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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线课堂探究学案新人教B版选修2_1

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2.5 直线与圆锥曲线

课堂探究 探究一 直线与圆锥曲线的位置关系判断 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,可将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程,消去 y(或 x)得一个关于变量 x(或 y)的一元二次方程 ax2+bx+c=0. (1)当 a≠0 时,若 Δ >0,则直线 l 与曲线 C 相交;若 Δ =0,则直线 l 与曲线 C 相切; 若 Δ <0,则直线 l 与曲线 C 相离. (2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 C 相交,且只有一个交点.此时,若 C 为双曲线,则 l 平行于双曲线的渐近线;若 C 为抛物线,则 l 平行于抛物线的对称轴. (3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也 可能相交. 【典型例题 1】 已知直线 l:kx-y+2-k=0,双曲线 C:x2-4y2=4,当 k 为何值时, (1)l 与 C 无公共点; (2)l 与 C 有唯一公共点; (3)l 与 C 有两个不同的公共点. 思路分析:直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的 方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值. 解:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去 y 得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+ 5)=0.① 要使 l 与 C 无公共点,即方程①无实数解, 则有 1-4k2≠0,且 Δ <0,即 64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0. 解得 k>-2+3 19或 k<-2-3 19,
故当 k>-2+3 19或 k<-2-3 19时,l 与 C 无公共点. (2)当 1-4k2=0,即 k=±12时,方程①只有一解;

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当 1-4k2≠0,且 Δ =0,即 k=-2±3 19时,方程①只有一解,

故当 k=±12或 k=-2±3 19时,l 与 C 有唯一公共点. (3)当 1-4k2≠0,且 Δ >0 时,方程①有两个不同的解,即 l 与 C 有两个不同的公共点,

于是可得,当-2-3 19<k<-2+3 19,且 k≠±12时,l 与 C 有两个不同的公共点.

探究二 相交弦长问题

若直线 l 与圆锥曲线 F(x,y)=0 相交于 A,B 两点,求弦 AB 的长可用下列两种方法:

(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点 A,B 的坐标,然后用两点间距离公式,

便得到弦 AB 的长,一般来说,这种方法较为麻烦.

(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.

设直线方程为 y=kx+m,与圆锥曲线 F(x,y)=0 交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则

|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2

= (x1-x2)2+(kx1+m-kx2-m)2

= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2;

或当 k≠0 时,|AB|=

1+k12|y1-y2|=

1 1+k2·

(y1+y2)2-4y1y2.

当 k=0 时,直线平行于 x 轴,∴|AB|=|x1-x2|. 【典型例题 2】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆

交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ,|PQ|= 210,求椭圆的方程. 思路分析:设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去 y,转化为关于 x 的一元二
次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解. 解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),P(x1,y1),Q(x2,y2). 由?????ym=x2+x+ny12,=1, 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0, 即 m+n-mn>0. 由 OP⊥OQ,得 x1x2+y1y2=0, 即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴2(mn+-n1)-m2+nn+1=0,∴m+n=2.① 又|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

2

=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8(m(+m+n-n)m2 n)=??? 210???2, 将 m+n=2 代入得 mn=34.②

??m=12, 由①②式,得???n=23

??m=32, 或???n=21.

故椭圆方程为x22+32y2=1 或32x2+y22=1. 探究三 中点弦问题 对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的 两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把 上式展开,整理.
x2 y2 【典型例题 3】 已知椭圆16+ 4 =1,求: (1)以 P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程; (2)斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (3)过 Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析:可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围. 解:设弦的两端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 R(x,y),则 2x=x1+x2,2y =y1+y2. 又 A,B 两点均在椭圆上, 故有 x21+4y21=16,x22+4y22=16. 两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2). 故 kAB=yx11- -yx22=-4(xy1+ 1+xy22)=-4xy. (1)由 kAB=-4xy=12,得所求轨迹方程为 x-2y-4=0. (2)由 kAB=-4xy=2,得所求轨迹方程为 x+8y=0(-4≤x≤4). (3)由 kAB=-4xy=yx- -28,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4). 探究四 易错辨析 易错点 混淆直线与圆锥曲线相切和直线与圆锥曲线只有一个公共点 【典型例题 4】 过点(1,3)作直线与抛物线 y=x2-2x+147交于一点,求此直线的方程.

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错解:设所求直线方程为 y-3=k(x-1),把它代入抛物线方程 y=x2-2x+147中,得 x2-(2+k)x+k+54=0.
由题意知,直线与抛物线相切,
∴Δ =(2+k)2-4×???k+54???=0,解得 k=±1. ∴所求的直线方程为 y-3=±1×(x-1), 即 x-y+2=0 或 x+y-4=0.
错因分析:对于抛物线,一条直线若与它相切,则直线与抛物线只有一个公共点,反过 来并不一定成立.与抛物线对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点,但它不是抛物线 的切线,因此,直线与抛物线相切,并不是直线与抛物线只有一个公共点的充要条件.上述 解答把直线与抛物线只有一个公共点问题完全转化为切线问题,显然是错误的.
正解:过平面上一点的直线与抛物线交于一点,则此直线或者是抛物线的切线,或者是 一条与对称轴平行的直线,又因为抛物线的对称轴的斜率不存在,因此按上述解法可知,当 斜率存在时,所求直线的方程为 x-y+2=0 或 x+y-4=0.当斜率不存在时,直线与抛物 线对称轴平行,直线 x=1 与抛物线也只有一个公共点.
∴所求的直线方程为 x-y+2=0 或 x+y-4=0 或 x=1.
4


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