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2012-2013学年厦门市高一下学期7月期末质检考数学试卷及参考答案


厦门市 2012-2013 学年(下)高一质量检测
一、选择题 1.已知 ? ? x ? 2? , cos x ? A. ?

1 ,则 sin x ? ( 2
3 2
C.



1 2

B. ?

1 2

D.

3 2
) D. x ? 2 y ? 1 ? 0 )

2.过点 (3, ?1) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0

C. 2 x ? y ? 5 ? 0

3.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥的体积是(

A. 1cm

3

B. 2cm

3

C. 3cm

3

D. 6cm )

3

4.已知 a ? (2,1), b ? ( ?1, ?3) ,则 a ? b 等于( A. 5 B. 7 C.5

?

?

?

?

D.25 )

5. 对于 a ? R , 直线 ( x ? y ? 1) ? a( x ? 1) ? 0 恒过定点 P , 则以 P 为圆心, 5 为半径的圆的方程是 ( A. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

B. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

C. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

6.设 A 为 ?ABC 的一个内角且 sin( A ? A.

? 6

B.

? 4

7.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? cos A ,则 A ? ( 6 ? ? C. D. 3 2


?



) ,则下列命题正确的是(

A.函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ? B.函数 y ? f ( x) 在区间 ( ?

?
4

, 0) 对称

?
2

, 0) 上是增函数
高一数学答案 第1页 共9页

C.函数 y ? f ( x ?

?
8

) 是偶函数

? 个单位得到函数 y ? f ( x) 的图象 4 ???? ???? ? ? 2 2 8.已知圆 O : x ? y ? 0 ,直线 l 与圆 O 交于 M , N 两点,且 MN ? 4 ,则 MN ?MO ? (
D.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 A.2 B.3 C.4 D.8 ) 9.设 m, n 是不同的直线 ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题(





? / /? ? ? ? ? / /? ? / /? ?



? ??? m ??? m / /? ? ?? m ?? ③ ?? m ? n ④ ? ? m / /n m? ?? n / /? ? n ?? ?
C.②③
2 2

其中错误的命题是 A.①② B.①③
2 2

D.②④ )

10.若圆 x ? y ? ax ? by ? c ? 0 与圆 x ? y ? 1关于直线 y ? 2 x ? 1 对称,则 a ? b ? ( A.-1 B. ?

12 5

C.1

D.

12 5

二、填空题 11.已知圆锥的母线长为 5,底面圆的半径为 3,则此圆锥的体积为__________(结果保留 ? ) 12.已知 cos( x ?

?

2

)?

1 ,则 cos 2x ? __________ 2

2 2 13.直线 l : y ? x 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相交 A, B 两点,则 AB ? __________

14.已知 sin x ? 2cos x ,则

1 ? ? __________ x x 1 ? tan 1 ? tan 2 2
2 2

1

15. 若圆 O1 : x ? y ? 5 与圆 O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A, B , 且两圆在点 A 处的切线互相垂
2 2

直,则线段 AB 的长是__________ 16.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边且 a ? 5, b ? 12,c ? 13,点 I 是 ?ABC 的内心,若

??? ? ???? ??? AB AC AI ? ? ( ??? ? ???? ) ,则 ? ? __________ ? AB AC

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三、解答题 17. 如图, 已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是正方形,EA ? 底面 ABCD ,FD / / EA , EA ? 2FD 。 且 (1)求证: CB ? 平面 ABE ; (2)连接 AC , BD 交于点 O ,取 EC 中点 G 。证明: FG / / 平面 ABCD 。

cos 18. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x? x ? 2cos x ? 1 。
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 sin x ? cos x ?

1 5? ,求 f (? ? ) 的值。 2 12

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19.已知动圆 C 经过点 A (2, ?3) 和 B(?2, ?5) 。 (1)当圆 C 面积最小时,求圆 C 的方程; (2)若圆 C 的圆心在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上,求圆 C 的方程。

20.设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,定义一种运算: a ? b ? ( x1 x2 , y1 y2 ) 。已知 p ? (

?

?

?

?

? ?

? ? 1 n ? ( ,? )。 4 2 ? ?? ? ? (1)证明: p ? m ? n ;

?? 1 , 2) , m ? ( ,1) , ? 2 8

?

?

(2)点 P( x0 , y0 ) 在函数 g ( x) ? sin x 的图象上运动,点 Q( x, y ) 在函数 y ? f ( x) 的图象桑运动,且满足

???? ?? ??? ? ? OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) ,求函数 f ( x) 的单调递减区间。

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21.如图,设计一个小型正四棱锥形冷水塔,其中顶点 P 在底面的射影为正方形 ABCD 的中心 O ,返水 口 E 为 BC 的中点,冷水塔的四条钢梁(侧棱)设计长度均为 10 米。冷水塔的侧面选用钢板,基于安全 与冷凝速度的考量,要求钢梁(侧棱)与底面的夹角 ? 落在区间 [ 最省且符合施工要求?

? ?

, ] 内,如何设计可得侧面钢板用料 6 3

22.如图,已知 P 是单位圆(圆心在坐标原点)上一点, ?xOP ? 于N 。 (1)比较 OM 与

?
3

,作 PM ? x 轴于 M , PN ? y 轴

? 的大小,并说明理由; 6

(2) ?AOB 的两边交矩形 OMPN 的边于 A, B 两点,且 ?AOB ?

?
4

OB ,求 OA? 的取值范围。

??? ??? ? ?

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厦门市 2012-2013 学年(下)高一质量检测

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: BAACB 6-10: CCDDB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 12? 12.

1 2

13. 3 2

14. ?2

15 4

16.

26 5
E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)? EA ? 底面 ABCD ,且 BC ? 面ABCD , ∴ EA ? BC . --------------------------------------------2 分 ---------------------3 分

F G A O B C D

正方形 ABCD 中, AB ? BC ,

EA ? AB ? A ,

? CB ? 平面 ABE . -----------------------------------------5 分

(Ⅱ )连接线段 OG .在三角形 AEC 中,中位线 OG / / AE ,且 AE ? 2OG ------------------------7 分 已知 EA ? 2FD , ? OG / / DF 且 OG ? DF , -------------------------------------------------------9 分 即平面四边形 DOGF 为平行四边形,----------------------------------------------------------------------10 分

? FG / /OD ,又? FG ? ABCD, OD ? ABCD ,-------------------------------------------------------11 分
? FG / / 面ABCD . --------------------------------------------------------------------------------------------12 分
18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ---------------------------------2 分
2

? 2sin(2 x ? ) ---------------------------------------------------------------------------------4 分 6 2? ? f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ? -----------------------------------------------------------------------6 分 2 1 1 3 (Ⅱ)? sin ? ? cos ? ? , ? sin 2? ? ? 1 ? ? -------------------------------------------------------9 分 2 4 4 5? 3 ? f (? ? ) ? 2sin(2? ? ? ) ? ?2sin 2? ? -----------------------------------------------------------12 分 12 2
19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)要使圆 C 的面积最小,则 AB 为圆 C 的直径,----------------------------------------------------2 分 圆心 C ? 0, ?4 ? ,半径 r ?

?

1 AB ? 5 -----------------------------------------------------------------------4 分 2
2 2

所以所求圆 C 的方程为: x ? ? y ? 4 ? ? 5 . --------------------------------------------------------------6 分
高一数学答案 第6页 共9页

(Ⅱ)法一:因为 k AB ?

1 , AB 中点为 ? 0, ?4 ? , 2
--------------------------------------------8 分

所以 AB 中垂线方程为 y ? 4 ? ?2 x ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 解方程组 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? x ? ?1 得: ? ,所以圆心 C 为 (?1, ?2) .-------------------------------10 分 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?2

根据两点间的距离公式,得半径 r ? 10 ,------------------------------------------------------------11 分 因此,所求的圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 10 . ------------------------------------------------12 分
2 2

法二:设所求圆 C 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

根据已知条件得

?(2 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r -------------------------------------------------------------------------------6 分 ?3a ? b ? 5 ? 0 ?

?a ? ?1 ? ? ?b ? ?2 --------------------------------------------------------------------------------------------------11 分 ?r 2 ? 10 ?
所以所求圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 10 . ---------------------------------------------------12 分
2 2

20. (本题满分 12 分) ? ? 8 ?? 1 ? ?? ? ? ? 1 4 解: (Ⅰ) p ? ( ,2) , m ? ( ,1) ,依题意得 p ? m ? ( , 2) ,又 n ? ( , ? ) , ? 2 ? 4 2 ? ?? ? 4 ? ? 1 ∴ ( p ? m) ? n ? ? ? 2 ? (? ) ? 0 ,------------------------------------------------------------------2 分 ? 4 2 ? ?? ? ? ∴ ( p ? m) ? n .---------------------------------------------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ ) OP ? ( x0 ,sin x0 ) , OQ ? ( x, y ) , 由 OQ ? m ? OP ? n 得 ( x, y ) ? ( x0 ?

??? ?

????

????

??

??? ? ?

1 2

?

1 ,sin x0 ? ) ,-----------------------------------------6 分 4 2

1 ? ? x ? x0? ? ? 2 4 即? ,----------------------------------------------------------------------------------------7 分 1 ? y ? sin x ? 0 ? ? 2 ? 1 1 1 消去 x0 ,得 y ? sin(2 x ? ) ? ? ? cos 2 x ? ,即 f ( x) ? ? cos 2 x ? ------------------10 分 2 2 2 2
令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? (k ? Z ) 得 k? ?

?

?函数 f ( x) 的单调递减区间是: [k? ?

?

2

? x ? k? (k ? Z ) ------------------------------------11 分

2

, k? ](k ? Z ) ------------------------------------------12 分
第7页 共9页

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21. (本题满分 14 分) 解:依题意,钢梁(侧棱)与底面的夹角 ?PBO ? ? . ∴ OP ? 10sin ? , --------------------------------------------------2 分 则 OE ?

P

2 OB ? 5 2 cos ? , BC ? 10 2 cos ? ------------4 分 2
2 2 2

D E B

C

在 RT ?POE 中, PE ? OP ? OE ? 5 2 1 ? sin ? ,---6 分 ∴ S侧面 ? 4 ? ?

O A

?1 ? PE ?BC ? ? 200 cos ? 1 ? sin 2 ? -------------8 分 ?2 ?

?

? 200 1 ? sin 4 ? ------------------------------------------10 分 1 3 ?? ? ? 又 ? ? ? , ? ,则 ? sin ? ? ,----------------------------11 分 2 2 ?6 3?
3 4 3 ) ? 50 7 -----------------------13 分 时, S 侧面 取最小值是 200 1 ? ( 2 2 1 此时相应 cos? ? , AB ? 5 2 , OP ? 5 3 .即冷水塔的底面边长应设计为 AB ? 5 2 米,高 2 OP ? 5 3 米时,侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14 分
当且仅当 sin ? ? 22. (本题满分 14 分)

? 解: (Ⅰ)法一:记 C (0,1) ,连接 PC ,则 PC ?

?
2

?

?
3

?

?
6

-------------------------------------------2 分

? 依题意 OM ? PN ? cos 60? ? PC ? PC ------------------------------------------------------------3 分

? OM ?

?
6
-

----------------------------------------------------------------------------------------------4 分

法二:∵ ?xOP ?

?
3

,∴ OM ?| OP | cos

?
3

?

1 3 ? ,------------------------------------------2 分 2 6

3 ? 显然 ? ? 3 即 ? ,-----------------------------------------------------------------------------------------3 分 6 6
则 OM ?

?

6

.-------------------------------------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)设∠ AOx ? ? , ? ? [0, 记 f (? ) ? OA ? OB

?

1 3 ] , P ( , ), 2 2 4

y N P B

??? ??? ? ?

1 1 1 1 ? ] 时,A( , tan ? ), B( , tan(? ? )) -----------5 分 12 2 2 2 2 4 ??? ??? 1 1 ? ? ? ? f (? ) ? OA ? OB ? ? tan ? ? tan(? ? ) -----------------------6 分 4 4 4
⑴当 ? ? [0,

?

A O M x

?

1 1 ? tan ? 1 1 ? tan 2 ? (1 ? tan ? )? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?

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1 1 ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? )

y N B P

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 4 cos ? ? cos ? sin ? 2 1 ? cos 2? ? sin 2? 1 ? ? -------------------------8 分 2(1 ? 2 cos(2? ? ) 4
⑵当 ? ? (

A O M x

1 1 3 3 , ) , ] 时, A( , tan ? ), B( ? 2 ---------------9 分 2 2 12 4 2 tan(? ? ) 4

? ?

??? ??? ? ? 3 1 ? f (? ) ? OA ? OB ? ( ? tan ? ) -------------------------------10 分 4 tan(? ? ? ) 4
3 1 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ? ( ? tan ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?
? 3 1 3 1 ? ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? ) 2 1 ? cos 2? ? sin 2?

?

3 1 ? ----------------------------------------------------------------------12 分 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4

? ? ??? ??? ? ? ? ? 综上, f (? ) ? OA ? OB ? ? ? ? ? ?
f (? ) 在 ? ? [0,

1 1 ? 2 1 ? 2 cos(2? ? ? ) 4 3 1 ? 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4

(? ? [0,

?
12

])

(? ? ( , ]) 12 4

? ?

] 增函数,在 ? ? ( , ] 是减函数,在 ? ? ( , ] 是增函数,---------13 分 12 12 8 8 4

?

? ?

? ?

1 ? 3 ?1 ? 6? 3 ? 3 , f( )? , f( )? ? f (0) ? , f ( ) ? 4 12 2 8 2 4 4
??? ??? 1 3 ? ? ? f (? ) ? OA ? OB ? [ , ] -----------------------------------------------------------------------------14 分 4 4

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