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高中数学第二章数列习题课数列求和学案新人教B版必修5(数学教案)


习题课 [学习目标] 法. 数列求和 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方 [预习导引] 1.基本求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式:Sn= n a1+an 2 =na1+ n n- 2 d. a1 -q 1-q n (2)等比数列前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn= 2.数列{an}的 an 与 Sn 的关系 数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+an,则 an=? 3.拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1) (2) (3) 1 ?S1,n=1, ? = a1-anq . 1-q ?Sn-Sn-1,n≥2. ? n n+ n- 1 1 1 = - . n n+1 1 n+ 1 1 1 = ( - ). 2 2n-1 2n+1 n+ n+1 = n+1- n. 要点一 分组分解求和 1 2 1 2 1 2 2 n 例 1 求和:Sn=(x+ ) +(x + 2) +…+(x + n) . x x x 1 2 1 2 1 2 2 n 解 当 x≠±1 时,Sn=(x+ ) +(x + 2) +…+(x + n) x x x 1 1 1 2 4 2n =(x +2+ 2)+(x +2+ 4)+…+(x +2+ 2n) x x x 1 1 1 2 4 2n =(x +x +…+x )+2n+( 2+ 4+…+ 2n) x x x = x2 x2n- x2-1 + x-2 -x -2 1-x -2n +2n 1 = x2n- x2n+2+ 2n 2 x x- +2n; 当 x=±1 时,Sn=4n. 4n,x=±1, ? ? 2n 综上知,Sn=? x - x2n+2+ 2n 2 ? x x- ? +2n,x≠±1. 规律方法 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等 差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和. 跟踪演练 1 求数列{an}:1,1+a,1+a+a ,…,1+a+a +…+a 中 a≠0). 解 当 a=1 时,则 an=n,于是 Sn=1+2+3+…+n= 1-a 1 n 当 a≠1 时,an= = (1-a ). 1-a 1-a 1 1 a -a 2 n ∴Sn= [n-(a+a +…+a )]= [n- 1-a 1-a 1-a n n 2 2 n-1 ,…的前 n 项和 Sn(其 n n+ 2 . ]= - 1-a n a -a -a n 2 . n n+ ? ? 2 ∴S =? n a ? ?1-a- n ,a=1, -a -a n 2 ,a≠1. 要点二 错位相减法求和 例 2 已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)q n-1 (q≠0,n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ?a1+a2+a3=6, ? ?a1+a2+…+a8=-4, ? ?3a1+3d=6, ? 即? ?8a1+28d=-4, ? 解 (1)设{an}的公差为 d,则由已知得? 解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)知,bn=n·q 0 1 n-1 , 2 于是 Sn=1·q +2·q +3·q +…+n·q 若 q≠1,上式两边同乘以 q. n-1

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