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高三复习提纲——《平面向量》

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高三复习提纲——《平面向量》
一、常用结论 (一)向量的几何运算
1、 OA ? OB ? BA, OA ? AB ? OB, OA ? OB ? 2OM (M 为 AB 中点)
2、数量积: a ? b ? a b cos? , a 在 b 方向上的投影= a cos? ? a ? b b

3、不等关系: a ? b ? a b ; a ? b ? a ? b ? a ? b (二)平面向量的坐标运算
1、 a ? ? x, y? ? a ? xi ? y j ;2、 OA ? ? x, y? ? A? x, y? ;

3、 A? x1, y1 ?, B? x2, y2 ? ? AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ; AB ? ? x2 ? ?x1 2 ? ? y2 ? ?y1 2 ;

4、若 a ? ? x1, y1 ?, b ? ? x2, y2 ?, ? ? R ,则

(1) a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? ;(2) ?a ? ??x1,? y1 ? ;(3) a ? x12 ? y12 ;

(4) a ?b ? x1x2 ? y1y2 ; (6) a // b ? x1y2 ? x2 y1 ;

(5) cos? ?

x1x2 ? y1 y2



x12 ? y12 ? x22 ? y22

(7) a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0;

二、对向量夹角的考查( cos? ? a ? b ) ab

1、记号:? = ? a,b ? ;
2、范围:? ??0,? ?,? ? 0 ?同向;? =? ? 反向;? ? ? ? 垂直 ;
2 3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点; O 4、 ? OA,OB ?? ?AOB; ? AO, BO ?? ?AOB; ? OA, AB ?? ? ? ?AOB .
? ? 5、 ? a,b ? 为直角: a ?b ? 0 其中a, b ? 0 ;
6、 ? a,b ? 为锐角: a ? b ? 0 且 a ? ?b;?? ? 0?
7、 ? a,b ? 为钝角: a ? b ? 0 且 a ? ?b?? ? 0?
[范例解析] 1、已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c.
(1)求 b 和 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m 与向量 n 的夹角的大小.

A
a

b

B

2、已知 a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若 a 和 c 的夹角是锐角,则 λ 的取值范围是( )

A.???-52,+∞???

B.???-∞,-52???

C.{0}

D.???-52,0???∪(0,+∞)

3、已知 a=(1,0),b=(0,1),当 k 为整数时,向量 m=ka+b 与 n=a+kb 的夹角能否为 60°? 证明你的结论.

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三、对向量的模的考查:1、 a ?

2
a

;2、若 a

?

? x,

y?

,则

a

?

x2 ? y2 ;3、 a 的含义

[范例解析]

? ? 4、已知 a1, a2 均为单位向量,那么若 a1 ? a2 ? 3,1 ,则 a1 ? _____________.

5、设 e1, e2

为单位向量,非零向量 b ?

xe1 ?

ye2, x, y ? R,若 e1,e2

的夹角为 ? 6



则 | x | 的最大值等 |b|

于________.

6、在△ABC 中,若对任意 k∈R,有|B→A-kB→C|≥|A→C|,则△ABC 的形状是(

)

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

7、在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy=45°,点 P 的斜坐标定义为“若 OP =x0e1+y0e2(其中 e1,

e2 分别为与斜坐标系的 x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点 P 的坐标为(x0,y0)”.若 F1(-

1,0),F2(1,0),且动点 M(x,y)满足| MF1 |=| MF2 |,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )

A.x- 2y=0

B.x+ 2y=0 C. 2x-y=0

D. 2x+y=0

8、已知向量 OA =(λcos α,λsin α)(λ≠0), OB =(-sin β,cos β),其中 O 为坐标原点. (1)若 α-β=π6且 λ=1,求向量 OA 与 OB 的夹角; (2)若| AB |≥2| OB |对任意实数 α,β 都成立,求实数 λ 的取值范围.

四、对向量共线的考查
1、定理:若 a ? 0 ,则 b//a ? 存在唯一实数 ? 使得 b ? ?a ( ? 符号代表方向, ? ? b ) a
2、 A, B,C 共线 ? AB // AC ? OC ? ?OA ? ?OB 且? ? ? ?1?O?直线AB?

[范例解析]

9、已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则xx21++yy21的值为(

)

2 A.3

B.-23

5 C.6

D.-56

10、设 a、b 是不共线的两个非零向量,

(1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线;

(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值;

(3)设 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0,

αβ 若 M、P、N 三点共线,求证:m+n=1.

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11、如图,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分

点,求证:M、N、C 三点共线.

五、向量与三角形

1、角的定性: AB ? AC ? 0 ? A为直角; AB ? AC ? 0 ? A为锐角; AB ? AC ? 0 ? A为钝角

2、判定形状:锐角(或直角、钝角) ? ,等腰 ? ,等边 ? ,等腰非等边 ? ,…

3、若三角形的三线(中线、高线、内角平分线)中有两线合一,则 ? 必为等腰三角形;

4、若三角形的四心(重心、垂心、内心、外心)中有两心合一,则 ? 必为等边三角形;

5、四心结论: G为重心 ? GA ? GB ? GC ? 0 ;

O为外心

?

2
OA

?

2
OB

?

2
OC



[范例解析]

H为垂心 ? HA? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ; I为内心 ? aIA ? bIB ? cIC ? 0 .

12、在△ ABC 中,( BC + BA )·AC =| AC |2,则三角形 ABC 的形状一定是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形

D.等腰直角三角形

13、已知 O 为△ABC 所在平面内一点,满足| OA |2 ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 =| OC |2 ? | AB |2 ,

则 O 点是△ABC 的( )

A. 垂心

B. 重心

C. 内心

D. 外心

14、已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足

OP

=

1 3

(

1 2

OA

+

1 2

OB + 2OC

),则点

P

一定为三角形

ABC

的(



A. AB 边中线的中点

B. AB 边中线的三等分点(非重心)

C. 重心

D. AB 边的中点

六、解决向量问题的常用思路

1、基底法:在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底 a, b ,其余所有向量全部均

可用 a, b 唯一表示,利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。

2、坐标法:根据题意,建系设点,把向量的起点确定下来,利用坐标把几何问题转化为

代数问题进行求解。

3、几何法:利用向量中的几何特征,如夹角、距离(模、投影)、平行、垂直,利用三

角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。

[范例解析]

15、在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点,

则 AE ·AF 的最大值为________.





16、如图,O、A、B 是平面上的三点,向量OA=a,OB=b,设 P 为线段 AB 的



垂直平分线上任意一点,向量OP=p.若|a|=4,|b|=2,则 p·(a-b)等于( )

A.1

B.3

C.5

D.6

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七、平面向量与三角函数的交汇 三角函数与向量的结合,常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合,向量与三
角函数的图像与性质的结合等几个方面. [范例解析] 17、设向量 a、b 的夹角是 x,|a|=12,|b|=3,m 是 b 在 a 方向上的投影,求函数 y=|a|m 的最 大值和最小值.

18、已知向量

(1)

a?

?

? b

? a

?

??

?



? a

cos ?
?b

3 2
;

x, s in

3 2

x

??, b? ?

?

?? ?

cos

x 2

,?

sin

x 2

?? ?

,且

x

?

???0,

? 2

? ??

,求

(2)若

f

?x?

?

? a

? ?b

?

2?

? a

?

? b

的最小值是

?

3

,求实数 ?

的值.

2

19、设 a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β)

? ??

?

>0,0<?

<?

<

? 2

? ??

是平面上的两个向量,

若向量 a+b 与 a-b 互相垂直.

(1)求实数 λ 的值;

(2)若 a·b=45,且 tan β=43,求 tan α 的值.

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复习提纲——《平面向量》
一、常用结论 (一)向量的几何运算
1、 OA ? OB ? BA, OA ? AB ? OB, OA ? OB ? 2OM (M 为 AB 中点)
2、数量积: a ? b ? a b cos? , a 在 b 方向上的投影= a cos? ? a ? b b

3、不等关系: a ? b ? a b ; a ? b ? a ? b ? a ? b (二)平面向量的坐标运算
1、 a ? ? x, y? ? a ? xi ? y j ;2、 OA ? ? x, y? ? A? x, y? ;

3、 A? x1, y1 ?, B? x2, y2 ? ? AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ; AB ? ? x2 ? ?x1 2 ? ? y2 ? ?y1 2 ;

4、若 a ? ? x1, y1 ?, b ? ? x2, y2 ?, ? ? R ,则

(1) a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? ;(2) ?a ? ??x1,? y1 ? ;(3) a ? x12 ? y12 ;

(4) a ?b ? x1x2 ? y1y2 ; (6) a // b ? x1y2 ? x2 y1 ;

(5) cos? ?

x1x2 ? y1 y2



x12 ? y12 ? x22 ? y22

(7) a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0;

二、对向量夹角的考查( cos? ? a ? b ) ab

1、记号:? = ? a,b ? ;
2、范围:? ??0,? ?,? ? 0 ?同向;? =? ? 反向;? ? ? ? 垂直 ;
2 3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点; O 4、 ? OA,OB ?? ?AOB; ? AO, BO ?? ?AOB; ? OA, AB ?? ? ? ?AOB .
? ? 5、 ? a,b ? 为直角: a ?b ? 0 其中a, b ? 0 ;
6、 ? a,b ? 为锐角: a ? b ? 0 且 a ? ?b?? ? 0? ;
7、 ? a,b ? 为钝角: a ? b ? 0 且 a ? ?b?? ? 0?
[范例解析]

A
a

b

B

1、已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c.

(1)求 b 和 c;

(2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m 与向量 n 的夹角的大小.

[解析] (1)∵a∥b,∴3x-36=0.∴x=12.

∵a⊥c,∴3×4+4y-0=0.∴y=-3.

∴b=(9,12),c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),

设 m,n 的夹角为 θ,则 cosθ=|mm|·|nn|



?--3?32+×?7-+4??-2×4?×712+12=2-5 252=-

2 2.

∵θ∈[0,π],∴θ=34π,即 m,n 的夹角为34π.

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2、已知 a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若 a 和 c 的夹角是锐角,则 λ 的取值范围是( D )

A.???-52,+∞???

B.???-∞,-52???

C.{0}

D.???-52,0???∪(0,+∞)

[解析]

??a·c=1+λ+3(3+λ)>0 由条件得,c=(1+λ,3+λ),从而???1+1 λ≠3+3 λ

?λ∈???-52,0???∪(0,+∞). 3、已知 a=(1,0),b=(0,1),当 k 为整数时,向量 m=ka+b 与 n=a+kb 的夹角能否为 60°? 证明你的结论.

[解析] 假设 m、n 的夹角能为 60°,则 cos60°=|mm|·|nn|,∴m·n=12|m||n|.①

又∵a=(1,0),b=(0,1), ∴|a|=|b|=1,且 a·b=0. ∴m·n=ka2+a·b+k2a·b+kb2=2k,②

|m||n|= k2a2+2ka·b+b2· a2+2ka·b+k2b2=k2+1.③

由①②③,得 2k=12(k2+1).∴k2-4k+1=0. ∵该方程无整数解. ∴m、n 的夹角不能为 60°.

三、对向量的模的考查

1、 a ?

2
a

;2、若 a

?

? x,

y?

,则

a

?

x2 ? y2 ;3、 a 的含义

[范例解析]
? ? 4、已知 a1, a2 均为单位向量,那么若 a1 ? a2 ? 3,1 ,则 a1 ? _____________.

答案:由已知可得

a1

?

a2

,故

a1

?

? ??

?

3 2

,

1 2

? ???

.

5、设 e1, e2

为单位向量,非零向量 b ?

xe1 ?

ye2, x, y ? R,若 e1,e2

的夹角为 ? 6



|x|
则 的最大值等
|b|

于________.

【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论,即 |

2
a|

?

2
a

,很多问题中要求向量的模都是通过求向量

的平方来求解的。此题中利用

|

a

2
|

?

2
a

求出

|

b

2
|

,然后求出

(|

x

|)2

的表达式,最后利用函数最值的求法

|b|

即可求出答案

;即由已知得

到:

2
b

?| b |2 ?

(xe1

?

ye2 )2

?| b |2 ?

x2

?

y2

?

2xy

?

3? 2

| x |2
2
b

?

x2

?

x2 y2 ?

3xy

?

1?

1

y2 x2

?

,设t ? y ?(t2 ?

3y

x

x

3t ?1) min

? 1 ? x2 的最大值 4 | b |2

为 4,所以答案是 2。

6、在△ABC 中,若对任意 k∈R,有|B→A-kB→C|≥|A→C|,则△ABC 的形状是( B )

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A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

7、在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy=45°,点 P 的斜坐标定义为“若 OP =x0e1+y0e2(其中 e1,

e2 分别为与斜坐标系的 x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点 P 的坐标为(x0,y0)”.若 F1(-

1,0),F2(1,0),且动点 M(x,y)满足| MF1 |=| MF2 |,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )

A.x- 2y=0

B.x+ 2y=0 C. 2x-y=0

D. 2x+y=0

解析:选 D 依题意, MF1 =(-1-x,-y)=(-1-x)e1-ye2, MF2 =(1-x,-y)=(1-x)e1-ye2,由| MF1 |=| MF2 |,得 MF1 2= MF2 2, ∴[(-1-x)e1-ye2]2=[(1-x)e1-ye2]2,∴4x+4ye1·e2=0.

∵∠xOy=45°,∴e1·e2= 22,故 2x+ 2y=0,即 2x+y=0.

8、已知向量 OA =(λcos α,λsin α)(λ≠0), OB =(-sin β,cos β),其中 O 为坐标原点.

(1)若 α-β=π6且 λ=1,求向量 OA 与 OB 的夹角;

(2)若| AB |≥2| OB |对任意实数 α,β 都成立,求实数 λ 的取值范围.

解:(1)当 λ=1 时, OA =(cos α,sin α),

故| OA |= cos2α+sin2α=1,| OB |= ?-sin β?2+cos2β=1.

OA ·OB =cos α·(-sin β)+sin αcos β=sin(α-β)=sin6π=12,



cos〈

OA



OB

〉= |

OA OA

·OB || OB

|=12.

又因为〈 OA , OB 〉∈[0,π],所以〈 OA , OB 〉=π3.

(2) AB = OB - OA =(-λcos α-sin β,-λsin α+cos β),

故| AB |≥2| OB |对任意实数 α,β 都成立,即(-λcos α-sin β)2+(-λsin α+cos β)2≥4

对任意实数 α,β 都成立, 整理得 λ2+1+2λsin(β-α)≥4 对任意实数 α,β 都成立.

?λ>0,

?λ<0,

因为-1≤sin(β-α)≤1,所以??λ2+1-2λ≥4 或??λ2+1+2λ≥4,

解得 λ≥3 或 λ≤-3.

所以所求实数 λ 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).

四、对向量共线的考查

1、定理:若 a ? 0 ,则 b//a ? 存在唯一实数 ? 使得 b ? ?a ( ? 符号代表方向, ? ? b ) a

2、 A, B,C 共线 ? AB // AC ? OC ? ?OA ? ?OB 且? ? ? ?1?O?直线AB?

[范例解析]

9、已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则xx21++yy21的值为(

)

2 A.3

B.-23

5 C.6

D.-56

解析:选 B 由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,

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即 3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得 x1=-23x2,y1=-23y2,故xx12++yy12=-23. 10、设 a、b 是不共线的两个非零向量,

(1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值;

(3)设 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0, αβ
若 M、P、N 三点共线,求证:m+n=1. 解:(1)证明:∵ AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB , ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ,使得(8a+kb)=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b =0,

∵a 与 b 不共线,

?8 ??k

? ?k ? 2?

? ?

0 0

?

8

?

2?

?

?2



k

?

2?

?

? 4.

(3)证明:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得 MP ? ? PN ,

∴ OP

?

OM ? ?ON 1? ?

m

λn

=1+λa+1+λb.

∵a、b

不共线,∴

???? ?

??? ?

?m 1? ?
? ?n 1? ?



αβ 1 λ ∴m+n=1+λ+1+λ=1.





11、如图,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分 点,求证:M、N、C 三点共线.
→→→

[解析] 在△ABD 中,BD=AD-AB,







因为AB=a,AD=b,所以BD=b-a.

→→ ∵N 点是 BD 的三等分点,∴BN=13BD=13(b-a).



→→→

∵BC=b,∴CN=BN-BC=13(b-a)-b=-13a-23b. ①

→ ∵M 为 AB 中点,∴MB=12a,

∴C→M=-M→C=-(M→B+B→C)=-???12a+b???=-12a-b. ②

→→

→→

由①②可得:CM=32CN. 由共线向量定理知:CM∥CN,

→→

又∵CM与CN有公共点 C,∴C、M、N 三点共线.

五、向量与三角形

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1、角的定性: AB ? AC ? 0 ? A为直角; AB ? AC ? 0 ? A为锐角; AB ? AC ? 0 ? A为钝角

2、判定形状:锐角(或直角、钝角) ? ,等腰 ? ,等边 ? ,等腰非等边 ? ,…

3、若三角形的三线(中线、高线、内角平分线)中有两线合一,则 ? 必为等腰三角形;

4、若三角形的四心(重心、垂心、内心、外心)中有两心合一,则 ? 必为等边三角形;

5、四心结论: G为重心 ? GA ? GB ? GC ? 0 ;

O为外心

?

2
OA

?

2
OB

?

2
OC



H为垂心 ? HA? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ; I为内心 ? aIA ? bIB ? cIC ? 0 .

[范例解析]

12、在△ ABC 中,( BC + BA )·AC =| AC |2,则三角形 ABC 的形状一定是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形

D.等腰直角三角形

2
解析:由 (BC ? BA) AC ? AC ,

得AC (BC ? BA ? AC ) ? 0, ∴ AC ⊥ BA ,∴∠A=90°. 即AC (BC ? BA ? CA) ? 0,

答案:C

13、已知 O 为△ABC 所在平面内一点,满足| OA |2 ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 =| OC |2 ? | AB |2 ,

则 O 点是△ABC 的( A )

A. 垂心

B. 重心

C. 内心

D. 外心

解:由已知得 | OA |2 ? | OB |2 ?| CA |2 ? | BC |2

? (OA ? OB) ? (OA ? OB) = (CA ? BC) ? (CA ? BC)
? BA ? (OA ? OB) = (CA ? CB) ? BA ? BA? (OA ? OB ? AC ? BC) = 0

? BA? 2OC = 0,∴ OC ⊥ BA . 同理 OA ? CB , OB ? AC . 故选 A .

14、已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足

OP

=

1 3

(

1 2

OA

+

1 2

OB + 2OC

),则点

P

一定为三角形

ABC

的(

B



A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点(非重心) C. 重心

D. AB 边的中点

解析:取 AB 边的中点 M,则 OA ? OB ? 2OM ,由 OP = 1

1 (

OA + 1 OB +2 OC

)可得

32

2

OP ? 1 OM ? 2 MC ,∴ MP ? 2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且

3

3

3

点 P 不过重心,故选 B.

六、解决向量问题的常用思路 1、基底法:在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底 a, b ,其余所有向量全部均
可用 a, b 唯一表示,利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。 2、坐标法:根据题意,建系设点,把向量的起点确定下来,利用坐标把几何问题转化为
代数问题进行求解。 3、几何法:利用向量中的几何特征,如夹角、距离(模、投影)、平行、垂直,利用三

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角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。

[范例解析]

15、在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点,

则 AE ·AF 的最大值为________. 解析:以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,

建立平面直角坐标系,则 E???2,12???.设 F(x,y),

则???00≤≤xy≤≤21,, AE ·AF =2x+12y.

令 z=2x+12y,当 z=2x+12y 过点(2,1)时, AE ·AF 取最大值92. 答案:92





16、如图,O、A、B 是平面上的三点,向量OA=a,OB=b,设 P 为线段 AB 的垂直平分线



上任意一点,向量OP=p.若|a|=4,|b|=2,则 p·(a-b)等于( )

A.1

B.3

C.5 [答案] D

D.6

→ → →→

→→→ →→ →

[解析] 由图知CP⊥BA,则CP·BA=0,p=OP=OC+CP=12(OA+OB)+CP,

则 p·(a-b)=???12?a+b?+C→P???·(a-b)=12(a+b)·(a-b)+C→P·(a-b)=12(a2-b2)+C→P·B→A=12

(|a|2-|b|2)+0=12(42-22)=6.

七、平面向量与三角函数的交汇

三角函数与向量的结合,常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合,向量与三

角函数的图像与性质的结合等几个方面.

[范例解析]

17、设向量 a、b 的夹角是 x,|a|=12,|b|=3,m 是 b 在 a 方向上的投影,求函数 y=|a|m 的最

大值和最小值.

[解析] 由题意得 m=|b|cosx=3cosx,∴y=|a|m=(12)3cosx.

由 0≤x≤π,得-3≤3cosx≤3, ∴18≤y≤8.故 ymax=8,ymin=18.

18、已知向量

(1)

? a

?

? b

? a

?

??

?



? a

cos ?
?b

3 2
;

x,

sin

3 2

x

??, b? ?

?

?? ?

cos

x 2

,?

sin

x 2

?? ?

,且

x

?

???0,

? 2

???,



(2)若

f

?x?

?

? a

? ?b

?

2?

? a

?

? b

的最小值是

?

3

,求实数 ?

的值.

解析:

(1)易求

? a

?

? b

?

cos 2 x

,

??

2

a ? b = 2cosx ;

(2)

f

?x? ?

? a

? ?b

?

2?

? a

? ?b

= cos2x

? 2?

? 2cosx = 2cos2

x

?

4? cosx

?1

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= 2?cos x ? ? ?2 ? 2?2 ?1

?

x

?

???0,

? 2

? ??

从而 当 ? ? 0 时, f ?x?min ? ?1 与题意矛盾, ? ? 0 不合题意;

?c o sx ??0,1?

当0

?

?

? 1 时,

f

?x?min

?

?2?2

?1?

?

3 ,?? 2

?

1 2

;

当?

? 1 时,

f

?x?min

?1?

4?

?

?

3, 2

解得 ?

?

5 8

,不满足 ?

?1;

综合可得: 实数 ? 的值为 1 . 2

19、设 a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β)

? ??

?

>0,0<?

<?

<

? 2

? ??

是平面上的两个向量,

若向量 a+b 与 a-b 互相垂直.

(1)求实数 λ 的值;

(2)若 a·b=45,且 tan β=43,求 tan α 的值.

解:(1)由题设,可得(a+b)·(a-b)=0,即|a|2-|b|2=0.

代入 a,b 的坐标,可得 cos2α+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0,

所以(λ-1)2sin2α-sin2α=0.

因为 0<α<2π,故 sin2α≠0,所以(λ-1)2-1=0,

解得 λ=2 或 λ=0(舍去,因为 λ>0). 故 λ=2.

(2)由(1)及题设条件,知 a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=45.

因为 0<α<β<2π,所以-π2<α-β<0.

所以 sin(α-β)=-35,tan(α-β)=-34.

所以 tan α=tan[(α-β)+β]=1t-an?taαn-?αβ-?+β?ttaannββ=1--???-34+34???43×43=274.

所以 tan α=274.


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