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高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)


数列
一, 知识梳理 数列概念 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 通项公式,即 a n

{a n } 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的 {a n } 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项 a n 1 (或前几
= f ( a n 1 ) 或 a n = f (a n 1 , a n 2 ) ,那么这个式子叫做数 = 2a n + 1 ,其中 a n = 2a n + 1 是数列 {a n } 的递推
② an

= f (n ) .

3.递推公式:如果已知数列

项)间的关系可以用一个式子来表示,即 a n 列 公式. 4.数列的前 n 项和与通项的公式① S n

{a n } 的递推公式. 如数列 {a n } 中, a1 = 1, an

= a1 + a 2 + L + a n ;

S (n = 1) = 1 . S n S n 1 (n ≥ 2)

5. 数列的表示方法:解析法,图像法,列举法,递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界 数列. ①递增数列:对于任何 n ∈ N + ,均有 a n +1 ②递减数列:对于任何 n ∈ N + ,均有 a n +1 ③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1, L . ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数 M 使

> an . < an .

an ≤ M , n ∈ N + . an > M
.

⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得 等差数列 1.等差数列的概念

这个数列叫做等差数列, 常数 d 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数 d , 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 a n

= a1 + ( n 1)d , a1 为首项, d 为公差.
= n ( a1 + a n ) 1 或 S n = na1 + n ( n 1) d . 2 2
A 叫做 a 与 b 的等差中项.

⑵前 n 项和公式 S n 3.等差中项

如果 a , A, b 成等差数列,那么 即: 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: a n +1

A 是 a 与 b 的等差中项 2 A = a + b a , A , b 成等差数列.

an = d

⑵中项法: 2 a n +1 ⑴数列

= a n + a n + 2 ( n ∈ N + ) {a n } 是等差数列.

( n ∈ N + , d 是常数)

{a n } 是等差数列;

5.等差数列的常用性质

{a n } 是等差数列,则数列 {a n + p}, {pa n } ( p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列 {a n } 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 a n , a n + k , a n + 2 k , a n + 3k , L 为等
= a m + ( n m )d ;a n = an + b ( a , b 是常数);S n = an 2 + bn ( a , b 是常数,a ≠ 0 )

差数列,公差为 kd . ⑶ an

⑷若 m + n

= p + q(m, n, p, q ∈ N + ) ,则 a m + a n = a p + a q ;

⑸若等差数列

{a n } 的前 n 项和 S n ,则 S n 是等差数列;
n

⑹当项数为 2n( n ∈ N + ) ,则 S 偶

S奇 = nd ,

S偶 a n +1 = S奇 an

;

当项数为 2n

1( n ∈ N + ) ,则 S奇 S 偶 = a n ,

S偶 n 1 = . S奇 n
≠ 0) ,这个数列叫做等比数

等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q ( q 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: a n

= a1q n 1 , a1 为首项, q 为公比
= 1 时, S n = na1 ≠ 1 时, S n =

.

⑵前 n 项和公式:①当 q ②当 q 3.等比中项

a1 (1 q n ) a1 a n q = . 1 q 1 q

如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等差中项 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a , A , b 成等差数列 G 2 = a b .

a n +1 = q ( n ∈ N + , q ≠ 0 是常数) {a n } 是等比数列; an
2

⑵中项法: a n +1 ⑴数列

= an a n +2 ( n ∈ N + )且 an ≠ 0 {a n } 是等比数列.

5.等比数列的常用性质

{a n } 是等比数列,则数列 {pan } , {pa n } ( q ≠ 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 {a n } 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 a n , a n + k , a n + 2 k , a n + 3k , L 为等
k

比数列,公比为 q . ⑶ an

= a m q n m ( n, m ∈ N + )

⑷若 m + n

= p + q(m, n, p, q ∈ N + ) ,则 a m a n = a p a q ;

⑸若等比数列

{a n } 的前 n 项和 S n ,则 S k , S 2 k S k , S3k S 2 k , S 4 k S 3k 是等比数列.

二,典型例题 A,求值类的计算题(多关于等差等比数列) ,求值类的计算题(多关于等差等比数列) 等差等比数列 1)根据基本量求解(方程的思想) 1,已知 S n 为等差数列

{a n } 的前 n 项和, a 4 = 9, a 9 = 6, S n = 63 ,求 n ; 2,等差数列 {an } 中, a4 = 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 {an } 前 20 项的和 S 20 . 3,设 {a n } 是公比为正数的等比数列,若 a1 = 1, a5 = 16 ,求数列 {a n } 前 7 项的和. {a n } 的前 n 项和, a6 = 100 ,则 S11 = {a n } , {a n } 的前 n 项和, S n
Tn

4, 已知四个实数, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 首末两数之和为 37 , 中间两数之和为 36 , 求这四个数. 2)根据数列的性质求解(整体思想) 1,已知 S n 为等差数列 ;

2,设 S n , Tn 分别是等差数列 3,设 Sn 是等差数列

=

a 7n + 2 ,则 5 = n+3 b5
)

.

{a n } 的前 n 项和,若

a5 5 S = ,则 9 = ( a3 9 S5

Sn an 2n = ,则 =( ) Tn 3n + 1 bn 5,已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, S n = m, S m = n ( n ≠ m ) ,则 S m +n =
4,等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 6,在正项等比数列 7,已知数列 且 ak

.

{an } 是等差数列,若

{a n }中, a1a5 + 2a3a5 + a3a7 = 25 ,则 a3 + a5 = _____ __.
a4 + a7 + a10 = 17 , a4 + a5 + a6 + L + a12 + a13 + a14 = 77
. ) .

= 13 ,则 k = _________. 8,已知 S n 为等比数列 {a n } 前 n 项和, S n = 54 , S 2 n = 60 ,则 S 3n = 9,在等差数列 {a n } 中,若 S 4 = 1, S 8 = 4 ,则 a17 + a18 + a19 + a 20 的值为( 10,在等比数列中,已知 a9 + a10 = a ( a ≠ 0) , a19 + a20 = b ,则 a99 + a100 = 11,已知 {a n } 为等差数列, a15 = 8, a 60 = 20 ,则 a 75 = S8 S 1 12,等差数列 {an } 中,已知 4 = , 求 . S8 3 S16
B,求数列通项公式 ,求数列通项 1) 给出前几项,求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21, L ,
3,-33,333,-3333,33333…… 33,333, 3333,33333 2)给出前 n 项和求通项公式 1,⑴ S n

= 2n 2 + 3n ;

⑵ Sn

= 3n + 1 .

2,设数列

{an } 满足 a1 + 3a2 + 32 a3 + …+3n-1an =

n (n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项公式 3

3)给出递推公式求通项公式 a,⑴已知关系式 a n +1

= a n + f ( n ) ,可利用迭加法或迭代法; 可利用迭加法或迭代法;

a n = ( a n a n 1 ) + ( a n 1 a n 2 ) + ( a n 2 a n 3 ) + L + (a 2 a1 ) + a1
例:已知数列 b,已知关系式 a n +1 例,已知数列

{a n } 中, a1 = 2, a n = an 1 + 2n 1(n ≥ 2) ,求数列 {a n } 的通项公式;
= a n f (n ) ,可利用迭乘法 a n = 可利用迭乘法.
an n 1 = (n ≥ 2), a1 = 2 ,求求数列 {a n } 的通项公式; an 1 n + 1 a n a n 1 a n 2 a a L 3 2 a1 a n 1 a n 2 a n 3 a 2 a1

{an } 满足:

c,构造新数列 1°递推关系形如" a n +1 例,已知数列

{a n } 中, a1 = 1, a n +1 = 2a n + 3 ,求数列 {a n } 的通项公式.
p n +1 或待定系数法求解 = 2a n + 3n ,求数列 {a n } 的通项公式.

= pa n + q " ,利用待定系数法求解

2°递推关系形如",两边同除 例,

3°递推已知数列

{a n } 中,关系形如" a n + 2 = p an +1 + q an " ,利用待定系数法求解 例,已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = 3a n +1 2a n ,求数列 {a n } 的通项公式. {a n } 中, an an 1 = 2an an 1 ≥ 2),a1 = 2 ,求数列 {a n } 的通项公式. (n
2a n ( n ∈ N + ) ,求数列 {a n }的通项公式. 4 + an pan 1 = qan an 1 (p,q ≠ 0),两边同除以 an an 1

a1 = 1, a n +1

4°递推关系形如" an 例 1,已知数列 例 2,数列

{an }中, a1 = 2, an +1 =

d,给出关于 Sn 和 am 的关系 ,

例 1,设数列 求数列

{bn }的通项公式.
{an }的通项;
=

{a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 = a, a n +1 = S n + 3n ( n ∈ N + ) ,设 bn = S n 3n ,
{an }的前 n 项和, a1 = 1 , S n2 = a n S n 1 ( n ≥ 2) .
2

例 2,设 S n 是数列 ⑴求

⑵设 bn

Sn ,求数列 { n }的前 n 项和 Tn . b 2n + 1

C,证明数列是等差或等比数列 , 1)证明数列等差 例 1,已知 S n 为等差数列

{a n } 的前 n 项和, bn = S n ( n ∈ N + ) .求证:数列 {bn }是等差数列.
n
1 . 2

例 2,已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2) 1= ,a 求证:{

1 }是等差数列; Sn
an

2)证明数列等比

1 例 1,设{an}是等差数列,bn= 2
例 3,已知 S n 为数列

,求证:数列{bn}是等比数列;

例 2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列;

{a n } 的前 n 项和, a1 = 1 , S n = 4an + 2 . ⑴设数列 { n }中, bn = a n +1 2 a n ,求证: { n }是等比数列; b b
{cn }中, cn
=

an ,求证: {c n }是等差数列;⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和. 2n n 例 4,设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,已知 ban 2 = ( b 1) S n
⑵设数列 ⑴证明:当 b = 2 时, ⑵求

{an } 的通项公式 * 例 5,已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 2an ( n ∈ N ). ⑴证明:数列 {an +1 an } 是等比数列; ⑵求数列 {an } 的通项公式; b 1 b 1 b 1 ⑶若数列 {bn } 满足 4 4 ...4 = (an + 1)b (n ∈ N * ), 证明 {bn } 是等差数列.
1 2 n n

{a

n

n 2n 1} 是等比数列;

D,求数列的前 n 项和 , 基本方法: 1)公式法, 2)拆解求和法. 例 1,求数列 {2

+ 2n 3} 的前 n 项和 S n . 1 1 1 1 例 2,求数列 1 , , , , + n ), 的前 n 项和 S n . 2 3 L (n L 2 4 8 2
n

例 3,求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3) 2)裂项相消法,数列的常见拆项有:

1 1 1 1 1 = ( ); = n +1 n ; n (n + k ) k n n + k n + n +1 1 1 1 + +L+ 例 1,求和:S=1+ 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +L+ n

例 2,求和: 3)倒序相加法, 例,设 ⑴ ⑵

1 1 1 1 + + +L+ 2 +1 3+ 2 4+ 3 n +1 + n

.

x2 ,求: 1 + x2 f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 1 ) + f (2) + f (3) + f (4) ; 4 3 2 1 1 f ( 2010 ) + f ( 2009 ) + L + f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2) + L + f (2009) + f (2010). 3 2 f ( x) =

4)错位相减法, 例,若数列

{a n }的通项 a n

= ( 2n 1) 3n ,求此数列的前 n 项和 S n .

5)对于数列等差和等比混合数列分组求和 2 例,已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. E,数列单调性最值问题 例 1,数列

{a n } 中, an = 2n 49 ,当数列 {a n } 的前 n 项和 S n 取得最小值时, n = . 例 2,已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, a1 = 25, a4 = 16. 当 n 为何值时, S n 取得最大值; 2 例 3,数列 {a n } 中, a n = 3n 28n + 1 ,求 a n 取最小值时 n 的值. 2 例 4,数列 {a n } 中, a n = n n + 2 ,求数列 {a n } 的最大项和最小项. n * 例 5,设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .已知 a1 = a , an +1 = S n + 3 , n ∈ N . n (Ⅰ)设 bn = S n 3 ,求数列 {bn } 的通项公式;
(Ⅱ)若 an +1 ≥ an , n ∈ N ,求 a 的取值范围.
*

例 6,已知 S n 为数列 ⑴求数列

{a n } 的通项公式; ⑵数列 {a n } 中是否存在正整数 k ,使得不等式 a k > a k +1 对任意不小于 k 的正整数都成立?若存在,求
最小的正整数 k ,若不存在,说明理由. 例 7,非等比数列 {an } 中,前 n 项和 Sn (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn

{a n } 的前 n 项和, a1 = 3 , S n S n 1 = 2a n (n ≥ 2) .

1 = (an 1)2 , 4

1 (n ∈ N *) , Tn = b1 + b2 + L + bn ,是否存在最大的整数 m,使得对任意的 n 均 n(3 an ) m 有 Tn > 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由. 32 =

F,有关数列的实际问题 , 例 1,用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,… 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块? 例 2,2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40 %,从 2003 年开始,计划每年将非绿化面积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. ⑴设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 a1

=

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 a n +1 ,试用 a n 表示 10

a n +1 ;
⑵求数列

{an }的第 n + 1 项 a n +1 ;

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据: lg 2

= 0.3010, lg 3 = 0.4771 )


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