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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第6节曲线与方程课时训练理


第 6 节 曲线与方程

【选题明细表】 知识点、方法 曲线与方程 直接法求轨迹(方程) 定义法求轨迹(方程) 相关点法求轨迹(方程) 参数法求轨迹(方程) 基础对点练(时间:30 分钟) 1.方程(x +y -4)
2 2

题号 1,3,6 2,7,10,14,15 4,5,8,11 12,13 9,16

=0 的曲线形状是(

C )

解析:原方程可化为
2

或 x+y+1=0.
2

显然方程表示直线 x+y+1=0 和圆 x +y -4=0 在直线 x+y+1=0 的右上方部分,故选 C. 2.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则动点 P 的轨迹是( B ) (A)直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 解析:设 P(x,y),则
2 2

=2

,

整理得 x +y -4x=0, 2 2 又 D +E -4F=16>0,所以动点 P 的轨迹是圆. 2 2 3.(2015 淄博模拟)方程 xy -x y=8x 的图象( B ) (A)关于 y 轴对称 (B)关于原点对称 (C)关于直线 x+y=0 对称 (D)关于直线 x-y=0 对称 解析:方程中以-x 代 x,方程改变,故图象不关于 y 轴对称,A 错误;方程中以-x 代 x,-y 代 y, 方程不变,故图象关于原点对称,B 正确;方程中以-x 代 y,-y 代 x,方程改变,故图象不关于 x+y=0 对称,C 错误;方程中以 x 代 y,y 代 x,方程改变,故图象不关于 y=x 对称,D 错误.故选 B. 4.(2016 银川模拟)已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长 线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( D ) (A)2x+y+1=0 (B)2x-y-5=0 (C)2x-y-1=0 (D)2x-y+5=0
1

解析:设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 Q 点的轨迹方程为 2x-y+5=0. 2 2 5.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平 分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( D ) (A) =1 (B) + =1

(C)

-

=1 (D)

+

=1

解析:因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,

所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故 M 的轨迹是以定点 C,A 为焦点的椭圆. 所以 a=,c=1,则 b =a -c = ,
2 2 2

所以椭圆的方程为

+

=1.
2 2 2

6.(2015 山西联考)已知圆锥曲线 mx +4y =4m 的离心率 e 为方程 2x -5x+2=0 的根,则满足条件 的圆锥曲线的个数为( B ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 2 解析:因为 e 是方程 2x -5x+2=0 的根, 2 2 所以 e=2 或 e=.mx +4y =4m 可化为+=1, 当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时,有 所以 m=3; 当它表示焦点在 y 轴上的椭圆时,有 =, =,

所以 m= ;

当它表示焦点在 x 轴上的双曲线时,可化为- =1,有 所以 m=-12. 所以满足条件的圆锥曲线有 3 个.

=2,

2

7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(-2,1),B(-1,3),若点 C 满足





,其中α ,β ∈[0,1]且α +β =1,则点 C 的轨迹方程是 .

解析:设 C(x,y),则

整理得 将其代入α +β =1 中整理得 2x-y+5=0, 又 x=-2α -β =-2α -(1-α )=-α -1∈[-2,-1], 所以点 C 的轨迹方程是 2x-y+5=0,x∈[-2,-1]. 答案:2x-y+5=0,x∈[-2,-1] 8.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程 是 . 解析:如图,|AD|=|AE|=8,

|BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6, 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, 故方程为- =1(x>3).

答案:- =1(x>3) 9.(2015 聊城一模 ) 在 平面直角坐标 系中 ,O 为坐标原点 ,A(1,0),B(2,2), 若 点 C 满 足 = +t( ),其中 t∈R,则点 C 的轨迹方程是 .

解析:设 C(x,y), 则 =(x,y), +t( )=(1+t,2t),

所以

消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y=2x-2.

3

答案:y=2x-2 10.已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使 数列,求点 P 的轨迹方程. 解:设点 P 的坐标为(x,y),则 · =(x+1,y)·(2,0)=2(x+1), · , · , · 成公差小于零的等差

·

=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x +y -1,

2

2

·

=(-2,0)·(x-1,y)=2(1-x),

根据已知得 2 ·
2 2

=

·

+

·

,

即 2(x +y -1)=2(1+x)+2(1-x), 2 2 化简得 x +y =3, 又由公差小于 0 可知 2(1-x)-2(1+x)<0,解得 x>0, 2 2 所以点 P 的轨迹方程为 x +y =3(x>0). 11.(2015 唐山一模)已知圆 O:x +y =4,点 A( 的轨迹为Γ .
2 2

,0),以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O,记点 B

(1)求曲线Γ 的方程; (2)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程. 解:(1)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM,MN(图略),则|OM|+|MN|=|ON|=2,取 A 关于 y 轴的 对称点 A′,连接 A′B,故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4. 所以点 B 的轨迹是以 A′,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 其中,a=2,c= ,b=1,则
2

曲线Γ 的方程为+y =1. (2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD, 则 ⊥ .设 B(x0,y0), )+ =0.
4

则 x0(x0-

又+ =1,解得 x0= ,y0=± .

则 kOB=± ,kAB=?

,

则直线 AB 的方程为 y=± 即 x-y=0 或 x+y-

(x=0.

),

能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2016 洛阳模拟)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若 ( A ) 2 2 (A)x +3y =1(x>0,y>0) 2 2 (B)x -3y =1(x>0,y>0) 2 2 (C)3x -y =1(x>0,y>0) 2 2 (D)3x +y =1(x>0,y>0) 解析:设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0, 由 =2 ,得(x,y-b)=2(a-x,-y), =2 ,且 · =1,则点 P 的轨迹方程是

即 a=x>0,b=3y>0.点 Q(-x,y), 故由 · =1,

得(-x,y)·(-a,b)=1, 即 ax+by=1. 2 2 将 a,b 代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x +3y =1(x>0,y>0). 13.(2015 东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0),B(1,1),C(0,1).映射 f 将 2 2 xOy 平面上的点 P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v 上的点 P′(2xy,x -y ),则当点 P 沿着折线 ABC 运动时,在映射 f 的作用下,动点 P′的轨迹是( D )

解析:当 P 沿 AB 运动时,x=1, 设 P′(x′,y′),则 (0≤y≤1)

5

所以 y′=1- (0≤x′≤2,0≤y′≤1). 当 P 沿 BC 运动时,y=1, 则 (0≤x≤1),

所以 y′= -1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0), 由此可知 P′的轨迹如 D 所示,故选 D. 14.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹方程为 . 解析:设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R, 由于△ABP 为正三角形, 所以 P 到 y 轴的距离 d= R,

即|x|= R.

而 R=|PF|=

,

所以|x|= · 整理得(x+3a) -3y =12a , 即 =1.
2 2 2

.

答案:

-

=1

15.(2015 长春高三调研)已知平面上的动点 P (x, y)及两个定点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 且 k1k2=-. (1)求动点 P 的轨迹 C 方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同两点 M,N,当 OM⊥ON 时,求 O 点到直线 l 的距离(O 为 坐标原点). 解:(1)设 P(x,y), 由已知得
2

·
2

=-,

整理得 x +4y =4,

6

即+y =1(x≠±2). (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2)

2

消去 y 得(4k +1)x +8kmx+4m -4=0, 2 2 2 由Δ =(8km) -4(4k +1)(4m -4)>0, 2 2 得 4k +1-m >0. x1+x2=,

2

2

2

x1·x2=

,

因为 OM⊥ON, 所以 x1·x2+y1·y2=0, 2 2 即 x1·x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k )x1·x2+km(x1+x2)+m =0, 所以(1+k )·
2 2 2

+km·(2 2

)+m =0,

2

所以 m =(k +1)满足 4k +1-m >0, 所以 O 点到 l 的距离为 d= ,

即d=

2

=,

所以 d=

.

16.(2015 湖州模拟)已知以 C(2,0)为圆心的圆 C 和两条射线 y=±x(x≥0)都相切,设动直线 l 与圆 C 相切,并交两条射线于 A,B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 解:设直线 l 的方程为 y=kx+b. A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由 得 A( , ) (k≠0).



得 B(

,

),

7

所以

由①②得 k=,b=

,③

因为圆 C 与 y=±x 都相切,所以圆 C 的半径 r= 因为 AB:kx-y+b=0 与圆 C 相切, 所以 = ,即 2k +4kb+b -2=0,④
2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

将③代入④得(y -x ) +4x(y -x )-2(y -x )=0, 2 2 2 2 因为 y ≠x ,所以 y -x +4x-2=0, 2 2 即(x-2) -y =2(y≠0), 当 l⊥x 轴时,线段 AB 的中点 M(2± ,0)也符合上面的方程,其轨迹在∠AOB 内.

精彩 5 分钟 1.(2016 泉州模拟)若曲线 C 上存在点 M,使 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差为 8, 则称曲线 C 为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是( B ) 2 2 (A)x+y=5 (B)x +y =9 (C) +=1 (D)x =16y 解题关键:先确定 M 的轨迹,再研究各选项与 M 的轨迹的交点情况,即可得结论. 解析:因为 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差为 8, 所以 M 的轨迹是以 A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为 -=1(x≥4). A.直线 x+y=5 过点(5,0),满足题意; 2 2 B. x +y =9 圆心为(0,0),半径为 3,与 M 的轨迹没有交点,不满足题意; C. + =1 的右顶点(5,0)满足题意;
2

D.将方程 x =16y 代入 -=1,可得 y-=1,即 y -9y+9=0,此方程有解,满足题意. 故选 B. 2 2.(2015 延庆一模)曲线|x|+y -3y=0 的对称轴方程是

2

2

,y 的取值范围是

.

8

解题关键:以-x 代替 x,方程不变,可得曲线的对称轴方程,由方程 y -3y=-|x|≤0,可求 y 的取 值范围. 2 解析 : 以 -x 代替 x, 方程不变 , 所以曲线 |x|+y -3y=0 的对称轴方程是 x=0, 由方程可得 2 y -3y=-|x|≤0, 所以 0≤y≤3,即 y 的取值范围是[0,3]. 答案:x=0 [0,3]

2

9


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