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高考数学 高频考点、提分密码 第九部分 排列组合与二项式定理 新人教版


第九部分 排列组合与二项式定理 [ 知识点 ] 一 . 排列与组合 1. 基本原理:分类计数原理 N=m 1 +m 2 + … +m n 分步计数原理 N=m 1 m 2 … m n 2. 定义与公式 排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元 素, 按照一定的顺序排成一列, 叫从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个数列 . 所有排列的个数叫排列数,记 m * 为 An 。 m、 n∈ N 且 m ≤ n. A n =n(n - 1)(n - 2) … (n - m+1) n A n =n!, 0!=1 An = m m 组合 从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成 一组,叫从 n 个不同元素中取出 m 个 元 素的 一个组 合。 所有组 合的 个数 叫 m 组合数,记为 C n . * m 、 n ∈ N 且 m ≤ n. 定义 Cn = m m An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m m! Am 公式 n! (n ? m)! Cn = m n! , m!(n ? m)! m C n =1 n- m 0 性质 区别 排列与元素顺序有关 排列先取后排 C n =C n m m m- 1 C n+1 =C n +C n 组合与元素顺序无关 组合只取不排 二 . 二项式定理 n 0 n 1 n- 1 r n- r r n n * 1. 定理: (a+b) =C n a +C n a b+ … +C n a b + … +C n b , n ∈ N r 2. 二项式系数: C n , r=0,1,2,, … n. r n- r r 3. 通项 T r+1 =C n a b (r=0,1,2 … n) 4. 二项式系数性质 ⑴对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 0 n 1 n- 1 2 n- 2 即 C n =C n , C n =C n ,C n =C n , … ⑵增减性: f(r)=C n ,当 r< ⑶最大值: 幂指数 n 偶数 奇数 0 1 2 n n 0 r n ?1 n ?1 r r 时, C n 递增,当 r ≥ 时, C n 递减 2 2 展开式项数 n+1 奇数 偶数 2 4 n- 1 二项式系数最大 项 ( 中间项 ) Tn 2 ?1 值 n 2 Cn n ?1 C n2 n- 1 T n ?1 、 T n?1 2 1 3 2 ?1 5 n ?1 = Cn2 ⑷ C n +C n +C n + … +C n =2 C n +C n +C n + … =2 另:⑴二项式系数表(杨辉三角)略。 C n +C n +C n + … =2 m m m m m?1 ⑵ Cm ? Cm ?1 ? Cm?2 ? ? ? Cm? n ? Cm?n?1 ⑶ (a - b) =C n a - C n a b+C n a b -… +( - 1) C n b n 0 1 2 2 n n ⑷ (1+x) =C n +C n x+C n x + … +C n x [ 易错点提示 ] 1. 应用两个基本原理解题时,应正确区分是分类还是分步 . 2. 解排列组合应用题时 ,应注意方法及分类标 准的选择,并做到层次 清晰,不 重 不漏。 3. 在二项式定理中,注 意系数与二项式系数、 奇数项与偶数项、奇次 项与偶次 项 r n- r r 的区别 . C n a b 是第 r+1 项 . 4. 多项式展开通常化为 二项式展开处理,求展 开式中某些项的系数 (

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