当前位置:首页 >> 数学 >> 立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1:3.2.1直线方向向量和直线的向量方程

立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1:3.2.1直线方向向量和直线的向量方程


3.2.1直线方向向量和 直线的向量方程
中国人民大学附属中学

1.用向量表示直线或点在直线上的位置 给定一个定点A和一个向量 a ,再任给 一个实数t,以A为起点作向量 AP ? ta ① 这时点P的位置被完全确定. l 容易看到,当t在实数集R中取 P 遍所有值时,点P的轨迹是一 条通过点A且平行于向量 a 的 a 一条直线l;反之,在直线l上 A 任取一点P,一定存在一个实 数t,使 AP ? ta .

方程①通常称作直线l的参数方程,向量

a 称为该直线的方向向量.
直线的向量方程①,还可以作如下的表 示:对空间任一确定的点O,点P在直线l

上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等
式 OP ? OA ? ta ②.

如果在 l 上取 AB ? a ,则②式可化为

OP ? OA ? t AB ? OA ? t (OB ? OA) ,
即 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ③
l P B a M A O

①或②或③都叫做空间 直线的向量参数方程,它 们都与平面的直线向量参 数方程相同。

例 1.已知点 A(2,4,0),B(1,3,3),以 AB 的方向为正向, 在直线 AB 上建立一条数轴, P, Q 为轴上两点,且分别满足条件: (1)AP:PB=1:2;(2)AQ:QB=-2, 求点 P 和点 Q 的坐标。
z Q B P O x A y

5 11 (1) P ( , , 1) 3 3
(2) (0,2,6)

2.用向量的方法证明直线与直线平行、直 线平面平行、平面与平面平行 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为 v1和v2

则由向量共线的条件得

l1

l1 / /l2 (或l1与l2重合) ? v1 / /v2
v1 v2

l2

(2)已知两个不共线的向量 v1和v2 与平面
α共面,一条直线l的一个方向向量为 v , 则由共面向量定理得 l//α或 l在α内 ? 存 在两个实数x,y,使
v

v ? xv1 ? yv2
l

v1

v2

?

由共面定理,我们还可以得到:
如果A,B,C三点不共线,则点M在 平面ABC内的充分必要条件是,存在一对

实数x,y,使向量表达式

AM ? xAB ? yAC 成立。

例2.如图,已知正方体ABCD-A’B’C’D’, 点M,N分别是面对角线A’B与面对角线 A’C’的中点,求证: (1) MN//侧面AD’;
1 (2) MN//AD’;并且MN= AD’. 2

3.用向量方法证明两条直线垂直或求两条 直线所成的角
如果知道两条直线的方向向量,我们可 以利用两个方向向量是否平行(或重合)、 垂直来判定直线是否平行、垂直。

设两条直线所成的角为θ(锐角),则直 线方向向量间的夹角与θ相等或互补。

例3.已知正方体ABCD-A’B’C’D’中,点 M、N分别是棱BB’与对角线CA’的中点, 求证:MN⊥BB’;MN⊥AC’.

例4.已知三棱锥O-ABC,OA=4,OB=5,
OC=3,∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°, M、N分别是棱OA、BC的中点,求:直线 MN与AC所成的角的余弦值。
O c b C N B M a A

3 5 10

解:设 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,

1 则 MN ? ON ? OM ? (b ? c ? a ) , AC ? c ? a , 2
因此

| MN |2 ? MN ? MN 1 45 2 2 2 ? (| a | ? | b | ? | c | ?2b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c) ? 2 4 | AC |2 ? AC ? AC ?| a |2 ? | c |2 ?2a ? c ? 25 , 1 45 MN ? AC ? (b ? c ? a) ? (c ? a) ? , 2 4 MN ? AC 3 5 因此 cos ? MN , AC ?? , ? | MN | ? | AC | 10

巩固性训练
1.设 a, b 分别是直线l1, l2的方向向量, 根据下列条件, 判断l1, l2的位置关系.
(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)
平行 垂直

平行

2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,
AB=AA1=2,BC=3,M为AC1与CA1的

3 (1, , 1) 交点,则M点的坐标为__________. 2

3.空间四个点A(1, 0, 1),B(4, 4, 6),C(2,
共面 2, 3),D(10, 14, 17),则这四个点_______ (填共面或不共面).

→ → AB=(3,4,5),AC=(1,2,2), → AD=(9,14,16), → → → 设AD=2AB+3AC.

4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M、 N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点, → → 则 sin〈CM,D1N〉的值为( B ) 1 4 A. B. 5 9 9 2 2 C. 5 D. 9 3

5.已知点 A(1, 2, -1),点 C 与点 A 关于 平面 xOy 对称, 点 B 与点 A 关于 x 轴对称, 则 BC 的长为( B ) A.2 5 C.2 2 B.4 D.2 7


更多相关文档:

立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1:3.2.1直线方向....ppt

立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1:3.2.1直线方向向量和直线的向量方程_数学_高中教育_教育专区。3.2.1直线方向向量和 直线的向量方程中国人民大学附属...

立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1:3.2.5 距离_图文.ppt

立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1:3.2.5 距离_数学_高中教育_教

3.2.1立体几何中的向量方法一:平行和垂直-数学选修2-1_....ppt

3.2.1立体几何中的向量方法一:平行和垂直-数学选修2-1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。3.2.1 一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量: 如图, l 为...

...与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课....ppt

第三章 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线方向向量与直线的向量 方程 学习目标 1.理解直线的方向向量,了解直线的向量方程. 2.会用向量方法证明...

高中数学选修2-1:3.2.1立体几何中的向量方法 (共30张PP....ppt

高中数学选修2-1:3.2.1立体几何中的向量方法 (共30张PPT)_数学_高中教育_...P O 二、直线的向量参数方程 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 ...

人教版高中数学选修2-1:3.2《立体几何中的向量方法》课....ppt

直线,那么非零向量 a 叫做直线 3.2.1 立体几何中的向量方法 方向向量与向量 方向向量与向量 1直线的方向向量 ? 如图, l 为经过已知点 A...

...与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课....ppt

2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线方向向量与直线的向量方程课件新人教B版选修2_1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第三章 3.2 空间向量...

...1配套课件::3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程_....ppt

高中数学人教B版选修2-1配套课件::3.2.1直线方向向量与直线的向量方程_...向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直 线所成角的问题的思想及过程. 3....

...版高中数学选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法1_....ppt

第三章空间向量与立体几何 3.2.1立体几何中的向量方法 1直线的方向向量 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 ...

...1配套课件:3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程_图....ppt

选修2-1 第三章 3.2.1 直线方向向量与直线的向量方程 第三章 空间向量立体几何 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课...

...数学选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法1()_图文....ppt

第三章空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法(一) ? 1直线的方向向量 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做...

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程_图文.ppt

3.2.1直线方向向量与直线的向量方程_数学_高中教育_教育专区。3.2 空间向量立体几何中的应用 已知向量a,在空间固定一个基点,再作向量 ,则点A在空间的位...

...与立体几何3_2_1直线的方向向量与直线的向量方程学....doc

高中数学第章空间向量与立体几何3_2_1直线方向向量与直线的向量方程学案新人教B版选修2_1_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。高中数学第三章空间向量立体几何3_...

...数学选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法2()_图文....ppt

人教A版高中数学选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法2()_数学_高中教育_...直线是互相平行的,所以,可以用 垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向...

...版高中数学选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法2_....ppt

人教A版高中数学选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法2_数学_高中教育_教育...直线是互相平行的,所以,可以用 垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向...

...立体几何中的向量方法 课件1(人教A版选修2-1)_图文.ppt

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法(一) 1直线的方向向量 ? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a...

3.2.1立体几何中的向量方法:平行和垂直(上课用).ppt

3.2.1立体几何中的向量方法 平行和垂直 复习1方向向量与向量 ? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线...

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程解析_图文.ppt

3.2.1直线方向向量与直线的向量方程解析_职高对口_职业教育_教育专区。3.2.1 3.2 空间向量立体几何中的应用 天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的...

3.2.1~~3.2.3 立体几何中的向量方法(平行和垂直)_图文.ppt

如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。 1 3.2.1 立体几何中的向量方法方向向量与向量 ...

...中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课后....doc

数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量立体几何中的应用3.2.1直线方向向量与直线的向量方程课后导练_高中教育_教育专区。3.2.1 直线的方向向量与直线的...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com