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河北省正定中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题


2015-2016 学年第二学期高二期末考试 高二数学 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合 M ? x ? Z 0 ? x ? 4 , N ? x 1 ? log 2 x ? 2 ,则 M I N ? A. {0,1} B. {2,3}
2

?

?

?

?

C. {3}

D. {2,3, 4}

2.已知命题 p : ?x ? R,x -3x+3 ? 0 ,则下列说法正确的是 A. ?p : ?x ? R,x -3x+3>0 ,且 ?p 为真命题
2

B. ?p : ?x ? R,x -3x+3>0 ,且 ?p 为假命题
2

C. ?p : ?x ? R, x 2-3 x+3 ? 0 ,且 ?p 为真命题 D. ?p : ?x ? R, x 2-3 x+3 ? 0 ,且 ?p 为假命题 3.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的图象在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为
3

A. 10

B. 5

C. ? 1

D. ?

3 7

4.“ a ? 1 ”是“ ?x ? ? 0, ?? ? , ax ? A.充分不必要条件 C.充要条件 5.设 f ? x ? ? lg A. ?? 4,0? ? ?0,4? C.

1 ? 1 ”的 4x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2? x ? x? ?2? ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 2? x ?2? ? x?
B. ?? 4,?1? ? ?1,4? D. ?? 4,?2? ? ?2,4?

?? 2,?1? ? ?1,2?
?

6.设函数 f ? x ? ? ? A. ? ?1, 2?

21? x , x ? 1

?1 ? log 2 x, x ? 1

,则满足 f ? x ? ? 2 的 x 的取值范围是 D. ?0, ?? ?

B. ? 0, 2?

C. ?1, ?? ?

7. ? x ? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 若 f ? ? x ? 是 函 数 f ? x ? ? ln x 导 函 数 , 设

g ? x ? ? f ? x ? f ? ? x ? ,则函数 y ? ? ? g ? x ?? ??? ? g ? ? x ?? ? 的值域是
-1-

A. {?1,0} 8.函数 y ?

B. {0,1}

C. {0}

D. {偶数}

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y y 1 x O D 1 x

y 1 O 1 x 1

1 O1 x O 1

A

B

C

9.已知函数 f ? x ? 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ? x ? ? f ?4 ? x ? ,且当 x ? 2 时其导函数 f ?? x ? 满足 xf ?? x ? ? 2 f ?? x ?, 若 2 ? a ? 4 ,则 A. f (2a ) ? f (3) ? f (log 2 a ) C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2 a ) B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 a ) D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

x3 a 2 ?1 ? ? x ? x ? 1 在区间 ? ,3 ? 上有极值点,则实数 a 的取值范围是 10.若 函数f ( x) ? 3 2 ?2 ?
A. ? 2, ?

? ?

5? 2?

B. ? 2, ?

? 5? ? 2?
2

C. ? 2,

? 10 ? ? ? 3?
2 2

D. ? 2,

? 10 ? ? ? 3?
2 2

11.若实数 a, b, c, d 满足若实数 (b ? a ? 3ln a ) ? (c ? d ? 2) ? 0 ,则 (a ? c) ? (b ? d ) 的 最小值为 A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 8

12.设偶函数 y ? f ( x) 和奇函数 y ? g ( x) 的图象如下图所示:

-2-

集合 A = x f ( g ( x) ? t ) ? 0 与集合 B = x g ( f ( x) ? t ) ? 0 的元素个数分别为 a, b ,若

?

?

?

?

1 ? t ? 1 ,则 a ? b 的值不 可能是 . 2
A.12 B.13 C.14 D.15

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 . 若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是 ________.
3 2 14.若函数 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x ? x f ?(1) ,则
2

?

1

?1

f ( x)dx ? ____.

15. 已知命题 p :函数 f ( x) ? 2ax ? x ? 1( a ? 0)在 (0,1) 内恰有一个零点; 命题 q :函数 若 p 且 ?q 为真命题, 则实数 a 的取值范围是 y ? x2?a 在 (0, ??) 上是减函数, .

16.设 x 为实数,定义 ? x? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?5.3? ? 6 ,??5.3? ? ?5 ,则关于 x 的 方程 ?3 x ? 4? ? 2 x ?

3 的全部实根之和为 2



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ?

3 c. 5

tan A 的值; tan B (2)求 tan( A ? B) 的最大值.
(1)求

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中 色、白色小球的个数分别为 2、3、4,乙袋中红色、黑 小球的个数均为 3,某人用左手从甲袋中取球,用右手 中取球. (1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不 率; (2)若一次在同一袋中取出两球,如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左 同的概 红色、 黑 色、 白色 从乙袋

-3-

手先取两球,第二次右手再取两球,记两次取球的获得成功的次数为随机变量 X ,求 X 的分 布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,

?BAD ? 60? , AB ? BD, BC ? CD .
(1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 A1 BD ;
? (2)若 BC ? CD ,直线 BC 与平面 A1 BD 所成的角能否为 45 ? 并说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 C 是圆 F :

? x ? 1?

2

? y 2 ? 16 上任意一点,点 F? 与点 F 关于原点对称.线段 CF ? 的中

垂线与 CF 交于 P 点. (Ⅰ) 求动点 P 的轨迹方程 E ; (Ⅱ) 设点 A ? 4,0 ? ,若过点 F 的直线交曲线 E 于 M 、N 两点,求 ?AMN 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分)
x 已知函数 f ? x ? ? ln e ? a ( a 为常数, e 为自然对数的底数)是实数集 R 上的奇函数,

?

?

函数 g ? x ? ? ? f ? x ? ? sin x 在区间 ? ?1,1? 上是减函数. (1)求实数 a 的值; (2)若 g ? x ? ? t ? ?t ? 1 在 x ???1,1? 上恒成立,求实数 t 的取值范围;
2

(3)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ? x?

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A, B, D, E 在 ? O 上, ED 、 AB 的延长线交于点 C , AD 、 BE 交于点 F ,

AE ? EB ? BC .

E D F C
-4-

? ? BD ? ; (1)证明: DE
(2)若 DE ? 2 , AD ? 4 ,求 DF 的长.

O A

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? 坐标系 xOy . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 在曲线 C 上,点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) (其中 ? ? R ) ,求 PQ 的最大 值.

?
3

) ,以极点为原点, 极轴为 x 轴正半轴,建立直角

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? t , t ? R . (1)当 t ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若存在实数 a 满足 f (a) ? a ? 3 ? 2 ,求 t 的取值范围.

-5-

高二下学期期末试题答案 1-12:CCDAB DAACC DD

13. (?1,3)

14. -2

15. (1, 2]

16. -6

17.解析: (1)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 tan A ? 4; 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan B tan A ? 4; 得 tan A ? 4 tan B ? 0 (2)由 tan B tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4
3 1 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2 18.解析: (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色” ,
故当 tan A ? 2, tan B ? 则 P( A) ? 1 ?

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? ?????????(4 分) 9?9 3
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 ? 2 C9 18

(2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.???????????(5 分) 左手所取的两球颜色相同的概率为 ??(6 分)

C32 ? C32 ? C32 1 右手所取的两球颜色相同的概率为 ? ??(7 分) C92 4
5 ?? 1 ? 13 3 13 ? P( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24 ,
P( X ? 1) ? 5 1 5 1 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 18 4 18 4 18
P ( X ? 2) ? 5 1 5 ? ? 18 4 72

所以X的分布列为: X P 0 1 2

13 24

7 18

5 72
????????????????????(10 分)

E( X ) ? 0 ?

13 7 5 19 ? 1? ? 2 ? ? 24 18 72 36

????????????????(12 分)

-6-

19. 【解析】 (1)证明:∵ AB ? BD, ?BAD ? 60? , ∴ ?ABD 为正三角形,∴ AB ? AD . ∵ CB ? CD , AC 为公共边, ∴ ?ABC ? ?ADC . ∴ ?CAB ? ?CAD ,∴ AC ? BD . ∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 是直四棱柱, ∴ AA1 ? 平面 ABCD ,∴ AA1 ? BD . ∵ AC ? AA1 ? A ,∴ BD ? 平面 ACC1 A1 . ∵ BD ? 平面 A 1BD ,∴平面 A 1 BD ? 平面 ACC1 A 1. (2)设AC ? BD= O ,以O为原点,建立空间直角坐标系O- xyz 如图所示,

D1 A1 B1 D A B C C1

不妨设 AB = 2 , AA1

= h ( h > 0 ),则 OA =

3 , OB = OD = OC = 1 ,

设平面 A1 BD 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则

若直线BC 与平面 A1 BD 所成的角为45° ,则

-7-

故直线 BC 与平面 A1 20.

BD 所成的角不可能为 45° .?12 分

21.解:(1)? f ( x) ? ln(e ? a) 是奇函数,
x

? f (? x) ? ? f ( x) ,即 ln(e? x ? a) ? ? ln(ex ? a) 恒成立,

?(e? x ? a)(ex ? a) ? 1,?1 ? ae? x ? aex ? a2 ? 1 .即 a(e x ? e? x ? a) ? 0 恒成立,
故a ? 0 (2)由(l)知 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x ,? g '( x) ? ? ? cos x, x ???1,1?

? 要使 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ??1,1? 上的减函数,则有 g '( x) ? 0 恒成立,? ? ? ?1 .
又? g ( x)max ? g (?1) ? ?? ? sin1,?要使 g ( x) ? t ? ?t ? 1 在 x ???1,1? 上恒成立,
2

-8-

只需 ?? ? sin1 ? t 2 ? ?t ? 1 在 ? ? ?1 时恒成立即可.

?(t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒成立即可.
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ,则 ? 而 t 2 ? t ? sin1 ? 0 恒成立,? t ? ?1 (3)由(1)知方程 令 f1 ( x) ?

?t ? 1 ? 0, ?t ? 1 ? 0, 即? 2 ?h(?1) ? 0, ?t ? t ? sin1 ? 0,

ln x ln x ? x 2 ? 2ex ? m , ? x 2 ? 2ex ? m ,即 x f ( x)

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m x 1 ? ln x x2

? f '1 ( x) ?

当 x ? ? 0, e? 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 ? 0, e? 上为增函数; 当 x ? [e, ??) 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 [e, ??) 上为减函数; 当 x ? e 时, f1 ( x ) max ?

1 . e

而 f2 ( x) ? x2 ? 2ex ? m ? ( x ? e)2 ? m ? e2 当 x ? ? 0, e? 时 f 2 ( x) 是减函数,当 x ? [e, ??) 时, f 2 ( x) 是增函数,

? 当 x ? e 时, f2 ( x)min ? m ? e2 .
2 故当 m ? e ?

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程无实根; e e

2 当m?e ?

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程有一个根; e e 1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程有两个根. e e

2 当m?e ?

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 【解析】 (1)证明:∵ EB ? BC ,∴ ?C ? ?BEC . ∵ ?BED ? ?BAD ,∴ ?C ? ?BED ? ?BAD . ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB , ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD . ∴ ?EAD ? ?C ,∴ ?BAD ? ?EAD .

? ? BD ? . ∴ DE
(2)由(1)知 ?EAD ? ?C ? ?FED ,

-9-

∵ ?EAD ? ?FDE ,∴ ?EAD ∽ ?FED ,∴ ∵ DE ? 2 , AD ? 4 ,∴ DF ? 1 . 23. 【解析】 (1)∵

DE AD ? . DF ED

? , ? ? 4sin(? ? )
3

∴ ? ? 4(sin? cos

?

? cos ? sin ) , 3 3

?

∴ ? 2 ? 2?sin? ? 2 3? cos? , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2y ? 0 . (2)曲线 C 可化为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 , ∴曲线 C 是圆心,半径为 2 的圆, ∵点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) , ∴点 Q 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1, ∴ PQ ? OC ? 1 ? 2 ? 5 ,即 PQ 的最大值为 5 . 24. 【解析】 (1)当 t ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? 1 , 由 f ( x) ? 5 ,得 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 5 ,

∴?

1 ? ? 1 ?x ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 3 ,或 ,或 ? , 2 ? 2 3 x ? 2 ? 5 ? ? ? ?2 ? 3x ? 5 ?x ? 4 ? 5

解得 x ? ?1 或 1 ? x ? 3 或 x ? 3 , ∴原不等式的解集为 (??, ?1] ? [1, ??) . (2) f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 2x ? t

? (2x ? 6) ? (2x ? t ) ? t ? 6 ,
∵原命题等价于 ( f ( x) ? x ? 3)min ? 2 , ∴ t ? 6 ? 2 ,解得 ?8 ? t ? ?4 , ∴ t 的取值范围是 (?8, ?4) .

- 10 -


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