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三角函数、平面向量综合题六类型 生


三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 ? ? 【例 1】已知 0 ? ? ? , ? 为 f ( x) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期, 4 8
? ? ? ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) a ? (tan(? ? ), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求 的值. 4 cos ? ? sin ?

【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角 函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论 的相关式,找准时机代入求值或化简。? 题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 ? 【例 2】 (2006 年高考浙江卷)如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R (其中
0 ?? ?

?
2

)的图像与 y 轴交于点(0,1) 。

(Ⅰ)求 ? 的值;
???? ? ???? (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹

角的余弦。

? ? a ?b ? ? cos a , b ? ? ? 【评析】 此类问题的一般步骤是: 先利用向量的夹角公式: a?b

求出被求角的三角函数值,

题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 3】在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 .
??? ? ??? ? 5 (1)求 cos C ;(2)若 CB ? CA ? ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

【评析】 根据题中所给条件,初步判断三角形的形状,再结合向量以及正 弦定理、余弦定理实现边角转化,列出等式求解。? 题型四:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 ? ? ? ? 【例 4】 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2x,1) , x ? R ,且

? 函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 2) . 4
(Ⅰ)求实数 m 的值;? (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集 合。

【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时,可先根据向量的数量积 的运算法则求出相应的函数基本关系式, 然后利用三角函数的基本公式将所得出 的代数式化为形如 y ? A sin(? x ? ? ) ? k ,再借助三角函数的有界性使问题得以解 决。? 题型五:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法
? ? ? ? 【例 5】 (2007 年高考湖北卷)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移, 3 6 4 x π ? ? ? ?

?

则平移后所得图象的解析式为(
? ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 3 4 x ?


? ? B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 3 4 x π ? ? x π ? ? D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

?

? x π ? ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

题型六:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 ? ? ? ? ? 【例 6】 设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R , 函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; 3 (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集. 2

【评析】 结合向量的坐标运算法则,求出函数 f ( x) 的三角函数关系式,再 根据三角公式对函数 f ( x) 的三角恒等关系,然后借助基本三角函数的单调性, 求简单三角不等式的解集。 【跟踪训练】 ? ? ? ? ? 1.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,
? c ? (? cos x,sin x), x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期;

? (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原

? 点成中心对称,求长度最小的 d .

? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? . (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; 2 2 ? ? (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.


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