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2016


第 21 课时

2.2.3 两条直线的位置关系——垂直

课时目标 掌握两条直线垂直的条件,并能用这些条件判断两直线是否垂直.

识记强化

1.已知两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线垂直的条件 是:A1A2+B1B2=0,反之,若满足 A1A2+B1B2=0,则两条直线垂直. 2.已知两条直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则两条直线垂直的条件是:k1k2=- 1,反之,若两条直线都存在斜率,分别为 k1,k2,且 k1k2=-1 则两直线互相垂直.

课时作业

一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 1.下列直线中,与直线 l:y=3x+1 垂直的是( ) A.y=-3x+1 B.y=3x-1 1 1 C.y= x-1 D.y=- x-1 3 3 答案:D 解析:因为直线 l:y=3x+1 的斜率为 3,所以与直线 l:y=3x+1 垂直的直线的斜率 1 1 为- ,经观察只有选项 D 中的直线的斜率为- ,故选 D. 3 3 2.已知直线 l 上两点 A,B 的坐标分别为(3,5),(a,2),且直线 l 与直线 3x+4y-5= 0 垂直,则 a 的值为( ) 3 3 A.- B. 4 4 4 4 C.- D. 3 3 答案:B 3 4 解析: 因为直线 3x+4y-5=0 的斜率为- , 故直线 l 的斜率为 .由直线的斜率计算公 4 3 5-2 4 3 式,可得 = ,解得 a= ,故选 B. 3-a 3 4 3.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线的方程为( ) A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0 答案:A 解析: 设所求直线方程为 2x+y+C=0, 依题意有 2×(-1)+3+C=0, 于是有 C=-1, 故选 A. 4.已知两点 A(-2,0),B(0,4),则线段 AB 的垂直平分线方程是( )
1

A.2x+y=0 B.2x-y+4=0 C.x+2y-3=0 D.x-2y+5=0 答案:C 4-0 解析: AB 所在直线的斜率 k= =2, 所以线段 AB 的垂直平分线的斜率应为- 0-?-2? 1 .只有选项 C 满足条件. 2 5.将直线 l:x-y+1=0 绕点 A(2,3)逆时针旋转 90°, 得到的直线 l1 的方程是( ) A.x-2y+4=0 B.x+y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0 答案:C 解析:根据题意,知直线 l1 与直线 l 垂直,而直线 l:x-y+1=0 的斜率为 1,所以直 线 l1 的斜率为-1.又直线 l1 也过点 A(2,3),故直线 l1 的方程是 y-3=-1×(x-2),即 x +y-5=0. 7 6.过点(0, ),(7,0)的直线 l1 与过点(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴围成的 3 四边形内接于一个圆,则实数 k 的值为( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 答案:B 7 3 1 解析:若 l1 和 l2 与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则 l1⊥l2.而 k1= =- , -7 3 k+1-1 k2= =k,由 k1·k2=-1,得 k=3. 3-2 二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 7. 已知直线 l 过点(-2, -3)且与直线 2x-3y+4=0 垂直, 则直线 l 的方程为________. 答案:3x+2y+12=0 2 解析:直线 2x-3y+4=0 的斜率为 ,又直线 l 与该直线垂直,所以直线 l 的斜率为- 3 3 3 .又直线 l 过点(-2,-3),因此直线 l 的方程为 y-(-3)=- ×x-(-2)],即 3x+2y 2 2 +12=0. 8.已知直线 l 过点 O(0,0)和(1,1),将直线 l 绕点 O 按逆时针旋转 90°得到直线 l′, 则直线 l′的倾斜角为________;斜率为________. 答案:135° -1 解析:∵kl=1,l⊥l′,∴kl′=-1,l′的倾斜角为 135°. 9.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-1,0),B(0,2),C(a,0),若 AB⊥BC,则 a =________. 答案:4 2-0 0-2 2 ? 2? 解析: 因为 kAB= =2, 所以直线 BC 的斜率存在, 且 kBC= =- .由 2·?- ? 0-?-1? a-0 a ? a? =-1,得 a=4. 三、解答题 10.(12 分)已知直线 l1:2x+ay=2 与直线 l2:ax+2y=1 垂直,求实数 a 的值. 1 解:方法一:①当 a=0 时,直线 l1:x-1=0,直线 l2:y- =0,此时,l1⊥l2. 2 2 2 a 1 2 ②当 a≠0 时,直线 l1:y=- x+ 与直线 l2:y=- x+ ,直线 l1 的斜率为 k1=- , a a 2 2 a

2

直线 l2 的斜率为 k2=- , 2 2 ? a? 又两直线垂直,则 k1·k2=-1,即- ·?- ?=-1,无解,故不存在实数 a 使方程成 a ? 2? 立. 综合①②,可得 a=0. 方法二 直线 l1:2x+ay=2 和直线 l2:ax+2y=1 垂直, 根据两直线垂直的条件,有 2a+2a=0,解得 a=0, 所以 a=0. 11.(13 分)已知三角形的三个顶点分别是 A(4,0),B(6,6),C(0,2). (1)求 AB 边上的高所在直线的方程; (2)求 AC 边的垂直平分线所在直线的方程. 解:(1)∵A(4,0),B(6,6),C(0,2), 6-0 1 ∴kAB= =3,∴AB 边上的高所在直线的斜率为- . 6-4 3 又 AB 边上的高所在的直线过点 C, 1 ∴AB 边上的高所在直线的方程为 y-2=- (x-0), 3 即 x+3y-6=0. 2-0 1 (2)∵直线 AC 的斜率 kAC= =- , 0-4 2 ∴AC 边的垂直平分线所在直线的斜率为 2. 又 AC 边的中点为(2,1), ∴AC 边的垂直平分线所在直线的方程为 y-1=2(x-2), 即 2x-y-3=0. 能力提升 12.(5 分)(1)求点 P(2,3)关于直线 l:2x-y-4=0 的对称点 P′的坐标; (2)求 l1:x+7y-6=0 关于直线 l:x+y-2=0 的对称直线 l2 的方程. 解:(1)设 P(2,3)关于 l 的对称点 P′(a,b),则有 P′P⊥l 且 P′P 的中点在直线 l 上,则有

a

b-3 ? ?a-2×2=-1, ? a+2 b+3 ? ?2× 2 - 2 -4=0,
22 9 求得 a= ,b= . 5 5 ?22 9? ∴P′? , ?. ? 5 5?

?4 2? (2)由 x+7y-6=0 及 x+y-2=0,求得 l1 与 l 的交点 P? , ?,取 l1 上的点 B(6,0), ?3 3? 设它关于 l:x+y-2=0 的对称点 B′(a,b).
b ? ?a-6×?-1?=-1, ∴? a+6 b ? ? 2 +2-2=0.
解得:?
? ?a=2, ?b=-4. ?

3

∴B′(2,-4). ∴l2 即 PB′的直线方程:7x+y-10=0. 13.(15 分)如图所示,△ABC 中,已知顶点 A(4,4),∠B 的平分线所在直线方程 l1:x -y-4=0,∠C 的平分线所在直线方程 l2:x+3y-8=0,求三角形三边所在直线的方程.

解:设 A 关于 l1:x-y-4=0 的对称点为 A1(x1,y1),则有

y -4 ? ?x -4=-1, ?x +4 y +4 ? ? 2 - 2 -4=0.
1 1 1 1

解之得?

?x1=8 ? ?y1=0 ?

,即 A1(8,0).

又设 A 关于 l2:x+3y-8=0 的对称点为 A2(x2,y2),则有

y -4 ? ?x -4=3 ?x +4 y +4 ? 2 +3· 2 -8=0 ?
2 2 2 2

12 ? ?x = 5 解得? 4 ?y =-5 ?
2 2

∴A1A2 的方程,即 BC 方程为:x-7y-8=0. ?x-7y-8=0 2? ? ?10 由? 得 B? ,- ?, 3? ?3 ? ?x-y-4=0 由?
?x-7y-8=0 ? ? ?x+3y-8=0

得 C(8,0).

故直线 AB 的方程为 7x-y-24=0,直线 AC 的方程为 x+y-8=0,直线 BC 的方程为 x -7y-8=0.

4


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