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函数基础知识与典型例题复习


映 射

函 数

数学基础知识与典型例题复习第二章函数 映射:设非空数集 A,B,若 例 1.若 A = {1,2,3,4} ,B = {a, b, c} ,则 A 到 B 的映 对集合 A 中任一元素 a,在集 射有 个, B 到 A 的映射有 个;若 合 B 中有唯一元素 b 与之对 A = {1,2,3} , B = {a, b, c} , 则 A 到 B 的一一映射 应,则称从 A 到 B 的对应为 有 个。 映射,记为 f:A→B,f 表示 例 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N, 对应法则,b=f(a)。若 A 中不 映射 f : A → B 把集合 A 中的元素 n 映射到集 同元素的象也不同, B 中每 合 B 中的元素 2 n + n ,则在映射 f 下,象 20 的 且 一个元素都有原象与之对应, 原象是 ( ) 则称从 A 到 B 的映射为一一 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 映射。 1.函数定义:函数就是定义在 例 3.已知扇形的周长为 20,半径为 r ,扇形面 ;定义域 非空数集 A,B 上的映射,此 积 为 S , 则 S = f (r ) = 时称数集 A 为定义域,象集 为 。 C={f(x)|x∈A}为值域。 x 2 ? 3x ? 4 例 4. 求函数 f ( x) = 的定义域. 2.函数的三要素:定义域,值 x +1 ? 2 域,对应法则. 从逻辑上讲, 定义域,对应法则决定了值 域,是两个最基本的因素。 3. 函数定义域的求法: 列出使 函数有意义的自变量的不等 关系式, 求解即可求得函数的 ① 定义域.常涉及到的依据为: 分母不为 0;②偶次根式中被 开方数不小于 0;③对数的真 数大于 0,底数大于零且不等 例 5. 若函数 y = f (x ) 的定义域为[?1,1],求函 1 1 于 1;④零指数幂的底数不等 数 y = f ( x + ) ? f ( x ? ) 的定义域。 于零; ⑤实际问题要考虑实际 4 4 意义等. 注 : 求函数定义域是通过解关 于自变量的不等式(组)来实 现的。 函数定义域是研究函数 性质的基础和前提。 函数对应 法则通常表现为表格, 解析式 和图象。

函 4.函数值域的求法:①配方法 1 ? x2 例 6. 已 知 g ( x ) = 1 ? 2 x, f [ g ( x ) ] = 2 (x≠0), 数 (二次或四次);②判别式法; x ③反函数法(反解法) ;④换 1 求 f ( ). 元法(代数换元法) ;⑤不等 2 式法;⑥单调函数法. 注: ⑴求函数值域是函数中常 见问题,在初等数学范围内, 直接法的途径有单调性, 基本 不等式及几何意义, 间接法的 途径为函数与方程的思想, 表 现为△法,反函数法等,在高 等数学范围内, 用导数法求某 些函数最值 (极值) 更加方便. ⑵常用函数的值域, 这是求其 他复杂函数值域的基础。 ①函数 y = kx+b(k ≠ 0, x∈R) 的值域 例 7. 求函数 y = 2 x + 4 1 ? x 的值域. 为 R; ② 二 次 函 数 2 y =ax +bx+c(a ≠0, x∈R) 当 a > 0 时值
4a 2 域是 ( ?∞, 4 ac ? b ] ;③反比
4a

域是 [ 4ac ? b , +∞) , 当 a < 0 时值
2

例函数

k y = (k ≠ 0, x ≠ 0) x

的值域

为 { y | y ≠ 0} ; ④ 指 数 函 数 y = a x (a > 0, 且a ≠1, x ∈R) 的 值 域 为 R + ;⑤对数函数 y = log a x (a > 0, 且a ≠ 1, x > 0) 的值域为 R; 例 8. 下列函数中值域为 (0 , ∞ ) 的是( ) + 1? x ⑥ 函 数 y = sin x , y = cos x ( x ∈ R ) 1 ?1? (A) y = 5 2? x (B) y = ? ? 的 值 域 为 [-1 , 1] ; 函 数 ? 3? π y = tanx, x ≠ kπ + , y = cot x x 2 ?1? (C) y = ? ? ? 1 (D) y = 1 ? 2 x ( x ≠ kπ , k ∈ Z ) 的值域为 R; ?2? 单 函数的单调区间可以是整个 例 9.讨论函数 f ( x) = 1 ? x 2 的单调性。 调 定义域, 也可以是定义域的一 性 部分. 对于具体的函数来说可 能有单调区间, 也可能没有单 调区间,如果函数在区间(0, 1)上为减函数,在区间(1, 2)上为减函数,就不能说函

( 1 )( , 上 数 在 0, U 1 2) 为 减 函 数.

单 单调性: 研究函数的单调性应 调 结合函数单调区间, 单调区间 性 应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法: ①定 义法 (作差比较和作商比较) ; ②图象法; ③单调性的运算性 质(实质上是不等式性质) ; ④复合函数单调性判断法则; ⑤导数法(适用于多项式函 数) 函数单调性是函数性质中最 活跃的性质, 它的运用主要体 现在不等式方面,如比较大 小,解抽象函数不等式等。

例 10. 函数 y = 2 在定义域上的单调性为 ( ) (A)在 (? ∞,1) 上是增函数,在 (1,+∞) 上是增函 数;(B)减函数;(C)在 (? ∞,1) 上是减函数, 在 (1,+∞) 上是减函数;(D)增函数 例 11.已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数,求 证:f [g (x)]在 R 上也是增函数。

1 x ?1

反 1. 反 函 数 定 义 : 只 有 满 足 例 13.求函数 y = 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的 函 x ←?? y ,函数 y = f (x) 才有 反函数 → 唯一 数 反函数 . 例如: y = x 2 无反函 数 . 函数 y = f (x ) 的反函数记 为
x= f
?1
?1

( y)

,习惯上记为

y= f

( x) .

2.求反函数的步骤:①将 y = f (x)

奇 1.⑴偶函数: f (? x) = f ( x) .设 例 12.判断下列函数的奇偶性: 偶 ( a, b )为偶函数上一点,则 1+ x , ① f ( x) = ( x ? 1) 性 ( ?a, b )也是图象上一点. 1? x ⑵偶函数的判定: 两个条件同 时满足①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y = x 2 + 1 在 [1,?1) 上 不 是 偶 函 数 . ② 满 足 f (? x) = f ( x) , f (? x) ? f ( x) = 0 , 或 ② f ( x) = x 2 ? 1 1 ? x 2 , f ( x) 若 f ( x) ≠ 0 时, = 1.
f (?x)

看成关于 x 的方程,解出 x=f ?1(y), 若有两解,要注意解的选择;
2x + 3 ,函数 y=g(x) 图象与 x ?1 ③写出反函数的定义域(即 y = f ?1 ( x + 1) 的图象关于直线 y= x 对称,求 y = f (x) 的值域) 。 g(11)的值。

②将 x, y 互换,得 y = f

?1

( x) ;

例 14. 已知 f ( x ) =

2.⑴奇函数: f (? x) = ? f ( x) .设 ( a, b )为奇函数上一点,则 ( ?a,?b )也是图象上一点. ⑵奇函数的判定: 两个条件同 时满足①定义域一定要关于 ? x 2 + x ( x < 0) ? 原点对称, 例如:y = x 3 在 [1,?1) ③ f ( x) = ? 2 上不是奇函数. ②满足 ? x ? x ( x > 0) ? f (?x) = ? f (x) ,或 f (? x) + f ( x) = 0 , 若 f ( x) ≠ 0 时,
f ( x) = ?1 . f (?x)

函数 y = f (x ) 3.在同一坐标系, 与它的反函数 y = f ?1 ( x) 的图 象关于 y = x 对称.
[注]:一般地, f ?1(x+3) ≠ f (x+3)的

反函数. f ?1 ( x + 3) 是先 f ( x) 的 反函数,在左移三个单位. 在 f ( x + 3) 是先左移三个单位,

注:函数定义域关于原点对称是判 断函数奇偶性的必要条件, 在利用 定义判断时, 应在化简解析式后进 行,同时灵活运用定义域的变形, 如 f (?x)± f (x) =0 , f (? x) = ±1 ( f(x)
f ( x)

f ( x) 的反函数.

≠0)

反 4.⑴单调函数必有反函数,但并非 例 15. 若函数 y = f ( x) 的图象经过 (0,?1) , 那么 函 反 函 数存 在 时一 定是 单调 的 . 因 y = f ( x + 4) 的反函数图象经过点( ) 数 此,所有偶函数不存在反函数. (A) ( 4,?1) (B) ( ?1,?4) ⑵如果一个函数有反函数且为奇 (C) ( ?4,?1) (D) (1,?4)
函数,那么它的反函数也为奇函 数. ⑶设函数 y = f(x)定义域,值域 分别为 X、Y. 如果 y = f(x)在 X 上是增(减)函数,那么反函数 y = f ?1 ( x) 在 Y 上一定是增(减) 函数, 即互为反函数的两个函数增

则 例 16. 设 f ( x ) = 4 x ? 2 x +1 , f

?1

(0 ) = ________.

指 2. 对 数 函 数 : 如 果 a 例 21.设 x, y, z ∈ (0,+∞) 且 3 x = 4 y = 6 z , 数 ( a > 0, a ≠ 1 ) 的 b 次 幂 等 于 函 1 1 1 ⑴ 求证: + = ;⑵比较 3 x,4 y,6 z 的大小. b 数 N, x 2y z 就是 a = N , b 就叫做以 数 与 a 为底的 N 的对数,记作 对 数 log a N = b( a > 0, a ≠ 1 ,负数和 函 零没有对数) ;其中 a 叫底数, 数 N 叫真数. ⑴对数运算:
①loga (M ? N) = loga M + loga N M = loga M ? loga N N ③loga M n = n loga M ②loga 1 ④loga n M = loga M ? n loga N ⑤a =N ⑥换底公式: a N = log logb N logb a

x 减性相同. 例 17. 函数 y = mx + 1( x ∈ R ), 与 y = ? n( n ∈ R ) 2 ⑷一般地,如果函数 y = f (x ) 有反
函数,且 f ( a ) = b ,那么 f ?1 (b) = a . 这就是说点 a, b ) ( 在函数 y = f (x ) 图象上,那么点( b, a )在函数 y = f ?1 ( x) 的图象上. 注:1.函数 f(x)的反函数 f-1(x)的性 质与 f(x)性质紧密相连, 如定义域、 值域互换,具有相同的单调性等,
-1

互为反函数的充要条件是___________.

例 22.已知 f ( x ) = 1 + log x 3 , g ( x) = 2 log x 2 , 试比较 f ( x)和g ( x) 的大小。

1 例 18. 若点 ( 2, ) 既在函数 y = 2 ax +b 的图象上, 把反函数 f (x) 4 的问题化归为函数 f(x)的问题是处 又在它的反函数的图象上,则 a =__, b =___
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⑦推论: a b ? logb c ? logc a =1 log ? loga1 a2 ? loga2 a3 ?...? logan?1 an = loga1 an (以上M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, a1, a2 ,..., an > 0且 ≠ 1)

例 23.求函数 y = log 1 ( x 2 ? 3x ? 18) 的单调减区
2

理反函数问题的重要思想。 C , 则 ①

2.设函数 f(x)定义域为 A,值域为 f-1[f(x)]=x,(x∈A) ② f[f-1(x)]=x,(x∈C)

间,并用单调定义给予证明。

例如: log a x 2 ≠ 2 log a x (Q 2 log a x 例 19.函数 y = a x ? 2 + 1 ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的图象 必经过点( ) (A)(0,1) (B)(1,1) (D) (2,2) (C) (2, 0) 3 例 20. 3 log 7 2 ? log 7 9 + 2 log 7 ( ) 2 2 中 x>0 而 log a x 2 中 x∈R).

指 数 函 数 与 对 数 函 数

1. 指 数 函 数 : y = a x ( a > 0, a ≠ 1 ) ,定义域 R,值 域为( 0,+∞ ).⑴①当 a > 1 ,指 数函数: y = a x 在定义域上为 增函数;②当 0 < a < 1 ,指数 函数: y = a x 在定义域上为减 函数.⑵当 a > 1 时, y = a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 < a < 1 时,则相反.

例 24. 求下列函数的定义域、值域: 2 1 ① y = 2 ?x ?1 ? ; ② y = log 1 (? x 2 + 4 x + 5) 4 3 ⑵ y = a x ( a > 0, a ≠ 1 ) 与 y = log a x 互为反函数. 当 a > 1 时, y = log a x 的 a 值越 大,越靠近 x 轴;当 0 < a < 1 时,则相反.

y轴对称 3x + 7 1 图 ①y = (x)?? ? → y = f( ? x) f ? 的图象与 y = 的图 例 25.讨论函数 y = x轴对称 象 ②y =f(x) ?? ? → y = ? f(x) x+2 x ? 象的关系。 变 ③ y =f ( x ) 换 ?原点对称 → y = ? f( ? x) ? ?? ④y=f(x)→y=f(|x|),把x轴上 方的图象保留, x轴下方的图 象关于x轴对称 ⑤y=f(x)→y=|f(x)|把 y轴右 边的图象保留, 然后将y轴右 边部分关于y轴对称。 (注意: 它是一个偶函数) ⑥伸缩变换:y=f(x)→y=f( ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+ φ )具 体参照三角函数的图象变换。 注:一个重要结论:若 f(a-x) =f(a+x),则函数 y=f(x)的图 像关于直线 x=a 对称; 一 1.一元一次函数: y = ax + b(a ≠ 0) ,当 a > 0 时,是增函数;当 a < 0 时,是减 次 函数; 函 b 数 2.一元二次函数:一般式: y = ax2 + bx+ c(a ≠ 0) ;对称轴方程是 x = ? ;顶点为 与 2a 二 (? b , 4ac ? b 2 ) ;两点式: y = a( x ? x )( x ? x ) ;对称轴方程是 ;与 x 轴的 1 2 2a 4a 次 ;顶点式: y = a ( x ? k ) 2 + h ;对称轴方程是 ;顶 函 交点为 ; 数 点为

一 ⑶二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 次 的两根为 x1 , x 2 ;则: 函 根的情 x1 ≥ x2 > k x1 ≤ x2 < k x1 < k < x 2 数 况 与 在区间 (k ,+∞) 上 在区间 ( ?∞, k ) 上 在区间 (k ,+∞) 或 等价命 二 题 (?∞, k ) 上有一根 有两根 有两根 次 函 ?Δ ≥ 0 ?Δ ≥ 0 数 ? b ? ? b ? 充要条 < k ? > k a·f(k)<0 ?? ? 2a 件 2a ? ? ? ? a ? f ( k ) > 0。 ? a ? f ( k ) > 0。 ? ?a ? f ( p) < 0 另外:①二次方程 f(x)=0 的一根小于 p,另一根大于 q(p<q) ? ? ?a ? f (q ) < 0。 ? f ( p) = 0 ②二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 ? (检 ?a ? f ( q ) > 0 ? f (q ) = 0 验)或 ? (检验) 。 ?a ? f ( p ) > 0 ③若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) = 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令 x = n 和 x = m 检查端点的情况。 注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。 例 26. 当 0≤x≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值 范围是( ) 1 1 1 (A)a< (B)a>1 (C)a< 或 a>1 (D) <a<1 2 2 2 2 3 例 27.已知函数 f ( x) = ax + (a ? a ) x + 1 在 ( ?∞,?1] 上递增,则 a 的取值范围是 ( ) (A) a ≤ 3 (B) ? 3 ≤ a ≤ 3 (C ) 0 < a ≤ 3 (D) ? 3 ≤ a < 0 2 例 28. 已知二次函数 f ( x) = ax + (a 2 + b) x + c 的图像开口向上,且 f (0) = 1 , ) f (1) = 0 ,则实数 b 取值范围是( 3 3 (A) (?∞,? ] (B) [? ,0) (C) [0,+∞ ) (D) ( ?∞,?1) 4 4 x>0 ?1, ? x = 0 ,则方程 x + 1 = (2 x ? 1) f ( x ) 的解为 例 29.设函数 f ( x) = ?0, . ?? 1, x<0 ?

⑴一元二次函数的单调性: 当 a > 0 时: 为增函数; 当 a < 0 时: 为增函数; 为减函数;

为减函数;

⑵二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y = a ( x ? k ) 2 + h 的形式,
(Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a > 0 时:在顶点处取得最小值, 最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a < 0 时:在顶点处取得最大值,最 小值在距离对称轴较远的端点处取得; (Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a > 0 时:最小值在距离对称轴较 近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a < 0 时:最大值 在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;

一 次 函 数 与 二 次 函 数

数学基础知识与典型例题(第二章函数)答案 例 1. 3 , 4 ,6;
4

3

=

2 x2 ? x12 2 1 ? x12 + 1 ? x2

=

( x2 + x1 )( x2 ? x1 )
2 1 ? x12 + 1 ? x2

例 2. C 例 3. (10 ? r )r , (0,10) 对于实际问题,在求出函数解析式后,此时的定义域要根据实际 意义来确定。 例 4. 解:∵解析式有意义的充要条件是:
? 2 ? x ? 3 x ? 4 ≥ 0 ? x ≥ ?4或x ≤ ?1 ? x > ?3或 ? 3 < x ≤ ?1或x ≥ 4 ?? ? ? x +1 ? 2 ≠ 0 ? x ≠ ?3且x ≠ 1 ? ∴函数 f ( x) =

2 ∵ x1 < x2 ∴ x2 ? x1 > 0 ,另外,恒有 1 + x12 + 1 + x2 > 0

∴若?1≤x1<x2≤0 则 x1+x2<0 若 x1<x2≤1 则 x1+x2>0

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 , f ( x1 ) < f ( x2 )

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 , f ( x1 ) > f ( x2 )

∴ 在[?1,0]上 f(x)为增函数,在[0,1]上为减函数。 例 10. C 例 11. 证:任取 x1 , x2 ∈ R 且 x1 < x2 ∵g (x) 在 R 上是增函数,∴g (x1) <g (x2),

x 2 ? 3x ? 4 的定义域为{ x| x > ?3或 ? 3 < x ≤ ?1或x ≥ 4 } x +1 ? 2

1 3 ? ? 5 ??1 ≤ x + 4 ≤ 1 ?? 4 ≤ x ≤ 4 3 3 ? ? ?? ? ? ≤ x≤ 例 5. 解:要使函数有意义, 必须: ? 4 4 ? ?1 ≤ x ? 1 ≤ 1 ?? 3 ≤ x ≤ 5 ? ? 4 ? ? 4 4
1 1 ? 3 3? ∴ y = f ( x + ) ? f ( x ? ) 的定义域是 ? ? , ? . 4 4 ? 4 4?
(1 ? t ) 2 1 1? 3 +1? 2 1? t , ∴ 例 6.解一: 令 t =1? 2x , 则 x = 4 = 3 + 2t ? t ∴ f ( 1 ) = 4 = 15 f (t ) = 2 (1 ? t ) 2 1 ? 2t + t 2 2 1?1+ 1 4 4 1 2 1 1? ( ) 解二:令 1 ? 2 x = 1 则 x = ∴ f ( 1 ) = 4 = 15 4 2 1 2 2 ( ) 4

例 7. 解:设 t = 1 ? x 则 t≥0 ∴x=1?t2 代入得 y=f (t )=2×(1?t2)+4t=?2t2+4t+2=?2(t?1)2+4

又∵f (x) 在 R 上是增函数,∴f [g (x1)] < f [g (x2)]而且 x1 < x2 , ∴ f [g (x)] 在 R 上是增函数 同理可以推广: 若 f (x)、g (x) 均是 R 上的减函数,则 f [g (x)] 是 R 上的增函数 若 f (x).g (x) 是 R 上的一增、一减函数,则 f [g (x)] 是 R 上的减函数 ? 1? x ≠ 0 ? ? ?1 ≤ x < 1 ,关于原点非对称区间 例 12①解:定义域: ?1 + x ≥0 ?1 ? x ? ∴此函数为非奇非偶函数. ? 2 ? x ? 1≥ 0 ? x ≥ 1或x ≤ ?1 ②解:定义域: ? ?? 2 ?1 ? x ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ? ∴定义域为 x =±1,∵f (±1) = 0, ∴此函数为即奇且偶函数. ③解:显然定义域关于原点对称, ∵当 x>0 时, ?x<0 有 f (?x) = x2?x = ?(x?x2); ?? ( x 2 + x) ( x < 0) = ? f ( x) 当 x<0 时, ?x>0 有 f (?x) = ?x?x2 = ?(x2+x)∴ f (? x) = ? 2 ?? ( x ? x ) ( x > 0) ∴此函数为奇函数. 例 13.解:∵ ?1≤x < 0,∴0 < x2 ≤ 1 ,∴0≤1 ? x2 < 1,∴ 0 ≤ 1 ? x 2 < 1 , ∴0 < y ≤1 由: y = 1 ? 1 ? x 2 解得: x = ? 2 y ? y 2 (∵ ?1≤x < 0 ) ∴ y = 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的反函数是: y = ? 2 x ? x 2 ( 0 < x ≤1 ) 例 14.解:利用数形对应的关系,可知 y=g(x)是 y=f-1(x+1)的反函数, 从而化 g(x)问题为已知 f(x)。∵ y = f ?1 ( x + 1) ∴ x + 1 = f ( y ) ∴ x = f ( y ) ? 1 ∴ y = f ?1 ( x + 1) 的反函数为 y = f ( x) ? 1 即 g ( x) = f ( x) ? 1 ∴ g(11)=f(11)-1= 评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系, 当 f(x)存在反函数时,若 b=f(a),则 a=f-1(b).
3 2

∵t≥0∴y≤4∴所求值域为 ( ?∞, 4]
例 8. B 例 9. 解:定义域 {x|?1≤x≤1},在[?1,1]上任取 x1,x2 且 x1<x2 则 f ( x1 ) = 1 ? x12 , f ( x2 ) = 1 ? x2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 1 ? x12 ? 1 ? x2 2 =

(1 ? x ) ? (1 ? x )
2 1 2 2 2 1 ? x12 + 1 ? x2

例 15. B 例 16. 1
1 2 12 10 例 18. a = ? , b = 7 7 1 1 解:由已知 ( 2, ) 在反函数的图象上,则 ( ,2) 必在原函数的图象上 4 4

例 17. m=2,n=

4 综上所述: x ∈ (0,1) ∪ ( , +∞) 时 f ( x ) > g ( x ) ; 3 4 4 x = 时 f ( x ) = g ( x ) ; x ∈ (1, )时 f ( x ) < g ( x ) 3 3
例 23. 解:∵定义域 x 2 ? 3 x ? 18 > 0 ? x > 6或x < ?3 ,∴单调减区间是 (6,+∞ ) .
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设 x1 , x2 ∈ (6, +∞)且x1 < x2 则 y1 = log 1 ( x12 ? 3 x1 ? 18) , y2 = log 1 ( x2 2 ? 3 x2 ? 18)
2 2

12 ? ?1 2 a +b ? 2 a + b = ?2 ?a = ? 7 ?4 = 2 1 1 ? ? 所以原函数经过点 ( 2, ) 和 ( ,2) 则 ? ,所以 ? 1 ,解得 ? 1 4 4 a +b ? ?b = 10 ?4 a + b = 1 ? 2 = 24 ? ? 7 ?
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∵ (x12 ?3x1 ?18) ? (x22 ? 3x2 ?18) = (x2 ? x1)(x2 + x1 ? 3) ,又∵ x2 > x1 > 6 ,
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∴ x2 ? x1 > 0 , x2 + x1 ?3 > 0 ∴ x2 2 ? 3 x2 ? 18 > x12 ? 3 x1 ? 18 ,

例 19.D
23 × ( 3 2 2 9 )2

1 < 1 ,∴ y2 ? y1 < 0 , y2 < y1 2 ∴函数 y = log 1 ( x 2 ? 3x ? 18) 在 (6, +∞) 上是减函数.
又∵底数 0 <
2

例 20.解:原式 = log 7

= log 7 1 = 0

例 21.⑴证明:设 3x = 4 y = 6 z = k , ∵ x, y, z ∈ (0, +∞) ,∴ k > 1 取对数得: x =
lg k lg k lg k ,y= ,z = , lg 3 lg 4 lg 6

1 ? ≥ 0 即: ? x 2 ? 1≥ ?2 ? ?1 ≤ x ≤ 1 4 2 1 1 ∵ ?1 ≤ x ≤ 1 ,∴ ?1 ≤ ? x 2 ≤ 0 从而 ?2 ≤ ? x 2 ? 1 ≤ ?1 ,∴ ≤ 2 ? x ?1 ≤ , 4 2 2 1 1 1 1 ∴ 0 ≤ 2 ? x ?1 ? ≤ ,∴ 0 ≤ y ≤ ,∴定义域为[-1,1],值域为 [0, ] 4 4 2 2

例 24①解:要使函数有意义,则须: 2 ? x

2

?1

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1 1 lg 3 lg 4 2 lg 3 + lg 4 2 lg 3 + 2 lg 2 lg 6 1 ∴ + = + = = = = x 2 y lg k 2 lg k 2 lg k 2 lg k lg k z

②要使函数有意义,则须: ? x 2 + 4 x + 5 > 0 ? x 2 ? 4 x ? 5 < 0 ? ?1 < x < 5 由 ? 1 < x < 5 ,∴在此区间内 (? x 2 + 4 x + 5) max = 9 , ∴ 0 ≤ ? x 2 + 4 x + 5 ≤ 9 从而 log 1 (? x 2 + 4 x + 5) ≥ log 1 9 = ?2 即:值域为 y ≥ ?2 ,
3 3
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64 lg k lg 3 4 lg 64 ? lg 81 81 < 0 ,∴ 3 x < 4 y , ⑵ 3x ? 4 y = lg k ( ? ) = lg k ? = lg 3 lg 4 lg 3lg 4 lg 3lg 4 9 lg k ? lg 4 6 lg 36 ? lg 64 16 < 0 , 又∵ 4 y ? 6 z = lg k ( ? ) = lg k ? = lg 4 lg 6 lg 2 lg 6 lg 2 lg 6 ∴ 4 y < 6 z ,∴ 3 x < 4 y < 6 z 3x 例 22. 解: f ( x) ? g ( x) = log x 4 x >1 0 < x <1 ? ? 4 ? ? ①当 ? 3 x ?x> 或 ? ? 0 < x < 1 时 f ( x) > g ( x) 3x 3 >1 0< <1 ?4 ? ? ? 4 3x 4 = 1即x = 时 f ( x ) = g ( x ) ②当 4 3 ? x>0 ?0 < x < 1 4 ? ? ③当 ? ? 1 < x < 或 ? 3x ? x ∈ φ 时 f ( x) < g ( x) 3x 3 ?0 < 4 < 1 ? 4 >1 ? ?

∴定义域为[-1,5],值域为 [?2,+∞) 例 25.解:∵ y =

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3x + 7 3x + 6 + 1 1 1 = = 3+ ∴可由 y = 的图象向左平移两个单位得 x+2 x+2 x+2 x 1 1 y= + 3 的图象。 的图象,再向上平移三个单位得 y = x+2 x+2 例 26.D 例 27. D 例 28. D
例 29. x=0,2 或-

1 + 17 4

2、当你承认“自己有缺点”时,你就“疯狂地改正它”吧!

“我的缺点越多,我成为伟人的可能性就越大! 赶紧开始数一数你的缺点吧! ” 是什么诞生了一个伟大的人物?我认为是“自卑”诞生了一个伟大的人物!一个平 常人在“战胜自卑”的过程中,获得了“炼狱”般的熬炼,从而炼出了自己非凡的“火 眼金晴” 。 姚明,被国际传媒称为“中国巨人时代的代言人” ,他“战胜自卑”的过程,值得 中国人自豪, 值得中国人反省――怎样才能让自己变成巨人?怎样才能让自己成为国 家的骄傲? 姚明自幼体弱多病,得过肾炎,左耳失聪,反应迟钝,两脚是不适合跑跳的“刀削 脚(平脚) ”,这些都是打篮球的致命弱点和缺陷。 但他父亲问姚明: “告诉我,你喜欢篮球吗?” “喜欢啊,我喜欢球场的感觉,喜欢球迷的呼喊……” 他父亲说: “够了,儿子,只要喜欢,你就安心练球吧,你一定会比别人有出息的!” 姚明从此开始了常人难以想像的艰苦训练,虚心地从别人的嘲笑中总结经验,扬长 避短,先入选中国篮球明星队,22 岁入选了全球最有影响力的 NBA 明星联队。 要知道一代篮球巨星是怎样炼成的,我跟大家分享两个最令我佩服的情景: 第一个:他以队友为超越的目标,从最弱变成了最强――姚明刚进 NBA 时,他被称 为最瘦弱的“杆” ,因为他只能推 45 磅的哑铃,而他的队友可以推 100 磅,5 年后, 姚明推哑铃的重量超过了 120 磅。由最弱变成了最强,只因他 5 年来都在别人训练结 束后,多加练几个小时的力量训练,并且从不间断。 第二个:他反复审视自己的错误,疯狂地调整缺点――每一次比赛和训练,姚明的 教练都会录像,把他所有的失误镜头都剪下来,录到一张光盘里。姚明每次都会仔细 反复看,记自己犯下的每一个细小错误,然后一次又一次在训练中调整,直到把正确 的动作转变成自己身体的一部分,转化成自己的本能,于是,姚明取得了令人不可思 议的进步。 一个人的缺陷,有时就是上苍让你成功的信息和暗示。 一个人的弱点, 可以成为你消沉胆怯的原因, 也可以成为你一生中最大的激励因素。 弱点的背后隐藏着,而且是“深深地”隐藏着巨大的潜力,一旦被改正,你的弱点就 成为震撼世界的优点! 所以,从今天开始,为你的弱点欢呼和庆祝吧! 克服弱点最好的方法,就是用行动来超越它,战胜它,你从此开始变得强大,甚至 伟大。 当一个人真正要争得尊严,弥补身体上的缺陷时,人的潜能才会真正开始苏醒,自 身惊人的品格,才会一点点地展现在世人面前。

痛苦是锻造自己最好的机会! What pains us trains us! 不要害怕失败。 摔倒多少次不要紧,要紧的是你能多少次爬起来。 Don't be afraid of failing. It doesn't matter how many times you fall down. All that matters is how many times you keep getting up.


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