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抛物线的简单几何性质


教学课题: 授课教师: 授课时间: 授课地点: 教学目的:

§ 8.6 抛物线的简单几何性质(二) 杨小英 2008 年 11 月 26 日上午第三节 兰州市民族中学高二 2 班教室 1.教学知识点: (1).抛物线性质的应用。 (2).与抛物线有关的轨迹的求法。 (3).直线与抛物线的位置关系。 2.能力训练要求: (1). 灵活运用抛物线的性质。 (2). 掌握与抛物线有关的轨迹线的求法及直线与抛物线的位置关系。 3.情感、态度与价值观 培养学生理解和掌握数形结合、化归思想及方程的数学思想方法;训 练学生分析问题解决问题的能力。培养学生养成探究式学习、自主式学习、 合作式学习等优秀的学习品质。 抛物线的几何性质及其运用,与抛物线有关的轨迹线的求法及直线与抛物 线的位置关系。 抛物线的几何性质的综合运用。 新授课。 讲授法。 通过对抛物线的简单几何性质的总结归纳,在老师的启发下结合新问 题对照性质找出问题的突破口,找出解决问题的方法并及时总结归纳找出 解决这类问题的一般方法。 一课时 多媒体、实物投影仪 教学内容 师生互动 教师提出问题学生回 答 幻灯片 1,2 (多媒体列出性质表 格) 设计意图 进一步巩固 抛物线的几 何性质, 为本 节课的新知 识打下伏笔。

教学重点: 教学难点: 授课类型: 教学方法: 学 法:

课时安排: 教具准备:

一.复习回顾 教 1. 抛物线的定义。 2. 抛物线的简单几何性质。 学 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支, 抛物线不存在渐近线 过 二.讲授新课。 1. 例题讲解,复习抛物线的简单性质。 例1 程 (1)已知点 A(-2,3)与抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点的距离是 5,则 p= 。 2 (2)已知直线 x-y=2 与抛物线 y =4x 交于 A, B 两点, 那么线段 AB 的中点坐标是 。

幻灯片 3 师生共同分析: (1) 题由抛物线的的 标准方程可设焦点坐 标为(

p ,0) ,由距 2

回顾抛物线 的几何性质 进行简单应 用。

离公式可得关于 p 的

教学内容 解(1)由抛物线方程 y =2px(p>0)可设焦点坐标 为(
2

p ,0) ,由题意得: 2

p (?2 ? ) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 5 又由 p>0 可得 p=4 2
教 (2)列方程组 ?

设计意图 通过引导分 方程, 从而解出 p 值。 (2) 题可利用直线方 析体会和综 程与抛物线方程组成 总结出分段 函数的概念 的方程组,并结合韦 以及分段函 达 定 理 求 出 中 点 坐 数的特征。 标。

师生互动

?x ? y ? 2 2 ? y ? 4x
2

① ②

由①代入②可得,y -4y-8=0 ③ 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M(x,y),根据 韦达定理由③得 y1 + y2=4 学 ∴y?

师生共同写出解题过 程

y1 ? y 2 ? 2 代入①得 x=y+2=4 2

小结以上两个例题的 解题思路

∴AB 中点坐标为(4,2) (二).性质的深化了解及简单应用。 过 例 2.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 (如图) ,光源位于抛物线的焦点处。已知灯口 圆的直径为 60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准 方程和焦点的位置. 程 解: 在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标 系,以反光镜的顶点为坐标原点,x 轴垂直于灯 口直径。 设抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0),由已知条 件可得 A(40,30),代入方程,得

(幻灯片) 学生分析实例,教师 引导学生建立适当的 平面直角坐标系,化 实际问题为数学问 题。 师生共同分析完成此 题的解题过程。

培养学生会 建立适当的 坐标系化实 际问题为数 学问题。 进一步的理 解和熟练运 用抛物线的 标准方程和 几何性质去 解决问题。

302 ? 2 p ? 40即 p=

45 4
2

所以所求抛物线的标准方程是 y ?

45 x, 焦点 2

坐标是(

45 8

,0) 。

例 3 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,求这个三角

教学内容 形的边长。 解:作图得
y

师生互动

设计意图 培养学生应 用数形结合 的思想方法 解决数学问 题的能力

观察图,正三角形及 抛物线都是轴对称图 A 形,如果能证明 x 轴 x O 是它们公共的对称 轴,则容易求出三角 B 形边长. 如图, 设正三角形 OAB 的顶点 A、 B 在抛物线上, ( 1 ) . 学生自己画图 且坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则 发现,正三角形是以 2 2 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 一原点为顶点,以 x 2 2 2 2 轴为对称轴。 又|OA|=|OB|,所以 x1 ? y1 ? x2 ? y2 教 ( 2 ) . 教师引导,师 2 2 即 x1 ? 2 px1 ? x2 ? 2 px2 生共同分析出解题过 2 2 ( x1 ? x2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ? 0 程。 [(x1 ? x2 ) ? 2 p](x1 ? x2 ) ? 0 (3) 师生共同分析写 ∵ x1 ? 0, x2 ? 0,2 p ? 0 ,∴ x1 ? x 2 . 学 出解题过程。 由此可得 | y1 |?| y 2 | , 即线段 AB 关于 x 轴对称. 因为 x 轴垂直于 AB,且∠AOx=30°,所以



y1 3 ? tan300 ? x1 3
所以 y1 ? 2 px1 ?

理解抛物线 的简单几何 性质, 经一步 的巩固应用。 培养学生勇 于探究、 勤于 思考的优秀 的学习品质

1 ? 2 3p , y1
王新敞
奎屯 新疆



| AB |? 2 y1 ? 4 3 p

三.随堂练习 课后练习第 3 题,习题 8.6 第 1 题 四.课后小结 抛物线是一种常见的圆锥曲线, 要掌握它的 定义, 标准方程及几何性质, 并能灵活运用它们 解决一些实际问题。 五.布置作业 课后习题 8.6 第 1,2,3 题 板 书 设 计
课题:§ 8.6 抛物线的简单几何性质(二) 例1 例2 (例 3)

随堂练习由学生独立 完成后师生共同交流 结果。

反 思

职称评审公开课教案 《抛物线的简单几何性质(二) 》

兰州市商贸职业学校 杨小英
2008 年 11 月 26 日


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