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创新设计 2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习配套讲义:第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 Word版


基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 ?2?x 1.(2017· 衡水中学模拟)若 a=?3? ,b=x2,c=log2x,则当 x>1 时,a,b,c 的 ? ? 3 大小关系是( A.c<a<b 解析 答案 ) B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b

?2? 2 当 x>1 时,0<a=?3?x<3,b=x2>1,c=log2x<0,所以 c<a<b. ? ? 3 A

2.函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下 列结论正确的是( A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析 由 f(x)=ax-b 的图象可以观察出,函数 f(x)=ax-b 在定义域上单调递减, )

所以 0<a<1. 函数 f(x)=ax-b 的图象是在 f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0. 答案 D
2 3 2

3.(2017· 德州一模)已知 a=?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则( ? ? ? ? ? ? A.a<b<c C.c<a<b 解析 B.c<b<a D.b<c<a

?3?5

?2?5

?2?5

)

3 2 ?2?x ∵y=?5? 在 R 上为减函数,5>5,∴b<c. ? ?

2 3 2 又∵y=x5在(0,+∞)上为增函数,5>5,

∴a>c,∴b<c<a. 答案 D

4.(2017· 安阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),如果以 P(x1,f(x1)),Q(x2, f(x2))为端点的线段的中点在 y 轴上,那么 f(x1)· f(x2)等于( A.1 解析 B.a C.2 ) D.a2

∵以 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在 y 轴上,∴x1+x2

=0.又∵f(x)=ax,∴f(x1)· f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1. 答案 A

1 5.(2017· 西安调研)若函数 f(x)=a|2x-4|(a>0,且 a≠1),满足 f(1)=9,则 f(x)的单 调递减区间是( A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 解析 ) B.[2,+∞) D.(-∞,-2]
|2x-4|

1 1 1 1 ?1? 由 f(1)=9,得 a2=9,解得 a=3或 a=-3(舍去),即 f(x)=?3? ? ?

.由于

y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以 f(x)在(-∞,2]上递 增,在[2,+∞)上递减. 答案 B

二、填空题 ?3? 6.?2? ? ?


1

2

1 4 3 ? 7?0 ×?-6? +84× 2- ? ? 1 3 1

? 2?3 ?-3? =________. ? ?
1

4 4 ?2?3 ?2?3 解析 原式=?3? ×1+2 ×2 -?3? =2. ? ? ? ?

答案 2 7.(2015· 江苏卷)不等式 2x2-x<4 的解集为________. 解析 ∵2x2-x<4,∴2x2-x<22, ∴x2-x<2,即 x2-x-2<0,解得-1<x<2. 答案 {x|-1<x<2} 8.(2017· 安徽江淮十校联考)已知 max(a,b)表示 a,b 两数中的最大值.若 f(x)= max{e|x|,e|x-2|},则 f(x)的最小值为________.
x ?e ,x≥1, 解析 f(x)=? |x-2| ?e ,x<1.

当 x≥1 时,f(x)=ex≥e(x=1 时,取等号),

当 x<1 时,f(x)=e|x-2|=e2-x>e, 因此 x=1 时,f(x)有最小值 f(1)=e. 答案 e 三、解答题 1? ? 1 9.已知 f(x)=?ax-1+2?x3(a>0,且 a≠1). ? ? (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. 解 (1)由于 ax-1≠0,则 ax≠1,得 x≠0,

所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}. 对于定义域内任意 x,有 1? ? 1 f(-x)=?a-x-1+2?(-x)3 ? ?
x 1? ? a =?1-ax+2?(-x)3 ? ?

1 1? ? =?-1-ax-1+2?(-x)3 ? ? 1? ? 1 =?ax-1+2?x3=f(x). ? ? ∴f(x)是偶函数. (2)由(1)知 f(x)为偶函数,∴只需讨论 x>0 时的情况, 1? ? 1 当 x>0 时,要使 f(x)>0,即?ax-1+2?x3>0, ? ? 即 ax+1 1 1 + >0 ,即 >0,则 ax>1. ax-1 2 2(ax-1)

又∵x>0,∴a>1.因此 a>1 时,f(x)>0. 10.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0. 解 (1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, -2x+b 是奇函数. 2x+1+a

-1+b -2x+1 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1,所以 f(x)= x+1 .又由 f(1)= 2+a 2 +a

-f(-1)知

-2+1 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a

1 -2+1

-2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =-2+ x . 2 +2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞, +∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数 f(x) 在 R 上是减函数). 又因为 f(x)是奇函数, 所以不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2 -1)=f(-2t2+1). 因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+1, 1 即 3t2-2t-1>0,解不等式可得 t>1 或 t<-3,
? 1? 故原不等式的解集为?t|t>1或t<-3?. ? ?

能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) 解析 B.(-2,+∞) D.(-1,+∞) )

?1?x ?1?x 因为 2x>0,所以由 2x(x-a)<1 得 a>x-?2? ,令 f(x)=x-?2? ,则函数 ? ? ? ?
0

?1? f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以 f(x)>f(0)=0-?2? =-1, ? ? 所以 a>-1. 答案 D

12.已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的 是( )

A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.2-a<2c D.2a+2c<2 解析 作出函数 f(x)=|2x-1|的图象如图中实线所示,

∵a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),结合图象知 a<0,0<c<1, ∴0<2a<1,1<2c<2, ∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,∴f(c)=|2c-1|=2c-1, 又 f(a)>f(c),即 1-2a>2c-1,∴2a+2c<2. 答案 D

?f(x),x>0, 13.(2017· 北京丰台一模 )已知奇函数 y=? 如果 f(x)=ax(a>0,且 ?g(x),x<0. a≠1)对应的图象如图所示,那么 g(x)=________.

解析

1 1 依题意,f(1)=2,∴a=2,

?1?x ∴f(x)=?2? ,x>0.当 x<0 时,-x>0. ? ? ?1?-x ∴g(x)=-f(-x)=-?2? =-2x. ? ? 答案 -2x(x<0)

14.(2017· 天津期末)已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R,且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立?若存 在,求出 t;若不存在,请说明理由. 解 ?1?x ?1?x (1)∵f(x)=ex-? e? ,∴f′(x)=ex+? e? , ? ? ? ?

∴f′(x)>0 对任意 x∈R 都成立, ∴f(x)在 R 上是增函数.又∵f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.


(2)存在.由(1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数,则 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立, ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 都成立, ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 都成立, ? 1? 1 ?t +t≤x +x=?x+2? -4对一切 x∈R 都成立, ? ?
2 2 2

1 1 ? 1? ?t +t≤(x +x)min=-4?t2+t+4=?t+2? ≤0, ? ?
2 2

2

1 ? 1? ? 1? 又?t+2? ≥0,∴?t+2? =0,∴t=-2. ? ? ? ? 1 ∴存在 t=-2,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立.

2

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