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2013年湖北省高考数学试卷(理科)


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(理工类)

本试题卷共 6 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★ 祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上 无效。 3. 填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔 涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题 区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2i 1.在复平面内,复数 z ? ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 2.已知全集为 R ,集合 A ? {x ( ) x ? 1} , B ? {x x2 ? 6x ? 8 ? 0} ,则 A ? ?R B ? 2
A. {x x ? 0} C. {x 0 ? x ? 2或x ? 4} B. {x 2 ? x ? 4} D. {x 0 ? x ? 2或x ? 4}

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. (?p) ∨ (?q) B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q

4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ?R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 π π A. B. 12 6

C.

π 3

D.

5π 6

x2 y2 y2 x2 π ,则双曲线 C1 : ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 4 cos2 ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 ??? ? ???? 6.已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
5.已知 0 ? ? ?
3 15 2 25 7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t ) ? 7 ? 3t ? (t 的 1? t 单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 11 A. 1 ? 25 ln 5 B. 8 ? 25ln C. 4 ? 25 ln 5 D. 4 ? 50 ln 2 3 8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 记为 V1 , V 2 , V3 , V 4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3

B. V1 ? V3 ? V2 ? V4

V C. 2 ? V1 ? V3 ? V4

V D. 2 ? V3 ? V1 ? V4

第 8 题图

第 9 题图

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X ,则 X 的均值 E ( X ) ? A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

10.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填

在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题) 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频 率分布直方图如图所示. (Ⅰ )直方图中 x 的值为_________; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 [100, 250) 内的户数为_________.
开始

a ? 10, i ? 1

a ? 4?
否 是



a 是奇数 ?



a ? 3a ?1

a?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

第 11 题图

第 12 题图

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ? _________. 13.设 x, y , z ? R ,且满足: x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _________.

14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10, ? , 第 n 个三角形数为

n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N (n, k ) (k ? 3) ,以下列出 2 2 2

了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2
N (n, 4) ? n2 ,

3 1 N (n,5) ? n2 ? n , 2 2
N (n,6) ? 2n2 ? n ,

……………………………………… 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10, 24) ? _________. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E .若
AB ? 3 AD ,则

CE 的值为_________. EO

C

A

E D O

B

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)

第 15 题图

? x ? a cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, a ? b ? 0 ). 在 ? y ? b sin ? 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴
π 2 m (m 为非零常数) 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin(? ? ) ? 4 2 与 ? ? b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点, 且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: | a2 ? a3 | ? 10 , a1a2 a3 ? 125 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ )是否存在正整数 m ,使得 在,说明理由. 19. (本小题满分 12 分)

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存 a1 a2 am

如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC ,E ,F 分别是 PA , PC 的中点. (Ⅰ )记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与 平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)设(Ⅰ )中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 ???? 1 ??? ? Q 满足 DQ ? CP . 记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角 2 为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角
E ? l ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? .

第 19 题图 20. (本小题满分 12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800, 502 ) 的随机变量. 记一天 中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (Ⅰ )求 p0 的值; (参考数据:若 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)

(Ⅱ )某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每 天往返一次. A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营 运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车 队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去 乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型 车各多少辆?

21. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B

M
C

O

N x

D
第 21 题图

22. (本小题满分 14 分) 设 n 是正整数, r 为正有理数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x)r ?1 ? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?2? ? 2 , ? π ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . ? ? ? ? ? ? ... ? 2?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? S ? 的值. ? ? (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 )
4
4 4 4


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