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高一数学人教A版必修2导学案:3-1-1倾斜角与斜率 含解析 精品

3.1.1

倾斜角与斜率

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握它们之间的关系. 2.掌握过两点的直线的斜率计算公式,并会简单的应用.

1.倾斜角 定义 记法 当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,____轴正向与直线 l 向____ 方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 规定 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为____. α

图示

范围 (1) 作用 (2)

0° ≤α<180° 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的________ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的 一个定点以及它的______,二者缺一不可

理解倾斜角的概念时,要注意三个条件:①x 轴正向;②直线向上的方向;③小于 180° 的非负角. 【做一做 1】 如图所示,直线 l 的倾斜角为( )

A.45° 2.斜率(倾斜角为 α) 定 义 α≠90° α=90° 记法 范围 公式 作用

B.135°

C.0°

D.不存在

一条直线的倾斜角 α 的______叫做这条直线的斜率 斜率不存在 k,即 k=______ ____ 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=________ 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的________

①当倾斜角是 90° 时,直线的斜率不存在,并不是直线不存在,此时,直线垂直于 x 轴;

②所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率; ③直线的斜率也反映直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度. 当 0° ≤α<90°时, 斜率越大, 直线的倾斜程度就越大;当 90°<α<180°时,斜率越大,倾斜程度也越大; ④k>0 0°<α<90°;k=0 α=0° ;k<0 90°<α<180°;k 不存在 α=90° . ) D. 3 )

【做一做 2-1】 已知直线 l 的倾斜角 α=30° ,则其斜率 k 的值为( A.0 B. 3 3 C.1

【做一做 2-2】 已知 P1(3,5),P2(-1,-3),则直线 P1P2 的斜率 k 等于( A.2 B.1 1 C. 2

D.不存在

答案:1.x 上 0° 倾斜程度 倾斜角 【做一做 1】 B 2.正切值 tan α R 【做一做 2-1】 B 【做一做 2-2】 A y2-y1 x2-x1 倾斜程度

1.倾斜角 剖析:(1)理解倾斜角的概念,需注意以下三个方面:①角的顶点是直线与 x 轴的交点; ②角的一条边的方向是指向 x 轴的正方向; ③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方 向. (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由 x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时 所成的角. (3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对 x 轴正方向的倾斜程度. (4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其 倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等. 2.斜率公式 剖析:(1)直线的斜率公式表明直线相对于 x 轴正向的倾斜程度,可以通过直线上任意 两点的坐标表示,这比使用几何的方法先求倾斜角,再求斜率的方法简便. (2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可 以同时调换,这就是说,如果分子是 y2-y1,分母必须是 x2-x1;反过来,如果分子是 y1- y1-y2 y2-y1 y2,分母必须是 x1-x2,即 k= = . x1-x2 x2-x1 (3)当 x1=x2 时,斜率不存在. (4)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所给两点的横坐标是否相等, 若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步;二用,就是将点的坐标代入斜率 公式;三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参 数进行讨论. 3.已知直线的斜率求直线的倾斜角 剖析: 本节中仅要求求特殊的倾斜角, 因此突破方法是掌握特殊的斜率对应的倾斜角即 可,其对应情况如下表所示.

斜率 k 倾斜角 α

0 0°

3 3 30°

1 45°

3 60°

不存在 90°

- 3 120°

-1 135°



3 3

150°

3 由上表可见,当直线的斜率 k=0,± ,± 1,± 3或斜率 k 不存在时,其倾斜角均是特 3 殊角.

题型一:已知两点坐标求倾斜角和斜率 【例 1】 求经过下列两点的直线的斜率,并根据斜率指出其倾斜角. (1)(-3,0),(-2, 3); (2)(1,-2),(5,-2); (3)(3,4),(-2,9); (4)(3,0),(3, 3). 反思:已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),求倾斜角和斜率的步骤:(1)当 x1=x2 时,倾斜 y1-y2 y2-y1 角 α=90° ,斜率不存在;(2)当 x1≠x2 时,先求斜率 k= = ,再根据 k 的值确定 x1-x2 x2-x1 倾斜角 α 的大小. 题型二:三点共线问题 【例 2】 若三点 A(2,-3)、B(4,3)、C(5,k)在同一条直线上,则实数 k=__________. 反思:用斜率解决三点共线问题的依据是:A,B,C 三点共线 kAB=kAC(kAB=kBC).

题型三:已知一个点和斜率画直线 【例 3】 在平面直角坐标系中,画出经过点 P(2,1)且斜率分别为 0,1 的直线 l1,l2. 反思:已知过点 P(m,n)且斜率为 k 的直线 l,在平面直角坐标系中画 l 的步骤:(1)设 y0-n Q(x0,y0)是 l 上的一点;(2)利用斜率公式得 k= ;(3)整理得 y0=k(x0-m)+n,取 x0= x0-m 0(或 y0=0)解得 y0(或 x0)的值,得点 Q 的坐标(0,y0)[或(x0,0)];(4)在平面直角坐标系中,描 出点 P 和 Q,过点 P,Q 的直线就是所要画的直线 l. 题型四:易错辨析 易错点 错记斜率公式 【例 4】 过点 P1(3,-1)和 P2(4,2)的直线的斜率 k=__________. 2-?-1? 错解:k= =-3. 3-4 y2-y1 错因分析:错解中,错把斜率公式记为 k= . x1-x2 y1-y2 y2-y1 反思:斜率公式 k= = ,其特点是:①分子是纵坐标的差;②分母是横坐标 x1-x2 x2-x1 的差;③两个差的“顺序”相同. 3-0 = 3=tan 60° , -2+3

答案: 【例 1】 解:(1)直线的斜率 k= 此直线的斜率为 3,倾斜角为 60° .

-2+2 (2)直线的斜率 k= =0,此直线的斜率为 0,倾斜角为 0° . 5-1 9-4 (3)直线的斜率 k= =-1=tan 135° ,此直线的斜率为-1,倾斜角为 135° . -2-3 (4)因为两点横坐标都为 3,故直线斜率不存在,倾斜角为 90° . 【例 2】 6 y1-1 【例 3】 解: 设 Q1(x1, y1)是直线 l1 上的一点, 则有 =0, 即 y1=1, 于是 Q1(x1,1). 令 x1-2 x1=0,则 Q1(0,1).过点 P 及(0,1)的直线即为 l1,如图所示.

y2-1 同理,由 1= ,得 y2=x2-1,令 y2=0,则 x2=1,于是得直线 l2 上的一点 Q2 的坐 x2-2 标(1,0)过点 P 及 Q2(1,0)的直线即为 l2,如图所示. 【例 4】 3

1.过点(-3,0)和点(-4, 3)的直线的倾斜角是( ) A.30° B.150° C.60° D.120° 2. 若三点 A(1,2),B(3,-2),C(0,m)共线,则实数 m=__________. 3 .已知两点 P(m,2) , Q(1 + m,2m - 1) 所在直线的倾斜角为 45° ,则 m 的值等于 __________. 4.已知三点 A(1,3),B(5,11),C(-3,-5),求证:这三点在同一条直线上. 5.在平面直角坐标系中,画出经过点 P(-1,3)且斜率分别为-1,2 的直线 l1,l2. 答案:1.D 2.4 3.2 4.证明:由斜率公式,得 kAB=

11 ? 3 ?5 ? 3 =2,kAC= =2, 5 ?1 ?3 ? 1

∴kAB=kAC,且 AB 与 AC 都过点 A, ∴直线 AB,AC 斜率相同,且过同一点 A, ∴A,B,C 这三点在同一条直线上. 5. 解:设 Q1(x1,y1)是直线 l1 上的一个点,则有

y1 ? 3 =-1,即 y1=-x1+2 令 y1=0, x1 ? 1

有 x1=2,则 Q1 的坐标为(2,0),过点 P 及 Q1(2,0)的直线即为直线 l1,如图所示.

同理,设 Q2(x2,y2)是直线 l2 上的一个点, 由

y2 ? 3 =2,得 y2=2x2+5,令 x2=0,得 y2=5,则 Q2 的坐标为(0,5)过点 P 及 Q2(0,5) x2 ? 1

的直线即为直线 l2,如图所示.

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