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2013年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二


2013 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二 1. (12 分)已知常数 a > 0, n 为正整数,f n ( x ) = x – ( x + a) ( x > 0 )是关于 x 的函数. (1) 判定函数 f n ( x )的单调性,并证明你的结论. (2) 对任意 n ? a , 证明 f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx
n – 1 n n

– n ( x + a)

n – 1

= n [x

n – 1

– ( x + a)

n – 1

] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在(0,+∞)单调递减. 4 分 (2)由上知:当 x > a>0 时, fn ( x ) = x – ( x + a) 是关于 x 的减函数, ∴ 当 n ? a 时, 有:(n + 1 ) – ( n + 1 + a) ? n
n n n n n

– ( n + a) .

n

2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x –( x+ a ) ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 ) –( n + 1 + a ) ] < ( n + 1 )[ n – ( n + a) ] = ( n + 1 )[ n – ( n + a )( n + a) ( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n + a)
n – 1 n – 1 n n n – 1 n n n

n

n

]
n – 1

2分 ] = ( n + 1 )[n
n

– ( n + a)

– n( n

],

2分

∵( n + a ) > n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分

2. (12 分)已知:y = f (x) 定义域为[–1,1] ,且满足:f (–1) = f (1) = 0 ,对任 意 u ,v?[–1,1] ,都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数 p ( x ) = x – 1 是否满足题设条件?
?1 ? x , x ? [ ? 1, 0] (2) 判断函数 g(x)= ? ,是否满足题设条件? ? 1 ? x , x ? [0,1]
2

解: (1) 若 u ,v ? [–1,1], |p(u) – p (v)| = | u – v |=| (u + v )(u – v) |,
2 2

取u = 则

3 4

?[–1,1],v =

1 2

?[–1,1],
5 4

|p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =

| u – v | > | u – v |,

所以 p( x)不满足题设条件. (2)分三种情况讨论: 1 . 若 u ,v ? [–1,0],则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |,满足题
0

设条件; 2 . 若 u ,v ? [0,1], 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|,满足
0

题设条件; 3 . 若 u?[–1,0],v?[0,1],则: |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|,满足题设条件; 4 若 u?[0,1],v?[–1,0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得 g(x)满足条件. 3. (14 分)已知点 P ( t , y )在函数 f ( x ) = + 4c = 0 ( c ? 0 ).
2 0 0

x x ?1

(x ? –1)的图象上,且有 t – c at
2 2

(1) 求证:| ac | ? 4; (2) 求证:在(–1,+∞)上 f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证:(1) ∵ t?R, t ? –1, ∴ ⊿ = (–c a) – 16c = c a – 16c ? 0 ,
2 2 2 4 2 2

∵ c ? 0, ∴c a ? 16 , ∴| ac | ? 4.
2 2

(2) 由 f ( x ) = 1 –

1 x ?1

,
1 x2 ?1 1 x1 ? 1
x1 ? x 2 ( x 2 ? 1)( x 1 ? 1)

法 1. 设–1 < x1 < x2, 则 f (x2) – f ( x1) = 1–

–1 +

=

.

∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 , ∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即 f (x2) < f ( x1) , 法 2. 由 f ` ( x ) =
1 ( x ? 1)
2

∴x ? 0 时,f ( x )单调递增.

> 0 得 x ? –1,

∴x > –1 时,f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)∵f ( x )在 x > –1 时单调递增,| c | ?
4
4 |a |

> 0 ,

∴f (| c | ) ? f (

4 |a |

) =

|a | 4 |a | ?1
|a |

=

4 | a | ?4 4 | a | ?4 |a | | a | ?4 4 | a | ?4

f ( | a | ) + f ( | c | ) =

| a | ?1

+

>

+

=1.

即 f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

4. (15 分)设定义在 R 上的函数 f ( x ) ? a 0 x 4 ? a 1x 3 ? a 2x 2 ? a 3x ? a 4(其中 a i ∈R, i=0,1,2,3,4) ,当 x= -1 时,f (x)取得极大值 (1) 求 f (x)的表达式; (2) 试在函数 f (x)的图象上求两点,使这两点为切点的切线互相垂直,且切点的 横坐标都在区间 ? ? 2 , 2 ? 上; ? ? (3) 若 x n ? 解: (1) f ( x ) ?
1 3 2 3

,并且函数 y=f (x+1)的图象关于点(-1,0)对称.

2 ?1
n

2
3

n

, yn ?

2 (1 ? 3 )
n

3

n

( n ? N + ) ,求证: f ( x n ) ? f ( y n ) ?

4 3

.

x ? x . …………………………5 分

? ? 2? 2? (2) ? 0, 0 ? , ? 2 , ? ? 或 ? 0, 0 ? , ? ? 2 , ? . …………10 分 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?

(3)用导数求最值,可证得 f ( x n ) ? f ( y n ) ? f ( ? 1) ? f (1) ?
x
2

4 3

. ……15 分

5. (13 分)设 M 是椭圆 C :

12

?

y

2

4

? 1 上的一点,P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴

的对称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 的轨迹方程. 解:设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 )( x1 y1 ? 0), E ( x , y ), 则 P ( ? x1 , y1 ), Q ( ? x1 , ? y1 ), T ( x1 , ? y1 ), ……1 分

? x12 y12 ? ? 1, ???? (1) ? ? 12 4 ………………………………………………………3 分 ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1.???? (2) ? 12 ? 4
1 由(1)-(2)可得 k M N ? k QN ? ? . ………………………………6 分 3

又 MN⊥MQ, k M N ? k M Q ? ? 1, k M N ? ?

x1 y1

, 所以 k QN ?

y1 3 x1

.

直线 QN 的方程为 y ?

y1 3 x1

( x ? x1 ) ? y1 , 又直线 PT 的方程为 y ? ?

x1 y1

x . ……10 分

从而得 x ?

1 2

x1 , y ? ?

1 2

y1 . 所以 x1 ? 2 x , y1 ? ? 2 y .

代入(1)可得

x

2

3
2

? y ? 1( xy ? 0), 此即为所求的轨迹方程.………………13 分
2

PA 6. 12 分) ( 过抛物线 x ? 4 y 上不同两点 A、 分别作抛物线的切线相交于 P 点, ? PB ? 0 . B

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)已知点 F(0,1) ,是否存在实数 ? 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 ?若存在,求出 ?
2

的值,若不存在,请说明理由. 解法(一)(1)设 A ( x1 , :
' 由 x ? 4 y , 得: y ?

x1 4

2

), B ( x 2 ,

x2 4

2

), ( x1 ? x 2 )

2

x 2

? k PA ?

x1 2

, k PB ?

x2 2

? PA ? PB ? 0 ,? PA ? PB ,? x1 x 2 ? ? 4 ………………………………3 分

直线 PA 的方程是: y ?

x1 4

2

?

x1 2

( x ? x1 ) 即 y ?
2

x1 x 2

?

x1 4

2



同理,直线 PB 的方程是: y ?

x2 x 2

?

x2 4



x1 ? x 2 ? ? x? 2 由①②得: ? ( x1 , x 2 ? R ) x1 x 2 ?y ? ? ? 1, 4 ?
∴点 P 的轨迹方程是 y ? ? 1( x ? R ). ……………………………………6 分
x1 4
2

(2)由(1)得: FA ? ( x1 ,
x1 ? x 2 2

? 1), FB ? ( x 2 ,

x2 4

2

? 1), P (

x1 ? x 2 2

, ? 1)

FP ? (

, ? 2 ), x1 x 2 ? ? 4
2 2

FA ? FB ? x1 x 2 ? ( ( x1 ? x 2 ) 4

x1 4
2

? 1)(

x2 4
2

? 1) ? ? 2 ?

x1 ? x 2
2

2

…………………………10 分

4

( FP ) ?
2

?4?

x1 ? x 2 4

2

?2

所以 FA ? FB ? ( FP ) ? 0
2

故存在 ? =1 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 …………………………………………12 分
2

解法(二)(1)∵直线 PA、PB 与抛物线相切,且 PA ? PB ? 0 , : ∴直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0,且 PA ? PB , 设 PA 的直线方程是 y ? kx ? m ( k , m ? R , k ? 0 )
? y ? kx ? m 由? 2 得: x 2 ? 4 kx ? 4 m ? 0 ? x ? 4y
? ? ? 16 k ? 16 m ? 0 即 m ? ? k …………………………3 分
2 2

即直线 PA 的方程是: y ? kx ? k

2

同理可得直线 PB 的方程是: y ? ?

1 k

x?

1 k
2

1 ? y ? kx ? k 2 ? ? ?x ? k ? ? R 由? 1 1 得: ? k y ?? x? 2 ? ? y ? ?1 ? k k ?

故点 P 的轨迹方程是 y ? ? 1( x ? R ). ……………………………………6 分 (2)由(1)得: A ( 2 k , k ), B ( ?
2

2

k k ? 1)

,

1
2

), P ( k ?

1 k

, ? 1)

FA ? ( 2 k , k ? 1), FB ? ( ?
2

2

k k2

,

1

FP ? ( k ?

1 k

,? 2 )
2

FA ? FB ? ? 4 ? ( k ? 1)( ( FP ) ? (
2

1 k
2

? 1) ? ? 2 ? ( k ?
2 2

1 k
2

) ………………………………10 分

1 k

? k ) ? 4 ? 2 ? (k ?
2

1 k
2
2

)

故存在 ? =1 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 …………………………………………12 分 7. (14 分)设函数 f ( x ) ?
1? x ax ? ln x 在 [1, ?? ) 上是增函数.

(1) 求正实数 a 的取值范围; (2) 设 b ? 0 , a ? 1 ,求证: 解: (1) f ( x ) ?
'

1 a?b

? ln

a?b b

?

a?b b

.

ax ? 1 ax
2

? 0 对 x ? [1, ?? ) 恒成立,

?a ?

1 x

对 x ? [1, ?? ) 恒成立



1 x

?1

? a ? 1 为所求.…………………………4 分
a?b b

(2)取 x ?

,? a ? 1, b ? 0 ,?
1? x ax

a?b b

?1,

一方面,由(1)知 f ( x ) ?

? ln x 在 [1, ?? ) 上是增函数,

? f(

a?b b a?b b

1?
) ? f (1) ? 0 ?

a?b

b ? ln a ? b ? 0 a?b b a? b

即 ln

?

1 a?b

……………………………………8 分

另一方面,设函数 G ( x ) ? x ? ln x ( x ? 1)
G ( x) ? 1 ?
'

1 x

?

x ?1 x

? 0 (? x ? 1)

∴ G ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数且在 x ? x 0 处连续,又 G (1) ? 1 ? 0 ∴当 x ? 1 时, G ( x ) ? G (1) ? 0 ∴ x ? ln x 综上所述,
1 a?b


? ln

a?b b a?b b

? ln ?

a?b

b a?b b

. ………………………………………………14 分

8.(12 分)如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形 ABC ,
? C ? 90 ,B 、C 在 x 轴上且关于原点 O 对称, D 在边 BC 上,
?

y A

BD ? 3 DC , ! ABC 的周长为 12.若一双曲线 E 以 B 、 C 为焦

点,且经过 A 、 D 两点. (1) 求双曲线 E 的方程; (2) 若一过点 P ( m , 0)( m 为非零常数) 的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两点 M 、 N ,且
??? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? M P? ? P N ,问在 x 轴上是否存在定点 G ,使 BC ? (GM ? ? GN ) ?若存在,求出
B O D C x

所有这样定点 G 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1) 设双曲线 E 的方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0) ,

y A

则 B ( ? c , 0), D ( a , 0), C ( c , 0) . 由 BD ? 3 DC ,得 c ? a ? 3( c ? a ) ,即 c ? 2 a .
B O D C

x

? | AB |2 ? | AC |2 ? 16 a 2 , ? ∴ ?| AB | ? | AC |? 12 ? 4 a , ? | AB | ? | AC |? 2 a . ?

(3 分)

解之得 a ? 1 ,∴ c ? 2, b ? 3 . ∴双曲线 E 的方程为 x 2 ?
y
2

?1.
??? ?

(5 分)
???? ? ????

3

(2) 设在 x 轴上存在定点 G ( t , 0) ,使 BC ? (GM ? ? GN ) . 设直线 l 的方程为 x ? m ? ky ,M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) . 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y 2 ? 0 . 即? ? ?
??? ?
y1 y2
N M
B y

????

????

G
O



(6 分)

C

P

x

∵ BC ? (4, 0) ,
???? ? ???? GM ? ? GN ? ( x1 ? t ? ? x 2 ? ? t , y1 ? ? y 2 ) ,

∴ BC ? (GM ? ? GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) . 即 ky1 ? m ? t ? ? ( ky 2 ? m ? t ) . ② 把①代入②,得
2 ky1 y 2 ? ( m ? t )( y1 ? y 2 ) ? 0

??? ?

???? ?

????

(8 分)



(9 分)

把 x ? m ? ky 代入 x 2 ?
2 2

y

2

? 1 并整理得
2

3

(3 k ? 1) y ? 6 kmy ? 3( m ? 1) ? 0

其中 3k 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ?
y1 ? y 2 ? ? 6 km 3k ? 1
2 2 2 2

1 3

且 3k 2 ? m 2 ? 1 . .
?0,

, y1 y 2 ? ?

3( m ? 1) 3k ? 1
2

(10 分)

代入③,得

6 k ( m ? 1) 3k ? 1

6 km ( m ? t ) 3k ? 1
2

化简得 kmt ? k .当 t ?

1 m

时,上式恒成立.
1 m

因此,在 x 轴上存在定点 G (

??? ? ???? ? ???? , 0) ,使 BC ? ( GM ? ? GN ) .

(12 分)

9 . (14 分 ) 已 知 数 列 ? a n ? 各 项 均 不 为 0 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 对 任 意 n ? N * 都 有

,记 f ( n ) ? (1 ? p ) S n ? p ? pa n ( p 为大于 1 的常数)

1 ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n
1 2 n

2 Sn

n



(1) 求 a n ; (2) 试比较 f ( n ? 1) 与
p ?1 2p f ( n ) 的大小( n ? N ) ;
*

(3) 求证: (2 n ? 1) f ( n ) 剟 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 n ? 1)

? p ?1? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1? ? 2p ? ?

2 n ?1

? * ( . ? , n?N ) ? ?

解:(1) ∵ (1 ? p ) S n ? p ? pa n , ∴ (1 ? p ) S n ?1 ? p ? pa n ?1 . ②-①,得
(1 ? p ) a n ?1 ? ? pa n ?1 ? pa n ,

① ②

即 a n ?1 ? pa n . 在①中令 n ? 1 ,可得 a1 ? p . ∴ ? a n ? 是首项为 a1 ? p ,公比为 p 的等比数列, a n ? p n . (2) 由(1)可得 S n ?
1 2

(3 分)

(4 分)

p (1 ? p )
n

1? p
n

?

p ( p ? 1)
n

p ?1
1


2 2 n n n n

1 ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n ? 1 ? p C n ? p C n ? ? ? C n p ? (1 ? p ) ? ( p ? 1) .
1 ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n
1 2 n

∴ f (n) ?

2 Sn
p ?1 p ? 2 ( p ? 1)
n ?1 n ?1

n

?

p ?1 p

?

( p ? 1)
n n

n

2 ( p ? 1)



(5 分)

f ( n ? 1) ?

(p
n ?1

n ?1

? 1)
n ?1 n ?1

. ,且 p ? 1 ,



p ?1 2p

f (n) ?

p ?1 p

? 2

( p ? 1) (p

? p)

∴ p n ?1 ? 1 ? p n ?1 ? p ? 0 , p ? 1 ? 0 . ∴ f ( n ? 1) ?
p ?1 2p f (n) , n ? N ) ( .
*

(8 分)
f (n) , n ? N ) ( .
*

(3) 由(2)知 f (1) ?

p ?1 2p

, f ( n ? 1) ?
p ?1 2p

p ?1 2p

∴当 n … 2 时, f ( n ) ?

f ( n ? 1) ? (

p ?1 2p

) f ( n ? 2) ? ? ? (
2

p ?1 2p

)

n ?1

f (1) ? (

p ?1 2p

) .
n

∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 n ? 1) ?

p ?1

? p ?1? ? p ?1? ?? ? ?? ? ? ? 2p ? 2p ? ? 2p ?
2 n ?1

2

2 n ?1

? p ?1? p ?1? ? ?1 ? ? ? p ?1? ? 2p ? ?

? ?, ? ?

(10 分)

(当且仅当 n ? 1 时取等号) . 另一方面,当 n … 2 , k ? 1, 2, ? , 2 n ? 1 时,
f ( k ) ? f (2 n ? k ) ?
k 2n?k ? p ? 1 ? ( p ? 1) ( p ? 1) ? 2n?k 2n?k ? k k ? p ? 2 ( p ? 1) 2 (p ? 1) ?



p ?1 p

?2

( p ? 1)
k k

k

2 ( p ? 1) 2
n k

?

( p ? 1)
2n?k

2n?k

(p
1

2n?k

? 1)

?

p ? 1 2( p ? 1) ? n p 2 p ? 1 2( p ? 1) ? n p 2

( p ? 1)( p
n

2n?k

? 1)

?

1 p
2n

? p ? p
k

2n?k

?1



∵ p k ? p 2 n ? k … 2 p n ,∴ p 2 n ? p k ? p 2 n ? k ? 1 ? p 2 n ? 2 p n ? 1 ? ( p n ? 1) 2 . ∴ f ( k ) ? f (2 n ? k ) … ∴ ? f (k ) ?
k ?1 2 n ?1

p ?1 p

?

2( p ? 1)
n n

n

2 ( p ? 1)

? 2 f (n) , (当且仅当 k ? n 时取等号) . 分) (13
2 n ?1

1

? [ f (k ) ? 2
k ?1

2 n ?1

f (2 n ? k )] … ? f ( n ) ? (2 n ? 1) f ( n ) . (当且仅当 n ? 1 时取等
k ?1

号) .综上所述,(2 n ? 1) f ( n ) 剟 ? f ( k )
k ?1

2 n ?1

? p ?1? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1? ? 2p ? ?

2 n ?1

? * ? , n ? N )(14 分) ( . ? ?


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