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专题+不等关系与不等式--讲义


主要考点梳理
不等式的性质: 不等式的性质依功能可分三类: Ⅰ(1) a ? b ? b ? a (2) a ? b, b ? c ? a ? c Ⅱ用于对一个不等式作等价变换的性质: (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (4) c ? 0, a ? b ? ac ? bc (5) c ? 0, a ? b ? ac ? bc (6) a ? 0, b ? 0, a ? b ? a n ? bn (7) a ? 0, b ? 0, a ? b ? n a ? n b Ⅲ用于对两个不等式作运算的性质: (8) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (9) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? a b

易错小题一 题面:判断命题真假,并说明理由. (1)若 a>b,则 a+b>b-c; (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (3)若 a>b,e>f,c<0,则 a-ce>b-cf;

1 1 ? 2 ; 2 ab ab a b (5)设 a,b∈R,则 ab≠0 若 <1,则 >1. b a
(4)当 ab≠0 时,a<b 则 易错小题二 题面:若角 ? , ? 满足 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,则 2? ? ? 的取值范围是________.

金题精讲
题一 题面:已知 x<y<0,比较(x2-y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.

题二 题面:已知 c>a>b>0,求证:

a b ? . c?a c?b

题三 题面:设 f ( x) ? ax ? bx ,且 1≤f(-1) ≤2,2≤f(1) ≤4,求 f(-2)的取值范围.
2

题四 题面:设 a>0,a≠1,t>0,比较

1 t ?1 log a t 与 log a 的大小. 2 2

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课后拓展练习
注:此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目,故不在课堂中讲解,请同 学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一 题面:设 a+b<0,且 a>0,则( A.a2<-ab<b2 C.a2<b2<-ab ). B.b2<-ab<a2 D.ab <b2<a2

题二 题面:如果 a>0,且 a≠1, M=loga(a3+1),N= loga(a2+1)那么( A.M>N B.M<N C.M=N D.M、N 的大小无法确定

).

题三 题面:若

1 1 b a a+b<ab;② a > b ; ③ a<b;④ + > 2 < < 0 ,则下列不等式 ① a b a b
D.4 个

正确的不等式有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个

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讲义参考答案
主要考点梳理
易错小题题一 答案:(1)假 (2)真 (3)真 (4)假 (5)假

易错小题题二 答案: ? ? ? 2? ? ? ?

3 2

?
2

金题精讲
题一 答案:(x2-y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

题二 证明:略

题三 答案:5≤f(-2) ≤10

题四 答案:当 t=1 时,

1 t ?1 log a t = log a ; 2 2

当 t>0 且 t≠1 时,若 a>1 则 log a 若 0<a<1,则 log a

t ?1 1 < log a t . 2 2

t ?1 1 > log a t ; 2 2

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课后拓展练习
题一 答案:A. 详解:∵ a+b<0,且 a>0,∴ 0<a<-b,∴ a2<-ab<b2.

题二 答案:A. 详解:∵(a3+1)-(a2+1)=a2(a-1), ∴(1)当 a>1 时,a-1>0∴a3+1>a2+1,因 y=logax 在(0,+∞)上递增,∴M>N. (2)当 0<a<1 时,a-1<0∴a3+1<a2+1,因 y=logax 在(0,+∞)上递减,∴M>N. 综上(1)(2)知:M>N.

题三 答案:B.

1 1 1 1 ? ? 0,∴ a<0,b<0,a>b ∴ ab>0 将①式两边同除以 ab 得. < < 1,显然成立; a b a b b a b a 又 0>a>b\ a < b ,∴ ② 错;③ 错;∵ ? 0, ? 0 且 a≠b,由均值不等式得 ? ? 2 , a b a b
详解: 故④正确.

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