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2013届高三数学章末综合测试题(2)导数及其应用DAAN


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2013 届高三数学章末综合测试题(2)导数及其应用
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 4? 1 1.曲线 y= x3+x 在点? ?1,3?处的切线与坐标轴围成的三角面积为( 3 1 A. 9 2 B. 9 ) 1 C. 3 2 D. 3 )

1 2.函数 y=4x2+ 的单调增区间为( x

1 1? ? ? A.(0,+∞)B.? ?2,+∞?C.(-∞,-1) D.?-∞,-2? π 3.若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等 2 于( )A.-2 B.-1 C.1 D2

4.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( 1 )A.4 B.- 4 1 C.2 D.- 2 )

5.已知 f(x)=x3-ax 在(-∞,-1]上递增,则 a 的取值范围是( A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3

6. 设 f(x)是一个三次函数, f′(x)为其导函数, 如图所示的是 y=xf′(x)的图像的一部分, 则 f(x)的极大值与极小值分别是( )

A.f(1)与 f(-1) B.f(-1)与 f(1)C.f(2)与 f(-2) D.f(-2)与 f(2) 1 1 7.若函数 f(x)= x3+ f′(1)x2-f′(2)x+3,则 f(x)在点(0,f(0))处切线的 3 2 倾斜角为( π π 2π 3π )A. B. C. D. 4 3 3 4 )

8. 下图所示为函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图像, 那么 y=f(x), y= g(x)的图像是(

9.若函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线 方程是( )A.y=2 B.y=3x-2C.y=x+1 D.y=-2x+3
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10.如图,函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图像,则下面判断正确的是( A.在(-2,1)内 f(x)是增函数 B.在(1,3)内 f(x)是减函数新 C.在(4,5)内 f(x)是增函数 D.在 x=2 时,f(x)取到极小值 11. 已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图像与 x 轴相切于(1,0) 点,则 f (x)的极大值、极小值分别为( 4 4 A. 、0 B.0、 27 27 4 C.- 、0 27 ) D.0、- 4 27

)

12.如右图,若函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程为 x-y+2=0,则 f(1)+f′(1) =( ) w w w .xmA.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷 (非选择 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 3 ? [-1,3],则点 P 纵坐标的取值范围是__________.? ?4,3? 14.已知函数 f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若 f(x)≤g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围 是__________.[1,+∞) 15.设函数 y=ax2+bx+k(k>0)在 x=0 处取得极值,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 垂直于直线 x+2y+1=0,则 a+b 的值为__________.1 16.已知函数 f(x)的导函数的图像如图所示,则下列说法正确的是②④(填写正确命题的序 号)①函数 f(x)在区间(-3,1)内单调递减;②函数 f(x)在区间(1,7)内单调递减; ③当 x=-3 时,函数 f(x)有极大值;④当 x=7 时,函数 f(x)有极小值. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(10 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值为 10,求 b 的值; b 的值为-11.

(2)若对任意 a∈[-4,+∞),f(x)在 x∈[0,2]上单调递增,求 b 的最小值. 16 b 的最小值为 . 3 1 18.(12 分)已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c. 2 1 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围;b≥ . 12 (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围. c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
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2mx-m +1 19.(12 分)已知函数 f(x)= (x∈R). x2+1 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;6x+25y-32=0.

2

(2)当 m>0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 1? ? 1 ? f(x)在区间? ?-∞,-m?,(m,+∞)内为减函数,在区间?-m,m?内为增函 数, 1 1 1 - ?,且 f?- ?=-m2,函数 f(x)在点 x2=m 故函数 f(x)在点 x1=- 处取得极小值 f? m m ? ? ? ? m 处取得极大值 f(m),且 f(m)=1. 1 20.(12 分)已知函数 f(x)=(a- )x2+ln x(a∈R). 2 (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; e2 1 f(x)max=f(e)=1+ ,f(x)min=f(1)= . 2 2 (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图像恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围. 1 1 ①若 a> ,令 g′(x)=0,得极值点 x1=1,x2= , 2 2a-1 1 当 x2>x1=1,即 <a<1 时,在(x2,+∞)上有 g′(x)>0, 2 此时 g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2),+∞),不符合 题意; 当 x2≤x1=1,即 a≥1 时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有 g(x)∈(g(1),+∞), 也不符合题意; 1 ②若 a≤ ,则有 2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 g′(x)<0,从而 g(x)在区间(1, 2 1 1 +∞)上是减函数.要使 g(x)<0 在此区间上恒成立,只需满足 g(1)=-a- ≤0?a≥- , 2 2 1 1 1 1 - , ?.综上可知,当 a∈?- , ?时,函数 f(x)的图像恒在直线 由此求得 a 的取值范围是? ? 2 2? ? 2 2? y=2ax 下方. b 21.(12 分)设函数 f(x)=lnx,g(x)=ax+ ,函数 f(x)的图像与 x 轴的交点也在函数 g(x)的图 x 像上,且在此点有公共切线.(1)求 a,b 的值; (2)对任意 x>0,试比较 f(x)与 g(x)的大小. 解析:(1)f(x)=lnx 的图像与 x 轴的交点坐标是(1,0),依题意,得 g(1)=a+b=0.① 1 b 又 f′(x)= ,g′(x)=a- 2,且 f(x)与 g(x)在点(1,0)处有公共切线, x x
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1 1 ∴g′(1)=f′(1)=1,即 a-b=1.②由①②得,a= ,b=- . 2 2 1 1? 1 1 (2)令 F(x)=f(x)-g(x),则 F(x)=lnx-? ?2x-2x?=lnx-2x+2x, 1 1 1 1 1 ?2 -1 ≤0.∴F(x)在(0,+∞)上为减函数. ∴F′(x)= - - 2=- ? ? x 2 2x 2? x 当 0<x<1 时,F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x); 当 x=1 时,F(1)=0,即 f(x)=g(x); 当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即 f(x)<g(x). 22.(12 分)设函数 f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图像关于原点对称,且 x 2 =1 时,f(x)取极小值- . 3 (1)求 a,b,c,d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得过两点处的切线互相垂直?试证明你的 结论; 4 (3)若 x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤ . 3 解析:(1)∵函数 f(x)的图像关于原点对称, ∴对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),∴-ax3-2bx2-cx+4d =-ax3+2bx2-cx-4d, 即 bx2-2d=0 恒成立,∴b=0,d=0,∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c, 2 2 1 ∵当 x=1 时,f(x)取极小值- ,∴3a+c=0,且 a+c=- ,解得 a= ,c=-1. 3 3 3 (2)当 x∈[-1,1]时,图像上不存在这样的两点使结论成立. 假设图像上存在两点 A(x1,y1),B(x2,y2),使得过此两点处的切线互相垂直, 则由 f′(x) =x2-1 知,两点处的切线斜率分别为 k1=x12-1,k2=x22-1, 且(x12-1)(x22-1)=-1.(*)∵x1,x2∈[-1,1],∴x12-1≤0,x22-1≤0. ∴(x12-1)(x22-1)≥0.此与(*)相矛盾,故假设不成立. (3)f′(x)=x2-1,令 f′(x)=0,得 x=± 1. 当 x∈(-∞,-1)或 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0, ∴f(x)在[-1,1]上是减函数, 2 2 且 f(x)max=f(-1)= ,f(x)min=f(1)=- . 3 3 2 ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤ , 3 于是 x1,x2∈[-1,1]时, 2 2 4 |f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤ + = . 3 3 3
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