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江苏高考数学试卷纵向分类汇总(2008-2012):第九章 圆锥曲线


九、圆锥曲线
(一)填空题
1、 ( 2008 江苏卷 12)在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O a 2 b2


? a2 ? 为圆心, a 为半径的圆,过点 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?
a2 c 2 故 . ? 2a ,解得 e ? ? c a 2

【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,

2、 ( 2009 江 苏 卷 13 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y 中 , A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T ,线 a 2 b2
段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .

【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。 直线 A1B2 的方程为: 直线 B1F 的方程为: 则M(

x y ? ? 1; ?a b x y 2ac b( a ? c) ? ? 1 。二者联立解得: T ( , ), c ?b a?c a?c

x2 y 2 ac b(a ? c) , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e2 ? 10e ? 3 ? 0 , 2 2 (a ? c) 4(a ? c)
解得: e ? 2 7 ? 5

3. ( 2010 江苏卷 6)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是__________

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横 4 12

MF 4 [解析]考查双曲线的定义。 MF=4。 ? e ? ? 2 ,d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离,d =2, d 2
4、 (2012 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 的值为 ▲ .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , 则m m m ?4

【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 . m m ?4

∴ e= =

c a

m ? m2 ? 4 m

= 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 .

(二)解答题
1、 ( 2009 江苏卷 22) (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A (2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 【解析】 [必做题 ]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考 查运算求解能力。满分 10 分。

2、 ( 2010 江苏卷 18) (本小题满分 16 分)

在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、 B,右焦点为 9 5

F。设过点 T( t , m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、

N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。
(1)设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 ? 4 , 求点 P 的轨迹; (2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 , 求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无 关) 。 【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、 A(-3,0) 。 由 PF 2 ? PB 2 ? 4 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? [( x ? 3)2 ? y 2 ] ? 4, 化简得 x ? 故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2) 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

9 。 2

1 5 1 20 ? 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: M (2, ) 、 N ( , ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为:

分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m 、 , ) N ( ,? )。 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一) 当 x1 ? x2 时, 直线 MN 方程为: ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 2 2 80 ? m 20 ? m 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , ? 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m ? 80 ? m2 ? , 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 3m2 ? 60 40 ? m2 ?1 20 ? m2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。

x2 y2 ? ? 1的 3、 ( 2011 江苏卷 18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 2
顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点, 其中 P 在第一象限, 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥ PB
P B M A N C x y

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直 线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分 16 分. 解: (1)由题设知, a ? 2, b ? 坐标为 (?1,?

2, 故M (?2,0), N (0,? 2 ), 所以线段 MN 中点的

2 ) ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点, 2
?

2 2 ? 2. 又直线 PA 过坐标原点,所以 k ? ?1 2
(2)直线 PA 的方程 y ? 2 x代入椭圆方程得 解得 x ? ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

2 2 4 2 4 ,因此 P( , ), A(? ,? ). 3 3 3 3 3 4 0? 2 3 ? 1, 故直线AB的方程为x ? y ? 2 ? 0. 于是 C ( ,0), 直线 AC 的斜率为 2 2 3 3 ? 3 3

2 4 2 | ? ? | 2 2 因此, d ? 3 3 3 ? . 3 11 ? 12
(3)解法一: 将直线 PA 的方程 y ? kx 代入

x2 y 2 2 2 ? ? 1, 解得x ? ? , 记? , 4 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

则 P(? , ?k ), A(?? ,??k ),于是C(? ,0)

故直线 AB 的斜率为 其方程 y ? 解得 x ?

0 ? ?k k ? , ??? 2

k ( x ? ? ), 代入椭圆方程得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0, 2

? (3k 2 ? 2)
2 ? k2

或x ? ??因此B(

? (3k 2 ? 2) ? k 3
2 ? k2 , 2 ? k2

).

?k 3
于是直线 PB 的斜率 k1 ?

2? k2
2

? ?k ?

? (3k ? 2)
2? k2

1 ?? . k 3k ? 2 ? (2 ? k )
2 2

k 3 ? k (2 ? k 2 )

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 解法二: 设 P( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , A(? x1 ,? y1 ), C( x1 ,0) . 设 直 线 PB , AB 的 斜 率 分 别 为 k1 , k 2 因 为 C 在 直 线 AB 上 , 所 以

k2 ?

0 ? ( y1 ) y k ? 1 ? . x1 ? (? x1 ) 2 x1 2 y 2 ? y1 y 2 ? (? y1 ) ? ?1 x2 ? x1 x2 ? (? x1 )

从而

k1k ? 1 ? 2k1k 2 ? 1 ? 2 ?

2 2 2 2 y2 ? 2 y12 ( x2 ? 2 y2 ) 4?4 ? 2 ?1 ? ? 2 ? 0. 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 4、 (2012 江苏 19)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 分别为 F1 (?c , e) 和 ? e , 0) , F2 (c , 0) .已知 (1 , (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e= 上,得

c e) 在椭圆 ,由点 (1 , a

12 a2

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 ,

∴ c 2 =a 2 ? 1. 由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1, 0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , ∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 . m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 .① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

.②

(i)

由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m 2 =2. = 2 2 m ?2 m ?2 2
1 2 . = m 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 . ∴直线 AF1 的斜率为 (ii)证明:∵ AF1 ∥ BF2 ,∴

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 PB ? ?1 ? 2 ?1? ? ,即 。 PF1 AF1 PF1 AF1 PF1 AF1

∴ PF1 =

AF1 BF1 . AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 . AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

?

?

同理 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 . AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF =

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF BF = m

2

?1

m ?2

2

,∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2. 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值. 【点评】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 , e) 和 ? e , (2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

? ? ?

3? ? 都在椭圆上列式求解. 2 ? ?

6 ,用待定系数法求解. 2


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