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极坐标与参数方程测试题1


极坐标与参数方程测试题 高二数学选修 4-4 (时间:120 分钟,总分:150 分) 学号: 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为( A. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 B.
x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 C. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

姓名:

) 。 D.
( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

2.已知点 P 的极坐标是(1,? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程 是( A. ? ? 1 ) 。 B.
? ? cos?
1 cos ? 1 cos ?

C.

? ??

D.

??

3.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是( A. ? ?
x ? t2 2 ? y ? 2t ? 1
1

) 。 C.
? x ? t ?1 ? ? y ? 2t ? 1

B.

? x ? 2t ? 1 ? ? y ? 4t ? 1

D.

? x ? sin ? ? ? y ? 2 sin ? ? 1

? x ? t ? 表示的曲线是( 4.方程 ? ? t ? ? y?2

) 。 C.一条线段 D.抛物线的一部分 ) 。
2x ? y ? 4 ? 0

A.一条直线

B.两条射线
? (? ? y ? ?1 ? cos 2?
2

x ? 2 ? sin 5.参数方程 ? ?

为参数)化为普通方程是( C
2x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3]

A.

2x ? y ? 4 ? 0

B.

2x ? y ? 4 ? 0

D.

x ? [2,3]

6.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴 建立极坐标系,则点 P 的极坐标为( B. ( ? 3
5 2, ? 4


4

A.( 3

3 2, ? 4

)

)

C. (3, 5 ? )
4

D. (-3, 3 ? )

7.直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是 ( ) 。
1

A. k ? ? 3
4

B.

k??

8.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 sin(? ? ? ) 关于( A.直线 ? ? ? 对称
3

3 4

C.

k?R

D.

k ?R但k ? 0

B.直线 ? ? 5? 对称
6

3

) 。
3

C.点(2, ? )中心对称

D.

极点中心对称 9.若圆的方程为 ? ? 的位置关系是( A.过圆心
x ? ?1 ? 2 cos? x ? 2t ? 1 ,直线的方程为 ? ,则直线与圆 ? ? y ? 3 ? 2 sin ? ? y ? 6t ? 1

) 。 C.相切 D.相离

B.相交而不过圆心

1 ? x? ? t 10.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是( 1 2 ?y ? t ?1 t ?
y y y y

) 。

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.在同一平面直角坐标系中, 直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 的伸 缩变换是 。

12.在极坐标中, 若过点 (3, 0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则|AB|= 。

t ? x ? 2? ? 2 ( t 为参数) 13. 设直线参数方程为 ? ,则它的斜截式方程 ? 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?
2

为 14.曲线 C: ? ?


x ? cos? ? y ? ?1 ? sin ?

( ? 为参数)的普通方程为

;如

果曲线 C 与直线 x ? y ? a ? 0 有公共点,那么实数 a 的取值范围 为 。

三.解答题(共 80 分) 15. 把下列参数方程化为普通方程, 并说明它们各表示什么曲线: (12 分) ⑴?
? x ? 5 cos? (? ? y ? 4 sin ?

为参数) ;

⑵?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ? y ? 4t

16. 已知三点 A(5, ? ) ,B(-8, 11 ? ) ,C(3, 7 ? ) ,求证ΔABC
2 6 6

为正三角形。 (12 分) 17. 已知 x、y 满足 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,求 S ? 3x ? y 的最值。 (14 分) 18. 如图, 连结原点 O 和抛物线 y ? 2x 2 上的动点 M, 延长 OM 到点 P, 使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明曲线类型。 (14 分)
y P M 0 x

3

19. 如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0)的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB。
y ⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标;

⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 (14 分)
0

A M x

B

20. 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心,它以每小时 40 千米的速度向东北方向移动,距台风中心 250 千米以内的地方 都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所在 地将遭受台风影响?持续多长时间?(14 分) (注:
7 ? 2.65, 2 ? 1.41)

4

极坐标与参数方程测试题答案 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

C

C

B

D

A

A

B

B

D

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. ? ?
x? ? x ;12. 2 3 ; ? y? ? 4 y

13. y ?

3x ? 3 ? 2 3 ;14. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1;

1? 2 ? a ? 1? 2 。

三.解答题(共 80 分)
x ? 5 cos? 15. (12 分)解:⑴.∵ ? ? ? y ? 4 sin ?
? cos? ∴? 两边平方相加, 5 ? y ? ? sin ? ?4 ?x

得x

2

25

?

y2 ? cos2 ? ? sin 2 ? 16



x2 y2 ? ? 1 ∴曲线是长轴在 25 16

x 轴,中心

在原点的椭圆。
x ? 1 ? 3t ⑵.∵ ? ∴由 t ? y 代入 x ? 1 ? 3t ,得 ? ? y ? 4t

4

x ? 1? 3?

y ∴ 4x ? 3 y ? 4 ? 0 4



它表示一条直线。

5

16. (12 分)证法一:如图,由
A

题意,得 |OC|=3

|OA|=5

|OB|=8

B

5 ? ? ?BOA ? ?xOB ? ?xOA ? ? ? ? 6 2 3 7 ? 2 ?COA ? ? ? ? ? 6 2 3 7 5 1 ?BOC ? ? ? ? ? ? 6 6 3

0 C

x





Δ

AOB


?
3








1 ?7 2









| AB |? | OB | 2 ? | OA | 2 ?2 | OB | ? | OA | cos

? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ?

同理,得 | BC |?

| OB | 2 ? | OC | 2 ?2 | OC | ? | OB | cos

?
3

? 8 2 ? 32 ? 2 ? 8 ? 3 ?

1 ?7 2

| AC |? | OA | 2 ? | OC | 2 ?2 | OC | ? | OA | cos

2? 1 ? 5 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? 7 3 2

即 |AB|=|BC|=|AC|

∴ΔABC 为正三角形。

证法二:把 A、B、C 的极坐标转化成直角坐标,利用两点间的距 离公式也可。 17. (14 分)解:由 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 可知曲线表示以(1,-2)为 圆心,半径等于 2 的圆。令
x ? 1 ? 2 cos ?

y ? ?2 ? 2 sin ? ,则

S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2 cos? ) ? (?2 ? 2 sin ? ) ? 5 ? 6 cos? ? 2 sin ? ? 5 ? 2 10 sin(? ? ? )

其中 tan ? ?

6 ? ?3 ∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时,S ?2

有最大值,为 Smax ? 5 ? 2
10

10

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,S 有最小值,为 S min ? 5 ? 2 ∴S 最大值为 Smax ? 5 ? 2
10 ;S

最小值为 S min ? 5 ? 2
?

10 。
1y y 2
M 0 x P

18. (14 分)解法一:∵抛物线标准方程为 x 2
1 ? x? t ? ∴它的参数方程为 ? 2 1 ?y ? t 2 2 ?

得 M( 1 t , 1 t 2 )
2
2
6

t? 设 P ( x, y ) ,则 M 是 OP 的中点∴ ? ?2

0? x 2 1 0? y ? t2 ? 2 ?2 ?1



? x?t ? 2 ?y ? t

(t 为参

数)消去参数 t,得 y ? x 2 ∴所求 P 点的轨迹方程为 y ? x 2 ; 它是以 y 轴为对称轴, 焦点为 (0,
1 4

)的抛物线。
x0 ? x 2

解法二:设 P(x,y) ,M(x0,y0) ,则由中点坐标公式,得
y0 ? y 2 2

∵M 点在抛物线上∴M( x , y )适合方程 y ? 2x 2
2



y x ? 2 ? ( )2 2 2



y ? x2


y A 0 M x

19. (14 分)解:⑴.∵OA 的方程为 y ? kx ∴联立方程 ? ?
y ? kx ? y ? 2 px
2

解得

xA ?

2p k2

yA ?

2p k

1 ? y?? x 以 ? 1 代上式中的 k ,解方程组 ? ? k k 2 ? y ? 2 px ?

B

解得

x B ? 2 pk 2

y B ? ?2 pk ∴A(

2p k2

, 2p ) ,B( 2 pk 2 , ? 2 pk ) 。
k
1
2

⑵.设 AB 中点 M(x,y) ,则由中点坐标公式,得 ? ? x ? p( k 消去参数 k,得 y 2 ? px ? 2 p 2

? k2)

? 1 ? y ? p( ? k ) k ?

;即为 M 点轨迹的普通方程。
y B2 B1 0 A x

20. (14 分)解:如图,以气象台为坐标 原点,正东方向为 x 轴正方向,建立直角 坐 标系 ,则现在 台风 中 心 B1 的 坐标 为 (-300,0) 。根据题意,可知,t 小时后, B 的坐标为( ? 300 ? 40t cos 45? ,40t sin 45? ) ,即 ( ? 300? 20
2t , 20 2t ) ,因为以台风中心为圆心,以
7

250 千米为半

径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以 B 在圆上或圆内时, 气象台将受台风影响。 所以令 | AB |? 250,即 (?300? 20 整理得 16t 2 ? 120
2t ? 275 ? 0 解得

2t ) 2 ? (20 2t ) 2 ? 2502
15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 ?t ? 4 4

, 1.99 ? t ? 8.61

故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 6 个半小时。

8


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