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全国通用2018高考数学大一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理


第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题

最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一 次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意 义,能用平面区域表示二元一次不 等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些简 单的二元线性规划问题,并能加以 解决.

知识链条完善

考点专项突破

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.目标函数z=ax+by(ab≠0)中z有什么几何意义?其最值与b有何关系? a z z a z 提示:目标函数 z=ax+by 可转化为 y=- x+ ,其中 是直线 y=- x+ 的 b b b b b
截距.当 b>0 时,截距
z z 取最大值时,z 也取得最大值,截距 取最小值时,z b b z z 取最大值时,z 取最小值,截距 取最小值 b b

也取最小值;当 b<0 时,截距 时,z 取最大值.

2.最优解一定唯一吗? 提示:不一定.当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平 行时,最优解可能有多个甚至无数个.

知识梳理
1.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的 有序数对(x,y) ,叫做二 元一次不等式(组)的解,所有这样的 有序数对(x,y) 构成的集合称为二 元一次不等式(组)的解集. 2.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域 表示区域 Ax+By+C>0 不等式 Ax+By+C≥0 直线Ax+By+C=0某一侧 的所有点组成的平面区 域(半平面) 不包括 边界 . 包括 边界 .

不等式组

各个不等式所表示平面区域的 公共部分 .

(2)平面区域的确定 对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所

得的符号都 相同 ,所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作
为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C =0哪一侧的平面区域.

3.线性规划的有关概念 名称 意义 由变量x,y组成的 不等式(组) . 由x,y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式组

约束条件
线性约束条件

目标函数
线性目标函数

可行解
可行域 最优解 线性规划问题

欲求 最大值 或 最小值 的函数 关于x,y的 一次 解析式 满足 线性约束条件 的解(x,y)
所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或 最小值问题

对点自测
1.下列命题中正确的是( D ) (A)点(0,1)在区域x-y+1>0内 (B)点(0,0)在区域x+y+1<0内 (C)点(1,0)在区域y≥2x内 (D)点(0,0)在区域x+y≥0内 解析:将(0,0)代入x+y≥0,成立.故选D.

1 ? x ? y ? 3, 2.在平面直角坐标系xOy中,不等式组 ? 表示图形的面积等于 ? ??1 ? x ? y ? 1 ( B )

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

解析: 不等式组对应的平面区域如图, 即对应的区域为正方形 ABCD, 其中 A(0,1),D(1,0),边长 AD= 2 , 则正方形的面积 S= 2 × 2 =2.

? x ? y ? 5 ? 0, y ?1 ? 3.(2016·广西二市联考)已知 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 z= 的最 x?3 ? x ? 3, ?

大值为( (A)2

B )

(B)3

(C)-

2 3

(D)-

5 3

解析:作出可行域如图,问题转化为区域上哪一些与点 M(-3,1)连线斜
5 ?1 ? 5 5? 率最大,观察知点 A ? ? , ? ,使 kMA 最大,zmax=kMA= 2 =3. 5 ? 2 2? ? ?3 2

4.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是

.

解析:(-2,t)在 2x-3y+6=0 的上方, 则 2×(-2)-3t+6<0,
2 解得 t> . 3

2? ? 答案: ?t | t ? ? 3? ?

考点专项突破
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

在讲练中理解知识

? x ? 0, ? 【例 1】 (2016·山东滨州一模)记不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区 ?3x ? y ? 4 ?

域为 D,若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是

.

解析: 作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为直线 y=a(x+1)恒过定点 C(-1,0),由图并结合题意易知 kBC= 直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点,则
?1 ? 答案: ? , 4? ?2 ?
1 ≤a≤4. 2 1 ,kAC=4,所以要使 2

反思归纳 (1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直
线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满 足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那

部分区域;否则就对应于特殊点异侧的平面区域.
(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特 殊点常取原点.

? x ? y ? 2 ? 0, 【即时训练】 (2016· 淄博一模)不等式组 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 表示的平面区 ?x ? 3y ? 2 ? 0 域的面积为 . ?

解析:不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,

易求得|BD|=2,C点坐标(8,-2), 1 所以S△ABC=S△ABD+S△BCD= ×2×(2+2)=4. 2 答案:4

考点二 目标函数的最值问题(高频考点) 考查角度1:求线性目标函数的最值
?2 x ? y ? 4, ? 【例2】 (2016· 四川雅安模拟)设x,y满足 ? x ? y ? 1, 则z=x+y( ? x ? 2 y ? 2, ? (A)有最小值2,最大值3

)

(B)有最小值2,无最大值 (C)有最大值3,无最小值 (D)既无最小值,也无最大值 解析:画出不等式组表示的可行域,如图,由z=x+y,得y=-x+z, 令 z=0, 画出 y=-x 的图象 , 当它的平行线经过 A(2,0) 时 ,z 取得 最小值为zmin=2+0=2,由于可行域是向右上方无限延伸的非封 闭区域 ,y=-x+z 向右上方移动时 ,z=x+y 也趋于无穷大 , 所以

z=x+y无最大值,故选B.

考查角度2:求非线性目标函数的最值 【例3】 已知
?2 x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ?3x ? y ? 3 ? 0. ?

当x,y取何值时,x2+y2取得最大值、最小值?最

大值、最小值各是多少?

解:如图,作出可行域(图中的阴影部分),可行域是封闭的△ABC(包括边

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 界),由 ? 得顶点 A(2,3),同理可得 B(0,2),C(1,0),因为 ?3x ? y ? 3 ? 0,
x2+y2 是可行域内一点 P(x,y)到原点的距离的平方,所以,当 P(x,y)和 A(2,3)重合时,(x2+y2)max=22+32=13,显然,原点到直线 BC:2x+y-2=0 的距 离 d 最小,

这里 d=

| 2?0 ? 0 ? 2 | 22 ? 12

4 2 2 2 2 = ,(x +y )min=d = , 5 5

此时点 P 的坐标满足
? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 4 ? ? 2 2 x ?y ? ? 5 ?

4 ? x? , ? ? ?4 2? 5 即点 P 的坐标为 , ?. ? ? ?5 5? ?y ? 2 ? 5 ?
2 2

4 2 综上可知,当 x=2,y=3 时,x +y 取得最大值,最大值是 13;当 x= ,y= 5 5

时,x +y 取得最小值,最小值是

2

2

4 . 5

反思归纳

求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义

求解.常见非线性目标函数类型及其几何意义.

(1) x 2 ? y 2 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离, ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 表示 点(x,y)与点(a,b)的距离.
(2)
y y ?b 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率, 表示点(x,y)与点 x x?a

(a,b)连线的斜率.

(3)

| Ax ? By ? C | A ?B
2 2

表示点(x,y)到直线 Ax+By+C=0 的距离.

考查角度3:由目标函数的最值求参数

? x ? y ? 2 ? 0, ? 【例 4】 导学号 18702283 (1)x,y 满足约束条件 ?2 y ? x ? 2 ? 0, 若 z=y-2ax ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?

取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为(
1 (A)1 或2 1 (B) 或-1 2
(D)2或-1

)

(C)2 或 1

解析:(1)作出不等式组所对应的平面区域如图,由 z=y-2ax 得 y=2ax+z, 当直线 y=2ax+z 的纵截距最大时,z 最大. 若 a=0,则 y=z,此时目标函数只在 A 处取得最大值,不满足题意; 若 a>0,则 y=2ax+z 的斜率 k=2a>0,要使 z=y-2ax 取得最大值的最优解 不唯一,则直线 y=2ax+z 与直线 2x-y+2=0 平行,此时 2a=2,即 a=1; 若 a<0,则 y=2ax+z 的斜率 k=2a<0,要使 z=y-2ax 取得最大值的最优解 不唯一, 则直线 y=2ax+z 与直线 x+y-2=0 平行,此时 2a=-1,解得 a=综上,a=1 或 a=1 . 2 1 ,故选 A. 2

? x ? y ? 1 ? 0, (2)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? ? x ? 1 ? 0, 面区域的面积等于2,则a的值为( )? ?ax ? y ? 1 ? 0

(a为常数)所表示的平

(A)-5

(B)1

(C)2

(D)3

解析:(2)如图可得阴影部分即为满足x-1≤0与x+y-1≥0的可行域,而直

线ax-y+1=0恒过点(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,若不等式组所表
示的平面区域内的面积等于2,则它是三角形,设该三角形为△ABC,因为 A(0,1)和B(1,0),且S△ABC=2,设C(1,y),则 1 ×1×y=2?y=4,将点C(1,4) 代入ax-y+1=0得a=3.故选D.
2

反思归纳

此类问题综合性较强,注意到形如y=kx+b(b为常数),ax-

y+1=0等都是含参数且恒过定点的直线,因此我们常采用数形结合求解.注 意把握两点:①参数的几何意义;②条件的合理转化.

考点三

线性规划的实际应用

【例5】 (2016· 天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C

三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料
的吨数如下表所示:
原料 A 4 5 B 8 5 C 3 10

肥料
甲 乙

现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、 乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙 种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的 车皮数. (1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

?4 x ? 5 y ? 200, ?8 x ? 5 y ? 360, ? ? 解:(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为 ?3x ? 10 y ? 300, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分.

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求 出此最大利润.
解:(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y. 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=行直线,
2 z 2 x+ ,它的图象是斜率为- ,随 z 变化的一族平 3 3 3

z z 为直线在 y 轴上的截距,当 取最大值时,z 的值最大. 3 3

又因为 x,y 满足约束条件,所以由图(2)可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的点 M 时,截距
z 最大,即 z 最大. 3

?4x ? 5 y ? 200, 解方程组 ? ?3x ? 10 y ? 300,
得点 M 的坐标为(20,24), 所以 zmax=2×20+3×24=112. 答:生产甲种肥料 20 车皮、 乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元.

反思归纳

解线性规划应用问题的一般步骤

(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行 域并利用数形结合求解;(4)作答.而求线性规划的最值问题,首先明确可行

域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目
标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等,最后结合图形确定目标函数在何处取得最值.

【即时训练】 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入 资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么 黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 , .

解析:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数 为 z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.线性约束条件为
? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? 4 x ? 3 y ? 180, ? ? 即? ? ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0, ? y ? 0.

画出可行域如图所示. 作出直线 l0:x+0.9y=0,向上平移至过点 B(30,20)时,zmax=30+0.9×20=48.

答案:30 20

备选例题
? x ? 2 y ? 5 ? 0, 【例1】 设实数x,y满足不等式组 ? ?2 x ? y ? 7 ? 0, 若x,y为整数,则3x+4y ? x ? 0, y ? 0, ? 的最小值为( )

(A)14

(B)16

(C)17

(D)19
3 z x+ ,过 x 轴上的整点(1,0), 4 4 3 z x+ 过(4,1)时有 4 4

解析:画出可行域如图,令 3x+4y=z,y=-

(2,0),(3,0),(4,0),(5,0)处作格子线,可知当 y=-

最小值(对可疑点(3,2),(2,4),(4,1)逐个试验),此时 zmin=3×4+4=16.故 选 B.

? ? x ? 0, ? x ? 2y ? 3 3 【例 2】 设 x,y 满足约束条件 ? y ? 0, 若 z= 的最小值为 , x ?1 2 ? x y ? ? ? 1, ? 3a 4 a

则 a 的值为
解析:因为 所以

.

x ? 2y ? 3 2( y ? 1) 3 =1+ 的最小值为 , x ?1 x ?1 2

y ?1 1 y ?1 的最小值为 ,而 表示点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知 a> x ?1 x ?1 4

0,作出可行域,如图中阴影部分,
0 ? (?1) 1 1 ? y ?1? = = = ,所以 a=1. min ? ? 3 a ? 1 4 3 a ? ( ? 1) x ? 1 ? ?

答案:1

【例3】 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天 能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B

类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为
300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最 少为 元.

解析:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,该公司所需租赁 费为z元,则z=200x+300y,甲、乙两种设备每天生产A,B两类产品的情况 如表所示: 产品 设备 甲设备 A类产品(件) (≥50) 5 B类产品(件) (≥140) 10 租赁费(元) 200

乙设备

6

20

300

6 ? x ? y ? 10, ?5 x ? 6 y ? 50, ? 5 ?10 x ? 20 y ? 140, ? ? ? 则 x,y 满足的关系为 ? 即 ? x ? 2 y ? 14, ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0, ? ? y ? 0.

作出不等式组表示的平面区域(图略),当 z=200x+300y 对应的直线过两直线
6 ? x ? y ? 10, ? 的交点(4,5)时,目标函数 z=200x+300y 取得最小值为 2 300 元. 5 ? ? ? x ? 2 y ? 14

答案:2 300


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