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福建省泉州一中2010届高三上学期期中考试(数学文)


泉州一中 2010 届高三文科数学期中试卷
注:必须将答案写在答题卷上,否则视做无效。 必须将答案写在答题卷上,否则视做无效。
(本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: ( 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. ) 1.直线 l : x = 1 ,则其倾斜角 α = ( ) A.0 B.

π

4
2

C.

π

3


D.

π

2

2.已知集合 A = {x | ?1 < x < 1}, B = {x | x ? x ≤ 0}, 则 A ∩ B 等于( A.(0,1) 3. 复数 A.1 B.(0,1] C.[0,1)

D.[0,1]

2i 的虚部是( 1? i

) B.-1 C. i D. ?i ) D.正方形

4.四边形 ABCD 满足 AB = DC ,且 AB = AD ,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B.菱形 ) C. [ ?1, 0] C.矩形

5.函数 f ( x ) = x 3 + 4 的零点必落在区间( A. [ ?3, ?2] B. [ ?2, ?1]

D. [1, 2] )

6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f ( x) = 2 x ? 3 ,则 f (?2) = (

1 C. 1 4 7. 一个棱长为 2 的正方体的顶点都在球面上,则该球的表面积为( A. 4π B. 8π C. 12π
A. ?1 B. 8.实数 a = 0 是直线 (2a ? 1) x ? ay + 1 = 0 和 3 x + ay + 3 = 0 平行的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件

D. ? )

11 4

D. 16π )

D.既非充分也非必要条件 )

9. 将函数 y = cos( x ? A. x = π

1 2

π
3

) 的图像向左平移

π
6

个单位, 所得函数图像的一条对称轴为 ( C. x = )

2 3π 1 10.已知 π < α < , cos 2α = , 则 sin α = ( 2 3

B. x =

π

π
8

D. x =

π
9

A. ?

3 3

B.

3 3

C

6 3

D. ?

6 3

11.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积为(
2 正视图



2 3
侧视图

A.6

俯视图

B.2

C

8 3 3

D. 8 3

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 都有 f ( ? x ) = f ( x ) ,且满足 f ( x + 2) = f ( x ? 2) .若当

x ∈ (0, 2) 时, f ( x) = lg( x + 1) ,则有(
A. f ( ) > f (1) > f ( ? )

) B. f ( ? ) > f ( ) > f (1)

3 2 3 7 C. f (1) > f ( ? ) > f ( ) 2 2

7 2

3 7 2 2 3 7 D. f ( ? ) > f (1) > f ( ) 2 2

小题, 二、填空题:( 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 填空题: 13.函数 f ( x) =

4 ? x 2 + ( x ? 1)0 的定义域为__________

14. 设 i, j 是 平 面 直 角 坐 标 系 内 分 别 与 x 轴 、 y 轴 正 方 向 相 同 的 两 个 单 位 向 量 , 已 知

a = 3i ? j , b = mi ? 3 j , m 为实数) a ⊥ b ,则 b = _______ ( ,且
15.直线 y = x + 2 经过椭圆 率为_________ 16. 已知 a、b、c 为三条不重合的直线, α、β 、γ 为三个不重合的平面,下列四个命题 ①若 a // α , a // β ,则 α // β ;②若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , 则 α // β ③若 a // b, b ⊥ c 则 a ⊥ c ;④若 α // β , β // γ , a ⊥ α ,则 a ⊥ γ ;⑤若 a、 与平面 α 所成的 b 角相等,则 a // b .其中正确命题的序号是___________ 小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:( 本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 解答题: 17. ?ABC 的三个顶点为 A( ?3, 0), B (2,1), C ( ?2, 3) . 求: (1) BC 边上的中线 AD 所在直线的方程; (2) BC 边上的垂直平分线 DE 的方程.

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点和一个顶点,则椭圆的离心 a2 b2

18.已知函数 f ( x) = sin

x 3π x ? 3 sin( + ) + a , x ∈ R . 2 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期,并求其单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 在 x ∈ [? π , π ] 上的最大值和最小值之和为 5,求 a 的值. 3 3

19.如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1 = AD = a ,AB = 2a , 、 分别为 C1 D1 、 E F

A1 D1 的中点.
(1)求异面直线 AF 和 B1 B 所成角的余弦值. (2)求证: DE ⊥ 平面 BCE ; (3)求证: AF // 平面 BDE .

D1 F

E

C1

A1
D A

B1 C B

20.

?ABC











A, B, C















a, b, c . m = (1,1), n = (sin B sin C ?

3 , cos B cos C ) , 且 m // n 2

(1)求 A 的大小; (2)若 a = 1, b = 3c .求 S ?ABC

21.已知命题 p : ?x ∈ R, 使 3 x + 2mx + m +
2

4 < 0 成立 3

命题 q : A = {m |︱ log 3 m ? 1 ︱ ≤ 1} , B = [m, m + 1], 且 B ? A 求使“ p ∨ q ”为假命题的实数 m 的取值范围.

22.设函数 f ( x) = ln x ? (1)当 a = b =

1 2 ax ? bx 2

1 时,求 f ( x) 的最大值; 2 1 2 a (2)令 F ( x) = f ( x) + ax + bx + (0 < x ≤ 3) ,以其图像上任意一点 P ( x0 , y0 ) 为切点的 2 x 1 切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

(3)当 a = 0, b = ?1 时,方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.

高三文科数学期中试卷参考答案 泉州一中 2010 届高三文科数学期中试卷参考答案
(本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 择题: ( 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. ) 题 号 答 案 1 0 A 1 D 1 2 D 1

1 D

2 C

3 A

4 B

5 B

6 A

7 C

8 A

9 B

小题, 二、填空题:( 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 填空题: 13.

[?2,1) ∪ (1, 2]

14.

10

15.

2 2

16.

③④

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:( 本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 解答题:

17.解:D(0,1) ? ? ? ? ? 2′ x y + =1 ?3 1 1 3-1 K BC = =-2-2 2 DE : y ? 1 = 2( x ? 0) lAD : 即x-3y+3=0-----6′ ∴ K DE = 2 ? ? ? ?10′ 即2x-y+1=0---12′

x x + 3 cos + a ? ? ? ?2′ 2 2 x π = 2 sin( + ) + a ? ? ? ? ? 4′ 2 3 2π (1)T = = 4π ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5′ 1 2 x π π π 令 ? + 2 kπ ≤ + ≤ + 2 k π k ∈Z 2 2 3 2 5π π ? + 4 kπ ≤ x ≤ + 4 kπ 3 3 5π π ∴ y = f ( x)的增区间:[ ? + 4kπ , + 4kπ ] k ∈ Z ? ? ? ?8′ 3 3 π x π π π π (2) ? ≤ x ≤ ∴ ≤ + ≤ ? ? ? ? ? ? ? 9′ 3 3 6 2 3 2 1 x π ∴ ≤ sin( + ) ≤ 1 2 2 3 ∴ f max ( x) = a + 2 f min ( x) = a + 1 ? ? ? ? ? 11′ 18. f ( x) = sin ∴ (a + 2) + (a + 1) = 5 得a = 1 ? ? ? ? ? ? ? 12′

19.(1) ∵ B1 B // A1 A

∴∠A1 AF (或其补角)就是AF 与B1 B所成的角 ? ? ? ?2′ ∴ A1 A ⊥ A1 F

∵ A1 A ⊥ 面A1 B 1 C1 D1 Rt ?FA1 A中 A1 F =

a 5 A1 A = a ∴ AF = a 2 2 AA a 2 5 ∴ cos ∠A1 AF = 1 = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4′ AF 2 5 a 2 (2)在Rt ?DD1E与Rt ?EGC中 得:DE=EC= 2a 而DC = 2a ∴∠DEC = 900 即DE ⊥ EC-----------------6′ ∴ BC ⊥ DE ? ? ? 7′ 又BC ⊥ 面DCGD1 DE ? 面DCGD1 又 ∵ EC ∩ BC ∴ DE ⊥ 面BCE---------------8′ (3)连接EF ,设AC ∩ BD=G 连接GE 1 由已知得EF // A1C1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9′ == 2 而 ∵ A1A // GC ∴?A1ACG中有A1G // AC
== ==

1 ∴ EF // AC 即EF // AG ∴? EFAG中AF//EG-----10′ == 2 == AF ? 面BDE EG ? 面BDE ∵ AF//EG ∴ AF//面BDE---------------------------------12′

20.(1) ∵ m // n

3 ? cos B cos C = 0 ? ? ? ?2′ 2 3 ∴ cos( B + C ) = ? -------------------------4′ 2 3 ∴ cos A = ∴ A=300 ? ? ? ? ? ? ? 6′ 2 (2)a 2 = b 2 + c 2 ? 2b cos A b = 3c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ∴ sin B sin C ? ∴c2 = 1 ∴ c = 1 b = 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10′ 1 3 S = bc sin A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12′ 2 4

4 21. p : ? = 4m ? 12(m + ) > 0 ----------------2′ 3 ∴ m > 4或m < ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3′ q : -1 ≤ log 3 m ? 1 ≤ 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4′ 0 ≤ log 3 m ≤ 2 1 ≤ m ≤ 9------------------------------6′ ∵B ? A ∴

{

m ≥1 m+1≤9

1 ≤ m ≤ 8 ? ? ? ? ? ? ? ?8′

∴ p与q都是假命题--------------10′ ∴{ -1≤ m ≤ 4 m<1或m>8
22.

∴ -1 ≤ m<1--------------------------------12′

解: (Ⅰ)依题意,知 f ( x) 的定义域为 ( 0, +∞ ) . ……………………………(1 分) 当a = b =
1 1 1 时, f ( x) = ln x ? x 2 ? x, 2 4 2 1 1 1 ?( x + 2)( x ? 1) f ′( x) = ? x ? = . ……………………………(2 分) x 2 2 2x

令 f ′( x) = 0, 解得 x = 1 . 当 0 < x < 1 时, f ′( x) = 0, ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x > 1 时, f ′( x) = 0, ,此时 f ( x) 单调递减;…………………(3 分)
3 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) = ? , 此即为最大值.………………(4 分) 4 a (Ⅱ) F ( x) = ln x + , x ∈ ( 0, 3] , x

所以 k = F ′( x0 ) =

x0 ? a 1 ≤ ,在 x0 ∈ ( 0,3] 上恒成立,……………(6 分) x0 2 2

? 1 ? 所以 a ≥ ? ? x0 2 + x0 ? , x0 ∈ ( 0,3] ………………………………(7 分) ? 2 ?max
1 1 1 当 x0 = 1 时, ? x0 2 + x0 取得最大值 ,所以 a ≥ . ……………(9 分) 2 2 2

(Ⅲ)因为方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解,所以 x 2 ? 2m ln x ? 2mx = 0 有唯一实 数 解 , 设 g ( x) = x 2 ? 2m ln x ? 2mx, 则 g ′( x) = x 2 = mx ? m = 0.
2 x 2 ? 2mx ? 2m . x

令 g ′( x) = 0 , 得

因为 m > 0, x > 0,

m ? m 2 + 4m m + m 2 + 4m 所以 x1 = < 0 (舍去) x2 = ,…………(10 分) 2 2
当 x ∈ (0, x2 ) 时, g ′( x) < 0, g ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减, 当 x ∈ ( x2 + ∞) 时, g ′( x) > 0, g ( x) 在 ( x2 , +∞) 单调递增,
当 x = x2 时, g ′( x2 ) = 0,

g ( x) 取最小值 g ( x2 ) ……………………………(11 分)

因为 g ( x) = 0 有唯一解,所以 g ′( x2 ) = 0 .

? x2 2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 = 0 ? g ( x2 ) = 0 ? 则? ,即? 2 ? x2 ? mx2 ? m = 0 ? g ′( x2 ) = 0 ?

所以 2m ln x2 + mx2 ? m = 0, 因为 m > 0, 所以 2 ln x2 + x2 ? 1 = 0 设函数 h( x) = 2 ln x + x ? 1, 因为当 x > 0 时, h( x) 是增函数,所以 h( x) = 0 至多有一解.……(13 分) 因为 h(1) = 0, 所以方程(*)的解为 x2 = 1 ,即 (*)………………………(12 分)

m + m 2 + 4m = 1, 2

1 解得 m = . …………………………………………………………(14 分) 2


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