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湖南省师大附中2013届高三第四次月考数学理试题


湖南省师大附中 2013 届高三第四次月考数学理试题

数学(理)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | y ? lg( x2 ? 1)}, 则CU A = A. (??,1) D. (??, ?1] ? [1, ??) 2.对于空间任意直线 l 和平面α ,下列命题中成立的是 A.平面α 内一定存在直线与直线 l 平行 B.平面α 内一定存在直线与直线 l 垂直 C.平面α 内一定没有直线与直线 l 平行 D.平面α 内可能没有直线与直线 l 垂直 B.[-1,1] C .

(1, ??)

?x ? 0 ? 3.设不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 ? ?x ? y ? 2
标原点的距离大于 1 的概率是 A.

? 4

B.

2 ? ?2

C.

4 ?? 4

D.

? ?2
2

4.若复数 z ? (5sin ? ? 3) ? (5cos ? ? 4)i 是纯虚数,则 tan ? 的值为 A.

4 3

B. ?

3 4

C.

3 4

D. ? 或

3 4

3 4

5.在如图的程序框图中,若输出的结果为 60,则在图中空白处应填上

A. a ? 3

B. a ? 4

C. a ? 4

D. a ? 3

6.已知 {an }为等比数列, a3 a5 ? ?8, a4 ? a7 ? 2, 则a1 ? a10 ? A.7 B.5 C.—5 D.—7

1

7.设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C,动点 A( x, y) 在曲线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于另一点 B( A, B可以重合) ,设线段 AB 的长为 y ? f ( x) 的图象 可以为

8.已知正数 a, b, c满足5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c ln b ? a ? c ln c, 则 A. [ , e ]

1 7

B. [ e, ]

7 2

C. [e, 7]

b 的取值范围是 a 1 1 D. [ , ] 7 e

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 9.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到其渐近线的距离为 9 16
1 1 2 3



2 10.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0的解集是(- , ) ,则 a 的值是 4 11. (2 x ? ) 的展开式中的常数项的值为



1 x



12.直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AC= 2 3, BC=2,CD 为斜边 AB 边上的 高,将三角形 ACD 沿 CD 折起与面 BCD 成 60°的二面角,则翻折后线段 AB 的长 为 。 13.直线 2ax ? by ? 1与圆x2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且△AOB 是直角三角形 是坐标原点)则点 P (a, b) 与点 (0,5 ? 2) 之间距离的最大值为 (O , 14.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠A=90°,且 AB ? a ? b, AC ? a ? b, 若 。

??? ?

??? ?

a ? (sin ? ,cos ? )(? ? R) ,则△ABC 的面积为



15. 我们称正整数 n 为 “好数” 如果 n 的二进制表示中 1 的个数多于 0 的个数。 6= , 如 (110) : 为好数,1 984=(11 111 000 000) ;不为好数,则: (1)二进制表示中恰有 5 位数码的好数共有 个; (2)不超过 2012 的好数共有 个。

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 师大附中高二某课题小组对长沙市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查,抽调了 50 人,他们月收入频数分布表及对“楼市限购令”赞成人数如下表:

(1)完成如图的月收入频率分布直方图,并估计被抽调人的月平均收入 ; (2)若从月收入(单位:百元)在 [15, 25),[25,35) 的被调查人中各随机选取两人进行 追踪调查,记选中的 4 人中不赞成: “楼市限购令”的人数为ξ ,求随机变量ξ 的分布 列和数学期望。

17. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 A—BCPM 的三视图如图,其中正视图是梯形,侧视图 是直角三角形。 (1)求异面直线 AM 与直线 PC 所成角的大小; (2)求三棱锥 P—MAC 的体积。

3

18. (本小题满分 12 分) 已 知 一


n


? n






n



{an 满足 }1 ?

a

:

?

1 a ( 2

1 1x ?

n ?

,

y 1 1? ?

)

1

x

?

, ? n

1

y

(

n

?x

(1)计算 | a1 |,| a2 |,| a3 | ;证明:数列 {| an |} 是等比数列; ( 2 ) 设

? n (n ? 是 2

?1 n

) a

的n , 夹 a













bn ?

?
4n(n ? 1)?n

, Sn ? b2 ? b3 ? ? ? bn , 求S2013 .

19. (本小题满分 13 分) 如图,实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图,曲线部分是以 AB 为直径的 半圆,点 O 为圆心,△ABD 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,其中 AB=2 千米,

?EOA ? ?FOB ? 2 x(0 ? x ?

?
4

). 若游客在每条路线上游览的“心悦效果”均与相应

的线段或弧的长度成正比,且中间路线 DE,DF,EF 的比例系数为 2k,两边路线 DA, DB,AE,BF 的比例系数为 k(k>0) ,假定该公园整体的“心悦效果”y 是游客游览所 有路线“心悦准备果”的和。 (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定当 x 取何值时,该公园整体的“心悦效果”最佳?

4

20. (本小题满分 13 分) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O,半径为 a2 ? b2 的圆是 2 a b

椭圆 C 的“准圆” ,若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距 离为 3. (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1,l2,使得 l1,l2 与椭圆 C 都只有一个交点, 讨论直线 l1 与 l2 的位置关系。 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2ax3 ? ax ? b(a ? 0), A ? {x ? R | f ?( x) ? 0}, 3

B ? {a |

a 2 ? ? a ? 2, 且x1 , x2 ? A}. (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? 4a ? x1 )(1 ? 4a ? x2 )
1 1 ? ; x x

(1)求集合 B; (2)若 x ? B, 且x ? Z , 求证 : tan

(3)比较 sin

1 2012



1 2013

的大小,并说明理由。

5

参考答案

6

7

8

9

10


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