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高中数学选修1-1《椭圆的标准方程》课件_图文

椭圆及其标准方程 重点: 1、掌握椭圆的定义及其标准方程 2、求椭圆标准方程的方法 难点: 椭圆标准方程的推导和应用 知识与技能: 1、学习椭圆的标准方程及其应用 2、培养学生的数形结合的思想 过程与方法: 通过观察图形,理解定义,推导方程, 学生达到自主学习 情感、态度与价值观: 引导学生积极参与学习活动,培养学生的 好奇心和学习兴趣 2.1.1椭圆及其标准方程 一、课题引入 我们实际生活中,同学们见过椭圆吗? 举出一些实例 地球卫星“东方红一 号” 试一试: 将一根无弹性的细绳两端系在图钉下 面,用笔蹦住细绳在纸上移动,画出椭圆. 反思: ? (1)在画出一个椭圆的过程中,图钉的 位置是固定的还是运动的? ? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变 了没有? ? (3)绳子长度与两定点的距离,哪个更 大? M 1. 椭圆的定义: F1 F2 平面上到两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距( 2c ). (1)2.椭圆定义的再认识 问题:为什么要满足2a >2c呢? (1)当2a =2c时轨迹是什么? (2)当2a <2c时轨迹又是什么? 2. 椭圆标准方程的推导: ? 探讨建系的方案:怎样建立直角坐标系? y y y M M F1 O O O F2 y F2 xx O x F1 x 原则:尽可能使方程的形式简单、美观 ?设点:设椭圆上任意一点M(x, y) , F1 (-c,0), F2 (c,0). y ?列式:根据定义知 | MF 1 | ? | MF 2 |? 2a F1 0 M F2 x 代入坐标得方程 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ?化简: (怎样化简?) 移项,得 ( x ? c )2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c )2 ? y 2 , 两边平方,得 ( x ? c )2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 , a 2 ? cx ? a ( x ? c )2 ? y 2 . 两边再平方,得 a4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2 , 整理,得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ), 2 2 2 a ( a ? c ) ,得 两边同除以 x2 y2 ? 2 ? 1. 2 2 a a ?c ① ①式可变为: 其中 x2 a 2 ? y2 b 2 ? 1(a ? b ? 0). y M ② b2 ? a 2 ? c2 . 问题:观察右图,你能找出 表示 a,c,a 2 ? c 2 的线段吗? 由图可知, MF 1 ? a, OF1 ? c, F1 O F2 x MO ? a 2 ? c 2 . 2 2 b ? MO ? a ? c , 所以令 即 b2 ? a 2 ? c2 . y 椭圆的标准方程为: x2 y2 ? 2 ?1 2 a b M ?a ? b ? 0? F1 0 F2 x 焦点在y轴上的方程: x y ? 2 ?1 2 b a 2 2 y F2 M ?a ? b ? 0? o F1 x 请同学归纳两类不同方程的性质: 定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y M F 2 F 1 M 图 形 F 1 o F2 x o x 方 程 x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b 焦 点 a,b,c之间的关系 F(±c,0) F(0,±c) c2=a2-b2 注: 1. a?b?0 2. 焦点在x轴的椭圆,x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆,y2项分母较大. 3.例题讲解: 例1.根据下列方程,分别求出 a 、 b、 c x2 y 2 (1)椭圆 ? 2 ? 1,则 a ? 2 4 6 2 y (2)椭圆 x 2 ? ? 1,则 a ? 5 (3) 6 ,b ? 4 ,c ? 2 ,c ? 5; 5 1 b ? , 2 ; 椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 8,则a ? 2 2 , b ? 2 , c ? 2 ; 练习题:课本 1.如果椭圆 p 36 x2 y2 ? ? 1上一点P到焦点F 的距离 1 100 36 14 等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是_____. 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x轴上; (2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y轴上; ? 5 3? (2,0),并且经过点 ? , ? ? ,求它的标准 方程。 ? 2 2? y 解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,设 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b 由椭圆的定义知 2 2 例1.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), F1 O 2 2 F2 P x ?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? 2a ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 10, ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2? 所以 a ? 10. 又因为 c ? 2,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. 因此,所求椭圆的标准方程为 x2 y2 ? ? 1. 10 6 定义法 解法二:因为椭圆的焦点在 x 轴上,设 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b y 2 2

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