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圆锥曲线2014-2016文科数学高考试题


三年高考(2014-2016)数学(文)试题分项版解析 第九章 圆锥曲线
一、选择题 1.
【2016 高考新课标 1 文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长 ) 3 (D) 4

1 的 ,则该椭圆的离心率为( 4 1 (A) 3 1 (B) 2

2 (C) 3

2.

【2016 高考新课标 2 文数】设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= )

k (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x x

轴,则 k=( (A)

1 2

(B)1

(C)

3 2

(D)2

3.
(

【 2014 高考广东卷 . 文 .8 】 若实数 k 满足 0 ? k ? 5 , 则曲线 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ?1的 16 5 ? k 16 ? k 5

[来源:Z+xx+k.Com]

A.实半轴长相等

B.虚半轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等 )

4.

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F 【2015 高考广东,文 8】已知椭圆 1 ? ?4,0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4 C. 3 D. 2

A. 9

x2 y 2 5. 【2015 高考湖南, 文 6】 若双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线经过点 (3, -4) , 则此双曲线的离心率为( a b
A、

)

7 3

B、

5 4

C、

4 3

D、

5 3

x2 y 2 6. [2016 高考新课标Ⅲ文数]已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A, B 分 a b
别为 C 的左,右顶点. P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直 线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴 交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( (A) )

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4


7. 【2015 高考陕西,文 3】已知抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过点 (?1,1) ,则抛物线焦点坐标为(

A. (?1, 0)

B. (1, 0)

C. (0, ?1)

D. (0,1) )

8.

【2016 高考四川文科】抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是( (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)

(A)(0,2)

9.【2014 全国 2,文 10】设 F 为抛物线 C : y 2 =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A , B 两点,
则 AB ? ( )

(A)

30 3

(B) 6

(C) 12

(D) 7 3

10.

【2016 高考山东文数】已知圆 M: x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 , )

2 (x-1) + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是( 则圆 M 与圆 N:

(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离

11.
A.1

【2016 高考北京文数】圆 ( x ? 1) ? y ? 2 的圆心到直线 y ? x ? 3 的距离为( )
2 2

B.2

C. 2

D.2 2

12. 【2015 高考四川,文 7】过双曲线 x 2 ?
于 A、B 两点,则|AB|=( (A) ) (B)2 3

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线 3

4 3 3

(C)6
2

(D)4 3

13.

【2014 四川,文 10】已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, )

??? ? ??? ? OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是(
A. 2 B. 3 C.

17 2 8

D. 10

14.
A. 2

【2014 全国 1,文 4】已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? a2 3
D. 1

B.

6 2

C.

5 2

15.

【201 5 高考新课标 1,文 5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 ,E 的右焦点与抛物线 2

C : y 2 ? 8x 的焦点重合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12

)

16.

【2014 全国 1,文 10】已知抛物线 C: y 2 ? x 的焦点为 F , A ) B. 2 C. 4 D. 8

?x , y ?是 C 上一点, AF ? 5 ,则 4x
0 0
0

x
A.

0

?(
1

17.【2014 高考重庆文第 8 题】设 F1,F2 分别为双曲线
存在一点 P 使得 A. 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上 a 2 b2
) D. 17

(| PF1 | ? | PF2 |)2 ? b2 ? 3ab, 则该双曲线的离心率为(
B. 15 C.4

18. 【2015 高考重庆,文 9】设双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1 , A2 , a 2 b2


过 F 做 A1A 2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B ? A2 C ,则双曲线的渐近线的斜率为( (A) ±

1 2

(B) ±

2 2

(C) ± 1

(D) ± 2

19. 【2014,安徽文 3】抛物 线 y ?
A. y ? ?1 B. y ? ?2

1 2 x 的准线方程是 4
C. x ? ?1 D. x ? ?2 )





20.【2015 高考安徽,文 6】下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是(
y2 ?1 (A) x ? 4
2

x2 ? y2 ? 1 (B) 4 x2 ? y2 ? 1 (D) 2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10, 双 a 2 b2


y2 ?1 (C) x ? 2
2

21.【2014

天津,文 6】已知双曲线

曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A.

x2 y2 ? ?1 5 20

B.

x2 y2 ? ?1 20 5

C.

3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 ? ? 1 D. ? ?1 25 100 100 25

22.

【2015 高考天津,文 5】已知双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一个焦点为 F (2, 0) ,且双曲线的渐近 a 2 b2


线与圆 x - 2

(

)

2

+ y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为(

(A)

x2 y 2 =1 9 13

(B)

x2 y 2 =1 13 9

(C)

x2 - y2 =1 3

(D) x -

2

y2 =1 3

23.

【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 8】设 a 、 b 是 关于 t 的方程 t cos? ? t sin ? ? 0 的
2

2 两个不等实根, 则过 A(a, a ) ,B (b, b ) 两点的直线与双曲线

2

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为 ( cos2 ? sin 2 ?
D. 3



A. 0

B. 1

C. 2

24. 【2015 高考湖北, 文 9】 将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0)
个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 ) B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D .当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

x2 y 2 25.【2015 高考福建,文 11】已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 为 F .短轴的一个端点为 M , a b
直线 l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点. 若 AF ? BF ? 4 , 点 M 到直线 l 的距离不小于 离心率的取值范围是( )

4 , 则椭圆 E 的 5

A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [
2

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

26.

【2015 四川文 7】过双曲线 x ? )

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、 3

B 两点,则|AB|=(

(A)

4 3 3

(B)2 3

(C)6

(D)4 3

27.

(2014 课标全国Ⅰ,文 10)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点, AF ? ). B.2 C.4
2

5 x0 , 4

则 x0=( A.1

D.8

28.

【2014 辽宁文 8】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的

斜率为( A. ?

) B. ? 1 C. ?

4 3

3 4

D. ?

1 2

29.

【2016 高考天津文数】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 ,且双曲线的一条渐近线 a 2 b2


与直线 2 x ? y ? 0 垂直,则双曲线的方程为( (A)

x2 ? y2 ? 1 4

(B) x ?
2

y2 ?1 4

(C)

3x 2 3 y 2 ? ?1 20 5

(D)

3x 2 3 y 2 ? ?1 5 20


30.

【2016 高考新课标 2 文数】圆 x2+y2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1,则 a=(

(A)?

4 3

(B)?

3 4

(C) 3

(D)2

二、填空题 1.
【 2016 高 考 上 海 文 科 】 已 知 平 行 直 线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 , 则 l1 , l2 的 距 离

_______________.

2.

【2014 高考北京文第 10 题】设双曲线 C 的两个焦点为 ? 2, 0 , 的方程为 .
2

?

? ?

2, 0 ,一个顶点式 ?1,0 ? ,则 C

?

3.

y2 【2015 高考北京,文 12】已知 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ? 2 ? 1( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b



4. 【

2014 湖南文 14】 平面上以机器人在行进中始终保持与点 F ?1, 0? 的距离和到直线 x ? ?1 的距离相等.

若机器人接触不到过点 P?? 1 , 0?且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是___________.

5.

【2016 高考北京文数】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线为 2 x ? y ? 0 ,一个 a 2 b2

焦点为 ( 5, 0) ,则 a ? _______; b ? _____________.

6.【2014 山东.文 15】

已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2c ,右顶点为 A ,抛物线 a 2 b2

x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ,且 PA ? c ,则双曲线的渐近线

方程为___________.

7.

【2015 高考山东,文 15】过双曲线 C:

x2 y 2 ? ?1 的右焦点作一条与其渐近线平行的直 (a ? 0, b ? 0) a2 a2
.

线,交 C 于点 P .若点 P 的横坐标为 2 a ,则 C 的离心率为

8.
P' (

【 2016 高考四川文科】在平面直角坐标系中,当 P(x , y) 不是原点时,定义 P 的“伴随点”为

y ?x , 2 ) ;当 P 是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身,现有下列命题: 2 x ? y x ? y2
2

?若点 A 的“伴随点”是点 A ',则点 A '的“伴随点”是点 A. ?单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. ?若两点关于 x 轴对称,则他们的“伴随点”关于 y 轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .
2

9.

【2014 高考陕西版文第 11 题】抛物线 y ? 4 x 的准线方程为________.

10.【2014 四川,文 11】双曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率等于____________. 4

2 11. 【2015 高考新课标 1, 文 16 】 已知 F 是双曲线 C : x ?

y2 A 0, 6 6 ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点, 8

?

?



当 ?APF 周长最小时,该三角形的面积为



12.

【2015 高考浙江,文 15】椭圆

x2 y 2 b ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c,0 ? 关于直线 y ? x 的对称 2 c a b


点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是

13.

【2014 年.浙江卷.文 17】设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐 a2 b2
.

近线分别交于 A 、 B ,若 P ( m,0) 满足 | PA |?| PB | ,则双曲线的离心率是

14.

[2016 高考新课标Ⅲ文数]已知直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x ? y ? 12 交于 A, B 两点,过 A, B 分
2 2

别作 l 的垂线与 x 轴交于 C , D 两点,则 | CD |? _____________.

15.

【2014 上海,文 4】若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方 9 5

程为___________.

[来源:学科网 ZXXK]

2 设双曲线 x – 16. 【2016 高考浙江文数】

y2 =1 的左、 F2. 右焦点分别为 F1, 若点 P 在双曲线上, 且△F1PF2 3

为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______.

17. 【2016 高考浙江文数】已知 a ? R ,方程 a2 x2 ? (a ? 2) y2 ? 4x ? 8 y ? 5a ? 0 表示圆,则圆心坐标是
_____,半径是______.

18.

【2016 高考天津文数】已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M (0, 5) 在圆 C 上,且圆心到直线

2 x ? y ? 0 的距离为

4 5 ,则圆 C 的方程为__________. 5

19.

【2014 辽宁文 15】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称 9 4
.

点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

20.


【2015 新课标 2 文 15】已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ? .

?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程 2

21.

x2 y2 【2016 高考山东文数】已知双曲线 E: 2 – 2 =1(a>0,b>0) .矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, b a

AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______.

22.

【2016 高考新课标 1 文数】设直线 y =x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2 =0 相交于 A,B 两点,若

,则

圆 C 的面积为

三年高考(2014-2016)数学(文)试题分项版解析

第九章 圆锥曲线
1.
【2016 高考新课标 1 文数】 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交
2

抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.

(I)求

OH ON



(II)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由.

2.

【2014 高考北京文第 19 题】 (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C: x 2 ? 2 y 2 ? 4 . (1) 求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度的最小值.

3. 【2015 高考北京,文 20】 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 , 过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1?
的直线与椭圆 C 交于 ? ,

? 两点,直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? .
(I)求椭圆 C 的离心率; (II)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (III)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由.

4.【2014

高考广 东卷 . 文 .20 】 ( 本小题满分 14 分 ) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5, 0 ,离心率为

?

5 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.

x2 y 2 ? 1 的左顶点, 5. 【2016 高考新课标 2 文数】 已知 A 是椭圆 E : ? 斜率为 k ? k>0? 的直线交 E 与 A , 4 3
M 两点,点 N 在 E 上,

MA ? NA .
(Ⅰ)当 AM ? AN 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 .

6.【
C2 :

2014 湖南文 20】如图 5, O 为坐标原点,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 和椭圆 a12 b12

2 3 x2 y 2 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形 ,1) , ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) 均过点 P( 2 3 a2 b2

是面积为 2 的正方形.

(1)求 C1 , C2 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交于 A, B 两点,与 C2 只有一个公共点,且 | OA ? OB |?| 的结论.

??? ? ??? ?

??? ? AB | ?证明你

7. [2016 高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线 C :y2 ? 2x 的焦点为 F , 平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于
A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.
(I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

y 2 x2 8.【2015 高考湖南, 文 20】 (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 : x ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 a b
2

(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C2 相交
于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向. (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率.

????

??? ?

9.

【2014 山东.文 21】 (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,直线 y ? x 被椭圆 C 截得的 2 a b 2

线段长为

4 10 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB , 直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. (i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的值;

(ii)求 ?CMN 面积的最大值.

10.

【2016 高考北京文数】 (本小题 14 分)

已知椭圆 C:

x2 y 2 ,B(0,1)两点. ? ? 1 过点 A(2,0) a 2 b2

(I)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证: 四边形 ABNM 的面积为定值.

11.

【2015 高考山东,文 21】平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y2 + =1(? > b >0) 的离心 ? 2 b2

率为

1 3 ,且点( 3 , )在椭圆 C 上. 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (Ⅱ)设椭圆 E : 2 + 2 =1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y = kx + m 交椭圆 E 于 A, B 4a 4b
两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

(i)求

|OQ | 的值; |OP |

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

12.

【2016 高考山东文数】(本小题满分 14 分) (a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .

已知椭圆 C:

(I)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过 点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值.

x2 y 2 1 13. 【2014 高考陕西版文第 20 题】已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 3) ,离心率为 ,左 2 a b
右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) . (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l :

1 y ? ? x ? m 与椭圆交于 A, B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C , D 两点,且满足 2

| AB | 5 3 ,求直线 l 的方程. ? | CD | 4

14.

【 2015 高 考 陕 西 , 文 20 】 如 图 , 椭 圆

x2 y2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率 a b


2 . 2
(I)求椭圆 E 的方程; (II)经过点 (1,1) , 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交 于不同两点 P, Q(均异于点 A ) , 证明: 直线 AP 与 AQ

的斜率之和为 2.

15.

【2014 全国 2,文 20】 (本小题满分 12 分)

设F 1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 a 2 b2

与 C 的另一个交点为 N . (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 | MN |? 5 | F 1 N | ,求 a , b .

16.

【2016 高考天津文数】 (设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 a2 3

1 1 3e ? ? ,其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. | OF | | OA | | FA |
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B( B 不在 x 轴上) , 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H , 若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率.

17.【2014 四川,文 20】已知椭圆 C:
(1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F (?2, 0) ,离心率为 . 2 a b 3

(2) 设 O 为坐标原点, T 为直线 x ? ?3 上任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P, Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.

18.

【2015 高考四川,文 20】如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率是 ,点 P(0,1)在短轴 CD 2 a b 2

上,且 PC ? PD =-1 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ,使得 OA ? OB ? ? PA ? PB 为

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由. y D A P O B C

x

19.

【2014 全国 1,文 20】已知点 P(2,2) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B

两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积

20.

【2016 高考浙江文数】 (本题满分 15 分)如图,设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,抛物线上的
2

点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1. (I)求 p 的值; (II)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.

21.【2014 年.浙江卷.文 22】 (本小题满分 14 分)
??? ? ???? ? 已知 ?ABP 的三个顶点在抛物线 C : x 2 ? 4 y 上, F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点, PF ? 3FM ;
(1)若 | PF |? 3 ,求点 M 的坐标; (2)求 ?ABP 面积的最大值.

y P B M F 0 A x

22.

【2016 高考上海文科】 (本题满分 14 分)

有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到 F 点或河边运走。于是,菜地 分为两个区域 S1 和 S2 ,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S1 和 S2 的分 界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐 标为(1,0) ,如图 (1)求菜地内的分界线 C 的方程 (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为

8 。设 M 是 C 上 3

纵坐标为 1 的点,请计算以 EH 为一边、另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判 断哪一个更接近于 S1 面积的经验值

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

23.【2015 高考浙江,文 19】 (本题满分 15 分)如图,已知抛物线 C1:y ?
过点 P(t,0)(t>0) 作不过 原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相 切,A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积.

1 2 x ,圆 C2:x2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 4

注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公 共点为切点.

24.
分.

【2016 高考上海文科】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8

双曲线 x2 ?

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点. b2
? , △F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 2

(1)若 l 的倾斜角为

(2)设 b ? 3 ,若 l 的斜率存在 ,且|AB|=4,求 l 的斜率.学科&网

25.

【2014 高考重庆文第 21 题】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)

x2 y 2 D 在椭圆上,DF1 ? F1F2 , 如题(21) 图, 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ,点 a b

| F1F2 | 2 . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在圆心在
[来源:学科网 ZXXK]

[来源:学科网]

y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线

相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.

26.

【2015 高考重庆,文 21】如题(21)

图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0 )的左右焦 a 2 b2

点分别为 F 1 , F2 ,且过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ ? PF1 .

(Ⅰ)若| PF1 |=2+ 2 ,| PF2 |=2- 2 ,求椭圆的标准方程. (Ⅱ)若|PQ |= ? | PF1 |,且

3 4 ? ? ? ,试确定椭圆离心率的取值范围. 4 3

27.

【2014,安徽文 21】 (本小题满分 13 分)

设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, a 2 b2

2

| AF1 |? 3 | BF1 |
(I)若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (II)若 cos ?AF2 B ?

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

28.

【2016 高考四川文科】(本小题满分 13 分)

x2 y 2 1 已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P( 3, ) 在 2 a b
椭圆 E 上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; 1 (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭 2 圆 E 交于 C,D,证明: MA ? MB ? MC ? MD .

29.【2015 高 考安徽,文 20】设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 a 2 b2

( a , 0) ,点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为
(Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB.
[来源:学科网]

5 . 10

30.

【2014 天津,文 18】设椭圆 = .

的左、右焦点分别为

,,右顶点为 A,上

顶点为 B.已知

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 , 经过点 的直线 与该圆相切与点 M, = .求椭圆的方程.

31.

x2 y 2 【2015 高考天津,文 19】 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点 a b
5 , 5

为 F ,离心率为

(I)求直线 BF 的斜率; (II)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B),过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B) 直线 PQ 与 y 轴交于点 M, |PM |=l |MQ| . (i)求 l 的值; (ii)若 |PM |sin?BQP =

7 5 ,求椭圆的方程. 9

32.

【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 22】在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ?

的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹为 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共 点时 k 的相应取值范围.

33.

【2015 高考湖北,文 22】一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转

动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当 栓子 D 在滑槽 AB 内作 往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点, AB 所 在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
[来源:Zxxk.Com]

(Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且 只有一个公共点,试探究: ?OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在, 说明理由.

34.

【2014 上海,文 22】 (本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第

3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xoy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P i ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 记

?? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔.若曲线 C 与直线 l 没有公共点,且
曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.

1,2),B(? 1, 0) ⑴ 求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔;
⑵若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

⑶动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求 E 的方程,并证明 y 轴为 曲线 E 的分割线.

35.【2014 福建,文 21】 ( (本小题满分 12 分)

已知曲线 ? 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y (1)求曲线 ? 的方程;

? ?3 的距离小 2.

(2)曲线 ? 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A .直线 y

? 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M , N ,以 MN 为

直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 P 在曲线 ? 上运动(点 P 与原点不重合) 时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.

36.【2015 高考福建,文 19】已知点 F 为抛物线 E : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A(2, m) 在抛物线 E 上,
且 AF ? 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与 直线 GB 相切.

37.

(2014 课标全国Ⅰ,文 20)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B

两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

38.
2

【2014 辽宁文 20】 (本小题满分 12 分)
2

圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时, 切点为 P (如图) . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l : y ? x+ 3 交于 A,B 两点,若 ?PAB 的面积为 2,求 C 的标准方程.

y

P O x

39.

【2015 新课标 2 文 20】(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 2 a b 2

点 2, 2 在 C 上. (I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 A B 中点为 M,证明:直线 OM 的斜 率与直线 l 的斜率乘积为定值.

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