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高中数学第二章数列习题课数列求和学案新人教B版必修5(数学教案)

习题课 [学习目标] 法. 数列求和 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方 [预习导引] 1.基本求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式:Sn= n a1+an 2 =na1+ n n- 2 d. a1 -q 1-q n (2)等比数列前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn= 2.数列{an}的 an 与 Sn 的关系 数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+an,则 an=? 3.拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1) (2) (3) 1 ?S1,n=1, ? = a1-anq . 1-q ?Sn-Sn-1,n≥2. ? n n+ n- 1 1 1 = - . n n+1 1 n+ 1 1 1 = ( - ). 2 2n-1 2n+1 n+ n+1 = n+1- n. 要点一 分组分解求和 1 2 1 2 1 2 2 n 例 1 求和:Sn=(x+ ) +(x + 2) +…+(x + n) . x x x 1 2 1 2 1 2 2 n 解 当 x≠±1 时,Sn=(x+ ) +(x + 2) +…+(x + n) x x x 1 1 1 2 4 2n =(x +2+ 2)+(x +2+ 4)+…+(x +2+ 2n) x x x 1 1 1 2 4 2n =(x +x +…+x )+2n+( 2+ 4+…+ 2n) x x x = x2 x2n- x2-1 + x-2 -x -2 1-x -2n +2n 1 = x2n- x2n+2+ 2n 2 x x- +2n; 当 x=±1 时,Sn=4n. 4n,x=±1, ? ? 2n 综上知,Sn=? x - x2n+2+ 2n 2 ? x x- ? +2n,x≠±1. 规律方法 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等 差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和. 跟踪演练 1 求数列{an}:1,1+a,1+a+a ,…,1+a+a +…+a 中 a≠0). 解 当 a=1 时,则 an=n,于是 Sn=1+2+3+…+n= 1-a 1 n 当 a≠1 时,an= = (1-a ). 1-a 1-a 1 1 a -a 2 n ∴Sn= [n-(a+a +…+a )]= [n- 1-a 1-a 1-a n n 2 2 n-1 ,…的前 n 项和 Sn(其 n n+ 2 . ]= - 1-a n a -a -a n 2 . n n+ ? ? 2 ∴S =? n a ? ?1-a- n ,a=1, -a -a n 2 ,a≠1. 要点二 错位相减法求和 例 2 已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)q n-1 (q≠0,n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ?a1+a2+a3=6, ? ?a1+a2+…+a8=-4, ? ?3a1+3d=6, ? 即? ?8a1+28d=-4, ? 解 (1)设{an}的公差为 d,则由已知得? 解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)知,bn=n·q 0 1 n-1 , 2 于是 Sn=1·q +2·q +3·q +…+n·q 若 q≠1,上式两边同乘以 q. n-1 , qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn, 两式相减得:(1-q)Sn=1+q +q +…+q 1-q n = -n·q . 1-q ∴Sn= 1-q -q n 2 1 2 n-1 -n·q n n - n·qn n·qn+1- n+ = 1-q -q qn+1 2 . 2 若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n= n n+ 2 , , n n+ ? ? 2 ∴S =? nq - ? ? n n+1 q= n+ -q qn+1 2 q 规律方法 用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn-qSn”的表达式.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和. 跟踪演练 2 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N+). (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 解 (1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn, ∴Sn+1=3Sn.又∵S1=a1=1, ∴数列{Sn}是首项为 1,公比为 3 的等比数列.∴Sn=3 当 n≥2 时,an=2Sn-1=2·3 ?1,n=1, ? ∴an=? n-2 ?2·3 ,n≥2. ? n-2 n-1 (n∈N+). ,且 a1=1, (2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 当 n=1 时,T1=1; 当 n≥2 时,Tn=1+4·3 +6·3 +…+2n·3 ∴3Tn=3+4·3 +6·3 +…+2n·3 ①-②得-2Tn=2+2(3 +3 +…+3 =2+2· -3 1-3 n-2 1 2 1 2 0 1 n-2 ,① ② n-1 n-1 , n-2 )-2n·3 -2n·3 n-1 =-1+(1-2n)·3 n-1 , 1 1 n-1 ∴Tn= +(n- )3 (n≥2), 2 2 又∵T1=a1=1 也满足上式, 1 1 n-1 ∴Tn= +(n- )3 (n∈N+). 2 2 要点三 裂项相消求和 1 1 1 1 例 3 求和: 2 + 2 + 2

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