点. 4 f ? a ? ? f ?b ? f ?b ? ? f ? a ? ? (3)解法一:可以证明 . 2 b?a f ? a ? ? f ?b ? f ?b ? ? f ? a ? e a ? eb eb ? e a ? ? 事实上, ? ? 2 b?a 2 b?a
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b?a 2 b ? a eb ? e a b?a 2e a ? 1 ? b?a ? b a ? ? 1? b a ? (b>a).(*) 2 e ?1 2 e ?e 2 e ?e x 2 ? 1 (x≥0), 令? (x) ? ? x 2 e ?1 1 2e x ? e x ? 1?2 ? 4e x ? e x ? 1?2 则? ?(x) ? ? x ? ? ? 0 (仅当 x=0 时等号成立), 2 ? e ? 1?2 2? e x ? 1?2 2? e x ? 1?2
∴ψ (x)在[0,+∞)上单调递增, ∴x>0 时,ψ (x)>ψ (0)=0. 令 x=b-a,即得(*)式,结论得证.

f ? a ? ? f ? b ? f ? b ? ? f ? a ? eb ? e a eb ? e a ? ? ? 2 b?a 2 b?a b a b a b a be ? be ? ae ? ae ? 2e ? 2e = 2?b ? a ? a e b-a b-a = [(b-a)e +(b-a)-2e +2], 2?b ? a ?
解法二: 设函数 u(x)=xe +x-2e +2(x≥0), x x x 则 u′(x)=e +xe +1-2e , x x x x x 令 h(x)=u′(x),则 h′(x)=e +e +xe -2e =xe ≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴u′(x)单调递增, ∴当 x>0 时,u′(x)>u′(0)=0, ∴u(x)单调递增. 当 x>0 时,u(x)>u(0)=0. b-a b-a 令 x=b-a,则得(b-a)e +(b-a)-2e +2>0,
x x

eb ? e a eb ? e a ? >0 , 2 b?a f ? a ? ? f ?b ? f ?b ? ? f ? a ? ? 因此, . 2 b?a


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14

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西)卷
数学(理科)

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给也的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
2 1.已知集合 M ? ?x | x ? 0? , N ? x | x ? 1, x ? R ,则 M

?

?

N ?(



(A) ?0,1?

(B) ?0,1?

(C) ? 0,1?

(D) ? 0,1? ) (D) 4?

2.函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? (A) ? 2 3.定积分 (A) e ? 2
1

? ?

??

? 的最小正周期是( 6?
(C) 2? ) (C) e

(B) ?
x

? ? 2x ? e ?dx 的值为(
0

(B) e ? 1

(D) e ? 1 是( )

4.根据右边框图,对大于 2 的整数 N ,得出数列的通项公式 (A) an ? 2n (B) an ? 2 ? n ?1? (C)an ? 2n (D) an ? 2n?1

5.已知底面边长为 1,侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( (A) 32? 3 (B) 4? (C) 2? (D) 4? 3

)

6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的 概率为( ) (A) 1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 )

7.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( (A) f ? x ? ? x
1 2

(B) f ? x ? ? x

3

?1? (C) f ? x ? ? ? ? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3

x

8.原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数,则 | z1 |?| z2 | ” ,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断 依次如下,正确的是( ) (A)真,假,真 (B)假,假,真 9.设样本数据 x1 , x2 , (C)真,真,假 (D)假,假,假

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数,

i ? 1, 2,

,10 ) ,则 y1 , y2,

y10 的均值和方差分别为(
(C) 1, 4

) (D)1, 4+a

(A) 1+a, 4

(B) 1 ? a, 4 ? a

10.如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降,已知下降飞 行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )

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1 3 3 2 3 4 x ? x (B) y ? x ? x 125 5 125 5 3 3 3 3 1 x ? x (D) y ? ? x ? x (C) y ? 125 125 5 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共
(A) y ? 11.已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? __________。
a

25 分)

12.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 ?1,0 ? 关于直线 y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为

。 棱数 E 9 10 12

b ? ? cos ? ,1? , 多面体 13. 设0 ?? ?? 2, 向量 a ? ? sin 2? ,cos ? ? ,
若 a // b ,则 tan ? ? __________。

面数 F 5 6

顶点数 V 6 6

?

?

三棱锥 五棱锥

V, E 14. 观察分析右表中的数据, 猜想一般凸多面体中,F ,

6 8 立方体 所满足的等式是_______。 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) ⑴设 a, b, m, n ? R ,且 a ? b ? 5 , ma ? nb ? 5 ,则
2 2

m2 ? n2
别交

的最小值为_________。 ⑵如图, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直径的半圆分

AB, AC 于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF ? ______。
⑶在极坐标系中,点 ? 2, ____________。

? ?

??

?? ? ? 到直线 ? sin ? ? ? ? ? 1 6? 6? ?

的距离是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. (本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 。⑴若 a, b, c 成等差数列,证明:

sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ;⑵若 a, b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值。

17. (本小题满分 12 分)四面体 其三视图如图所示,过 AB 的中点 E

ABCD 及
作平行于

AD, BC 的平面分别交四面体的棱 BD, DC ,CA 于点 F , G, H 。⑴证明:四边形 EFGH 是矩形;⑵求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦
值。

B ? 2,3? , C ?3,2? , ? , 18. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A ?1,1? , 点 Pxy
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? 在 ?ABC
16

三边围成的区域(含边界)上。⑴若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 | OP | ;⑵设 OP ? mAB ? nAC ? m, n ? R ? , 用 x , y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值。

19. (本小题满分 12 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格 和这块地上的产量具有随机性, 且互 不影响, 其具体情况如右表。 ⑴设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的 作物产量( kg ) 概率 300 500 作物市场价格(元/ kg ) 概率 6 10

0.5

0.5

0.4

0.6

利润,求 X 的分布列;⑵若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率。

20. (本小题满分 13 分)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? 和部分抛物线 a 2 b2
中 C1 的离心

C2 : y ? ? x 2 ? 1? y ? 0 ? 连接而成,C1 , C2 的公共点为 A, B ,其
率为 3 2 。⑴求 a , b 的值;⑵过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 于点 A, B ) ,若 AP

P, Q (均异

? AQ ,求直线 l 的方程。

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ,

g n ?1 ? x ? ? g ? g n ? x ? ? ? n ? N ? ? , 其中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数。 ⑴ g1 ? x ? ? g ? x ? , g ? x ? ? xf ? ? x ?? x ? 0? ,
求 gn ? x ? 的表达式;⑵若 f ? x ? ? ag ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围;⑶设 n ? N ,比较
?

? g ?i ? 与
i ?1

n

n ? f ? n ? 的大小,并加以证明。

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2014 年普通高校招生全国统考数学试卷(陕西卷)解答
一.BBCCD CDBAA
2 11. 10 ;12. x ? ? y ? 1? ? 1 ;13. 1 2 ;14. F ? V ? E ? 2 ;15.⑴ 5 ,⑵3,⑶1 2

16.解:⑴因 a, b, c 成等差数列,故 a ? c ? 2b 。由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B ,又

sin B ? sin ? A ? C ? ,故 sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ? ;
a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ,当且仅当 a ? c ⑵因 a, b, c 成等比,故 ac ? b 。由余弦定理得 cos B ? 2ac 2ac 2
2

时取等号。所以 cos B 的最小值为 1 2 。 17.解:⑴由三视图知 BD ? DC , BD ? AD , AD ? DC , BD ? DC ? 2 , AD ? 1 。由题 BC // 面 EFGH ,面 EFGH 面 BDC ? FG ,面 EFGH 面 ABC ? EH ,故 BC // FG , BC // EH ,因此

FG // EH 。 同理 EF // AD ,HG // AD , 故 EF // HG 。 所以四边形 EFGH 是平行四边形。 又 AD ? DC , BD ? AD ,故 AD ? 面 BDC 。所以 AD ? BC ,因此 EF ? FG ,从而四边形 EFGH 是矩形;
⑵以 D 为原点,分别以 DB, DC, DA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 A ? 0,0,1? , B ? 2,0,0? ,

C ? 0,2,0? , DA ? ? 0,0,1? , BC ? ? ?2, 2,0 ? , BA ? ? ?2,0,1? 。设平面 EFGH 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,
因 EF // AD , BC // FG ,故 ?

? ?n ? DA ? 0 ? ?n ? BC ? 0

即?

?z ? 0 。取 n ? ?1,1, 0 ? ,故 ??2 x ? 2 y ? 0

sin ? ?| cos n, BA |?|

n ? BA 2 10 。 |? ? 5 | n || BA | 5? 2
3 x? 0 ?6 ? ?x ? 2 , 解得 ? , 因此 OP ? ? 2, 2 ? , 3 y? 0 ?6 ? ?y ? 2
y 3 2 1 O B C A 1 -1 2 3 x


18. 解: ⑴由题 0 ? PA ? PB ? PC ? ? 6 ? 3x,6 ? 3 y ? , 故? 从而 | OP |? 2 2 ; ⑵因 OP ? mAB ? nAC , 故 ? x, y ? ? ? m ? 2n,2m ? n ? ,

? x ? m ? 2n ,两式相减得 m ? n ? y ? x 。令 y ? x ? t ,由 ? ? y ? 2m ? n
线 y ? x ? t 过点 B ? 2,3? 时, t 取得最大值 1,从而 m ? n 的

图知,当直

最大值为 1。

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X

4000

2000

800

19.解:⑴设事件 A 表示事件“作物产量为 300 kg ” , B 表示事件“作物

P

0.3

0.5

0.2

市场价格为 6 元/ kg ” ,由题知 P ? A? ? 0.5 , P ? B? ? 0.4 。因为“利润=产量×市场价格-成本” ,所以 X 所有可能的取值为 4000, 2000,800 。因为 P ? X ? 4000 ? ? P A P B ? 0.5 ? 0.6 ? 0.3 ,

? ? ? ?

P ? X ? 2000 ? ? P A P ? B ? ? P ? A? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ,

? ?

? ?

P ? X ? 4000? ? P ? A? P ? B ? ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 。所以 X 的分布列如右表所示;
⑵设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” ( i ?3 2 , 1 ) ,由题知 C1 , C2 , C3 相互独立,由⑴知

P ?Ci ? ? P ? X ? 4000? ? P ? X ? 2000? ? 0.8?i ? 1,2,3? 。3 季利润不少于 2000 元的概率为 P ?C1C2C3 ? ? P ?C1 ? P ?C2 ? P ?C3 ? ? 0.83 ? 0.512 ,3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为
P C1C2C3 ? P C1 C2C3 ? P C1C2 C3 ? 3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384 。 所以 3 季中至少有 2 季利润不少于 2000
元的概率为 0.512 ? 0.384 ? 0.896 。 20.解:⑴在 C1 , C2 方程中令 y ? 0 得 b ? 1 ,且 A ? ?1,0 ? , B ?1,0 ? 是 C1 的左右顶点。设 C1 的半焦距
2 2 2 为 c ,由 c a ? 3 2 及 a ? c ? b ? 1 可得 a ? 2 。故 a ? 2 , b ? 1 ;

?

? ?

? ?

?

⑵由⑴知上半椭圆 C1 :

y2 ? x 2 ? 1? y ? 0 ? ,易知直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 4

。设 P ? x1 , y1 ? ,因直 y ? k ? x ?1?? k ? 0? ,代入 C1 的方程并整理得 ? k 2 ? 4 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 (*) 线 l 过点 B ,故 x ? 1 是方程(*)的一个根,由韦达定理 x1 ?

?8k k2 ? 4 ,从而 y1 ? 2 ,知 2 k ?4 k ?4

? y ? k ? x ? 1? ? k 2 ? 4 ?8k ? 2k ? 2 得 Q ? ? k ? 1, ? k ? 2k ? ,则 AP ? 2 P? 2 , 2 ? k , ?4 ? , ? 。同理由 ? 2 k ? 4 y ? ? x ? 1 ? ?k ?4 k ?4? ?

AQ ? ?k ?1, k ? 2 ? 。因 AP ? AQ ,故 AP ? AQ ? 0 ,即
验知符合题意) 。故 l : y ? ?

8 ?2k 2 k ? 4 ? k ? 2 ?? ? 0 ,解得 k ? ? (经检 ? 2 ? ? 3 k ?4

8 ? x ? 1? 。 3

21. 解: ⑴由题 g1 ? x ? ? g ? x ? ?

g1 ? x ? x x x ,g2 ? x ? ? g ? g1 ? x ? ? ? ,g 3 ? x ? ? , ?, ? 1? x 1 ? 3x 1 ? g1 ? x ? 1 ? 2 x

gn ? x ? ?

x 。下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1 时结论显然成立;②假设 n ? k 时结论成立,即 1 ? nx

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gk ? x ? ? gn ? x ? ?

gk ? x ? x x ,则当 n ? k ? 1 时 gk ?1 ? x ? ? g ? gk ? x ? ? ? ,结论成立。综上知 ? 1 ? kx 1 ? gk ? x ? 1 ? ? k ? 1? x
x ; 1 ? nx ax ax 恒成立,设 h ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ? x ? 0 ? ,则 1? x 1? x

⑵由 f ? x ? ? ag ? x ? 即 ln ?1 ? x ? ?

h? ? x ? ?

1 a x ?1? a 。①当 a ? 1 时, h? ? x ? ? 0 (仅当 x ? 0, a ? 1时取等号) 。故 h ? x ? 在 ? ? 2 2 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?
ax

?0, ??? 上单增,因此 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 即 ln ?1 ? x ? ? 1 ? x 恒成立;②当 a ? 1 时,对 x ? ? 0, a ?1? 有
h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ? 0, a ?1? 上单减, h ? a ?1? ? h ? 0? ? 0 。即存在 x ? 0 使 h ? x ? ? 0 ,故
ax 不恒成立。综上知 a ? ? ??,1? ; 1? x n n 1 2 n ⑶由题 ? g ? i ? ? ? ? ? , n ? f ? n? ? n ? ln ? n ?1? ,比较结果为 ? g ? i ? ? n ? f ? n ? 。 2 3 n ?1 i ?1 i ?1 n n x 1 证明如下:? g ? i ? ? n ? f ? n ? 等价于 ? ? ln ? n ? 1? ,在⑵中取 a ? 1 可得 ln ?1 ? x ? ? ? x ? 0? , 1? x i ?1 i ?1 i ? 1 n n 1 1 n ?1 1 i ?1 n ? ? ln 令 x ? ?n ? N ? 得 。因此 ? ? ? ln ? ?? ?ln ? i ? 1? ? ln i ? ? ? ln ? n ? 1? ,得证。 n n ?1 n i i ?1 i ? 1 i ?1 i ?1 ln ?1 ? x ? ?

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