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高中数学人教版选修4-5课件:第三讲3.3排序不等式_图文

第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式 [学习目标] 1. 了 解排 序 不 等式 的 数 学思 想 和 背 景. 2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不 等式解决简单的不等式问题(重点、难点). [知识提炼· 梳理] 1.基本概念 设 a1<a2<a3<…<an,b1<b2<b3<…<bn 是两组实数,设 c1,c2,c3,…,cn 是数组 b1,b2,…,bn 的任何一个排 列,则 S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1 叫做数组(a1,a2,…, an)和(b1,b2,…,bn)的反序和;S2=a1b1+a2b2+…+anbn 叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的顺序和; S = a1c1 + a2c2 +…+ ancn 叫做数组 (a1 , a2 ,…, an) 和(b1,b2,…,bn)的乱序和. 2.排序原理或排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数,c1, c2,…,cn 是 b1,b2,…,bn 的任一排列,那么,a1bn+ anbn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+… +anbn,当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时, 反序和等于顺序和. [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)两组数 1,2,3 与 4,5,6 顺序和是 32.( (2)两组数 1,2,3 与 4,5,6 的反序和是 28.( (3)两组数 1, 2, 3 与 4, 5, 6 的乱序和一定是 29.( ) ) ) (4)两组数 1,2,3 与 4,5,6 的反序和≤乱序和≤ 顺序和.( ) 解析:由基本概念知(1)(2)正确,(3)不正确,因为乱 序和也可能是 35 或其他等.由排序不等式可知(4)正确. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.有两组数 1,2,3 与 10,15,20,它们的顺序和、 反序和分别是( A.100,85 C.95,80 ) B.100,80 D.95,85 解析:由顺序和与反序和的定义可知顺序和为 100, 反序和为 80. 答案:B 3.设 x1,x2,…,xn 为正数,若它的任一排列为 a1, x1 x2 xn a2,…,an,则 + +…+a 的最小值为( a1 a2 n A.n C.2n B.n+1 D.2n+1 ) 1 1 1 解析:取两组数:x1,x2,…,xn; , ,…,x . x1 x2 n 不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn, 1 1 1 则 ≥ ≥…≥x . x1 x2 n x1 x2 xn x1 x2 xn 其反序和为 + +…+ =n,而 + +…+ 为 xn an x1 x2 a1 a2 x1 xn x1 x2 xn 乱序和,从而有 +…+a ≥ + +…+x =n, a1 x1 x2 n n 当且仅当 x1=x2=…=xn 时,等号成立. 答案:A 4.顺序和、反序和、乱序和的大小关系是________. 解析:由排序不等式易知反序和≤乱序和≤顺序和. 答案:反序和≤乱序和≤顺序和 5.有 4 人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个 人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s,每个人接完水后就 离开,则他们总的等候时间最短为________s. 解析: 等候的最短时间为: 3×4+4×3+5×2+7×1 =41(s). 答案:41 类型 1 利用排序不等式证明不等式(自主研析) [典例 1] b a. (2)设 a1,a2,…,an 是 1,2,…,n 的一个排列, n-1 a1 a2 an-1 1 2 求证: + +…+ ≤ + +…+ . n an 2 3 a2 a3 (1)设 a, b ?a?2 ?b?2 a ? ? +? ? ≥ + 都是正数, 求证: b ?b? ?a? 1 1 证明:(1)由题意设 a≥b>0,则 a ≥b , ≥ , b a 2 2 a2 b2 所以 ≥ , b a 根据排序原理,知 a2 1 b2 1 a2 1 b2 1 · + · ≥ · + · , b b a a b a a b ?a?2 ?b?2 a b 即?b? +?a? ≥b+a. ? ? ? ? (2)设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排 列,且 b1<b2…<bn-1;c1,c2,…,cn-1 是 a2,a3,…, 1 1 1 an 的一个排列,且 c1<c2<…<cn-1,则 > >…> ,且 c1 c2 c n -1 b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1 ≤n. an-1 b1 b2 a1 a2 利用排序不等式,有 + +…+ a ≥ + +… a2 a3 c1 c2 n bn-1 1 2 n-1 + ≥ + +…+ . n 2 3 cn - 1 所以原不等式成立. 归纳升华 1.在不等式的证明方法中,配凑法比较常见,如在 运用基本不等式、 柯西不等式时, 常常先将不等式的一侧 (或已知等式的一侧)进行配凑,使之满足基本不等式或柯 西不等式的应用条件. 在运用排序不等式时, 常常根据题 目条件,配凑构造出所需要的有序数组. 2.应用排序不等式时,当两个排序的大小顺序未确 定而又需对一些轮换式或者对称性式子进行证明时, 可人 为规定顺序, 再利用排序原理求解. 还应注意两个排序的 顺序和、反序和是确定的,只有乱序和可以有多种,所以 要在乱序和上多思考. [变式训练] ≥a+b+c. bc ac ab 设 a, b, c 都是正数, 求证:a + b + c 解:由题意不妨设 a≥b≥c>0, 1 1 1 所以 ab≥ac≥bc, ≥ ≥ . c b a 1 1 1 1 1 1 由排序原理,知 ab· c+a

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