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2013届高中数学总复习阶段性测试题8 平面解析几何 新人教A版必修1


阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.(2011· 东北育才期末)圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a -b 的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞) [答案] A [解析] 圆(x-1)2+(y+3)2=10-5a,由条件知,圆心 C(1,-3)在直线 y=x+2b 上,∴b =-2,又 10-5a>0,∴a<2,∴a-b<4. x2 y2 2.(文)(2011· 福州市期末)若双曲线 - =1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双 a2 b2 曲线的离心率为( A. 5 B.5 C. 2 D.2 [答案] A b bc [解析] 焦点 F(c,0)到渐近线 y= x 的距离为 d= =2a,两边平方并将 b2=c2-a2 代 a a2+b2 c 入得 c2=5a2,∵e= >1,∴e= 5,故选 A. a y2 x2 1 (理)圆锥曲线 + =1 的离心率 e= ,则 a 的值为( 9 a+8 2 A.4 5 C.4 或- 4 [答案] C 1 [解析] ∵e= ,∴曲线为椭圆. 2 (1)焦点在 y 轴上时,9>a+8>0,∴-8<a<1, 此时 1-a 1 5 = ,∴a=- ; 3 2 4 D.以上均不正确 5 B.- 4 ) )

(2)焦点在 x 轴上时,a+8>9,∴a>1. 此时 a-1 1 = ,∴a=4,故选 C. a+8 2

x2 y2 1 3.(文)设椭圆 + =1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则 m2 n2 2 此椭圆的方程为( )

1

x2 y2 A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64

x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

[答案] B [解析] 依题意得抛物线 y2=8x 的焦点坐标是(2,0),椭圆的右焦点坐标是(2,0),由题意得 2 1 x2 y2 m2-n2=22 且 e= = ,m=4,n2=12,则椭圆的方程是 + =1,选 B. m 2 16 12 (理)(2011· 天水一中期末)以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点 M、 N,椭圆的左焦点为 F1,且直线 MF1 与此圆相切,则椭圆的离心率 e 为( ) A. 3-1 C. 2 2 D. B.2- 3 3 2

[答案] A [解析] 由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c, 又|F1F2|=2c,∴|MF1|= 3c, 由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a, c ∴ 3c+c=2a,∴e= = 3-1. a

x2 y2 x2 y2 4.(2011· 许昌月考)已知双曲线 - =1 与椭圆 + =1 的离心率互为倒数,其中 a1>0, a2 b2 1 a2 b2 2 a2>b>0,那么以 a1、a2、b 为边长的三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 [答案] B )

2 c2 c2 a2+b2 a2-b2 1 2 1 [解析] 12=e2e2= · = 1 2 · ,则 a2a2=a2a2+(a2-a2)b2-b4,所以 a2-a2= 1 2 1 2 2 1 2 1 a2 a2 1 2 a2 1 a2 2 b2,则以 a1、a2、b 为边长的三角形是以 a2 为斜边的直角三角形,故选 B. 5. (2010· 广西柳州市模拟)平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 已知两点 A(2, -1), B(-1,3), → → → 若点 C 满足OC=αOA+βOB,其中 0≤α,β≤1,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为( A.2x+3y-4=0 1 B.(x- )2+(y-1)2=25 2 C.4x+3y-5=0(-1≤x≤2) D.3x-y+8=0(-1≤x≤2) [答案] C )

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→ → → [解析] 设 C(x,y),则由OC=αOA+βOB得,(x,y)=(2α-β,-α+3β),
? ?x=2α-β ∴? (1) ?y=-α+3β ?

∵α+β=1,∴β=1-α,代入(1)中并消去 α 得, 4x+3y-5=0, ∵0≤α≤1,x=3α-1,∴-1≤x≤2. x2 y2 6.(文)(2011· 北京海淀期末)已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截 m 4 得的弦长与 l:y=kx+1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是( ) A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0 C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0 [答案] D [解析] A 选项中,当 k=-1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆截得的弦长相等;B 选项中,当 k=1 时,两直线平行,两直线被椭圆截得的弦长相等;C 选项中,k=1 时,两 直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆截得的弦长相等,故选 D. [点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断,方便的获解,如果盲目 从直线与椭圆相交求弦长,则费神耗力无收获. y2 (理)(2011· 汪清六中期中)过双曲线 M:x2- =1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双 b2 曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( A. 5 2 B. 10 3 )

C. 5 D. 10 [答案] D [解析] A(-1,0),渐近线为 y=± bx, l 的方程为 y=x+1,
?y=x+1, ? 由? 得 ? bx, ?y=±

1 b 1 b B?-b+1,b+1?,C?b-1,b-1?. ? ? ? ? 又|AB|=|BC|,∴b=3.则离心率 e= 32+1 = 10,选 D. 1

y2 7.(2011· 乐山一中月考)设直线 l:2x+y+2=0 关于原点对称的直线为 l′,若 l′与椭圆 x2+ 4 1 =1 的交点为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为 的点 P 的个数为( 2 )

A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] 直线 l 关于原点对称的直线 l′的方程为 2x+y-2=0,结合图形易知直线 l′与椭圆的 1 两个交点 A、B 分别是椭圆的长轴和短轴的两个端点,可得|AB|= 5,∵△PAB 的面积为 , 2

3

∴椭圆上的点 P 到直线 AB 的距离为 距离为

5 ,则确定点 P 的个数即为求与直线 AB 平行且与 AB 5

5 的直线与椭圆交点的个数,设直线方程为 2x+y+c=0,利用两平行线间的距离公 5

式可知 c=-1 或 c=-3.即直线方程为 2x+y-1=0,2x+y-3=0,结合图形知直线 2x+y- 1=0 和椭圆相交,而直线 2x+y-3=0 与椭圆相离,故满足条件的点共有 2 个. x2 8.(文)(2010· 山东日照模拟)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 -y2=1(a>0)交于 A、B 两 a2 点,点 F 为抛物线的焦点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 6 C.2 D.3 [答案] B [解析] 由题意易知,抛物线的准线方程为 x=-1,焦点为 F(1,0),直线 x=-1 与双曲线的 交点坐标为(-1,± 腰直角三角形, 所以 选 B. x2 y2 (理)(2011· 合肥一中月考)设 F1、F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,与直线 y=b a2 b2 相切的⊙F2 交椭圆于点 E,且 E 是直线 EF1 与⊙F2 的切点,则椭圆的离心率为( A. C. 5 3 3 2 B. 6 3 ) 1-a2 ),若△FAB 为直角三角形,则只能是∠AFB 为直角,△FAB 为等 a 1-a2 5 30 c =2?a= , 从而可得 c= , 所以双曲线的离心率 e= = 6, a 5 5 a

D. 3-1

[答案] A [解析] 由条件知 EF2+EF1=2a,EF2=b, ∴EF1=2a-b. 又 EF2⊥EF1,∴4c2=(2a-b)2+b2.

2 将 c2=a2-b2 代入得 b= a. 3 b c2 a2-b2 5 e2= = =1-? a?2= . ? ? 9 a2 a2 ∴e= 5 . 3

x2 y2 9.(文)(2011· 新泰一中模拟)设 P 是双曲线 - =1(a>0,b>0)左支上的一点,F1、F2 分别 a2 b2 是双曲线的左、右焦点,则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是

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( ) A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.不相切 [答案] A [解析] 取 PF2 的中点 M,则 2|OM|=|F1P|,且 O、M 为两圆圆心,OM 为圆心距.

由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a, 即 2|MF2|-2|OM|=2a,∴|OM|=|MF2|-a, 即圆心距等于两圆半径之差,则两圆内切. x2 y2 (理)(2011· 临沂期末)如图所示,从双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2 的 a2 b2 切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点, 则|MO|-|MT|与 b-a 的大小关系为( )

A.|MO|-|MT|>b-a B.|MO|-|MT|=b-a C.|MO|-|MT|<b-a D.不确定 [答案] B [解析] 连接 PF′,OT.∵|FP|-|F′P|=2a, ∴2|FM|-2|OM|=2a,即|FM|-|OM|=a. 又∵|OT|=a,|OF|=c,∴|FT|=b, ∴|FM|=|MT|+b,∴|MT|+b-|OM|=a, 即|MO|-|MT|=b-a,故选 B. 10.(文)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上 的点到直线 3x+4y+5=0 的距离最大值是 a,最小值是 b,则 a+b=( ) 12 A. 5 6 C. 5 24 B. 5 D.5

[答案] B 12 12 12 24 [解析] 圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+5=0 距离 d= ,∴a+b=? 5 +r?+? 5 -r?= (r 为圆 ? ? ? ? 5 5 的半径). (理)(2011· 福州市期末)定义: 平面内横坐标为整数的点称为“左整点”. 过函数 y= 9-x2图象 上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于 45° 的直线条数为( )

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A.10 B.11 C.12 D.13 [答案] B [解析] 依据“左整点”的定义知,函数 y= 9-x2的图象上共有七个左整点,如图过两个左 整点作直线,倾斜角大于 45° 的直线有:AC,AB,BG,CF,CG,DE,DF,DG,EF,EG, FG 共 11 条,故选 B.

x2 → → 11. (文)(2011· 辽宁沈阳二中检测)椭圆 +y2=1 的焦点为 F1, 点 M 在椭圆上, F2, MF1· MF2 4 =0,则 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 C. 3 3 2 6 B. 3 D. 3 )

[答案] B → → [分析] 条件MF1· =0,说明点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,点 M 又在椭圆上,通 MF2 过方程组可求得点 M 的坐标,即可求出点 M 到 y 轴的距离. [解析] 椭圆的焦点坐标是(± 3,0),点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2 x2 8 2 6 +y2=3,即 y2=3-x2,代入椭圆得 +3-x2=1,解得 x2= ,即|x|= ,此即点 M 到 4 3 3 y 轴的距离. → → [点评] 满足MF· =0(其中 A,B 是平面上两个不同的定点)的动点 M 的轨迹是以线段 AB MB 为直径的圆. (理)(2011· 辽宁沈阳二中检测)已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察 点 B,要使视线不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.(-∞,4] C.(10,+∞) D.(-∞,10] [答案] D [解析] 过点 A(0,-2)作曲线 C:y=2x2 的切线, 设方程为 y=kx-2,代入 y=2x2 得, 2x2-kx+2=0,令 Δ=k2-16=0 得 k=± 4, 当 k=4 时,切线为 l, ∵B 点在直线 x=3 上运动, 直线 y=4x-2 与 x=3 的交点为 M(3,10), 当点 B(3, a)满足 a≤10 时,视线不被曲线 C 挡住,故选 D.

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12.(文)(2011· 山东实验中学期末)已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0),F2( 10,0),M → → → → 是此双曲线上的一点,且MF1· =0,|MF1|· MF2 |MF2|=2,则该双曲线的方程是( x2 A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 3 7 y2 B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3 )

[答案] A [解析] 由条件知,MF1⊥MF2, ∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=(2 10)2=40, → → (|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|· |MF2|=40-2|MF1|· |MF2|=36, ∴||MF1|-|MF2||=6=2a,∴a=3,又 c= 10,∴b2=c2-a2=1,∴双曲线方程为 =1. x2 (理)(2010· 北京质检)点 P 在曲线 C: +y2=1 上,若存在过 P 的直线交曲线 C 于 A 点,交 4 直线 l:x=4 于 B 点,满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|,则称点 P 为“H 点”,那么下列结论正确的 是( ) A.曲线 C 上的所有点都是“H 点” B.曲线 C 上仅有有限个点是“H 点” C.曲线 C 上的所有点都不是“H 点” D.曲线 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点” [答案] D [解析] 设 P(x0,y0),A 点横坐标为 xA,B 的横坐标为 4,若|PA|=|PB|,则 P 是线段 AB 的 xA+4 中点.由中点坐标公式得 =x0,所以 xA=2x0-4.又点 A 在椭圆上,需满足-2≤xA≤2, 2
?-2≤2x0-4≤2 ? ∴? ,解得 1≤x0≤2.当点 P 的坐标满足上述条件时,曲线 C 上存在“H 点”.若 ? ?-2≤x0≤2

x2 -y2 9

?-2≤x0+4≤2 ? x0+4 2 |PA|=|AB|, A 是线段 PB 的中点, 则 故 =xA, 同理可得? 2 ?-2≤x0≤2 ?

, 则-2≤x0≤0,

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此时 P 都是“H 点”,故曲线 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点”. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) → → → 13.(文)(2011· 河北肃宁期末)已知点 A(1,0),B(2,0).若动点 M 满足AB· + 2|AM|=0,则 BM 点 M 的轨迹方程为________. [答案] x2 +y2=1 2

→ → → [解析] (1)设 M(x,y),则AB=(1,0),BM=(x-2,y),AM=(x-1,y), → → → 由AB· + 2|AM|=0 得, BM x2 (x-2)+ 2· ?x-1?2+y2=0.整理得 +y2=1. 2 (理)(2010· 上海奉贤区调研)已知实数 a,b,c 成等差数列,点 P(-1,0)在直线 ax+by+c=0 上的射影是 Q,当 a、b、c 变化时,点 Q 的轨迹方程是________. [答案] x2+(y+1)2=2 [解析] 设 Q(x,y),则 y b = ① x+1 a

ax+by+c=0② 2b=a+c③ 由③与②消去 c 得,ax+by+2b-a=0, ∴ y+2 a = ④ 1-x b

①× ④并整理得 x2+(y+1)2=2. x2 14.(文)(2011· 南宫中学质检)过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1、P2 两点,线 2 段 P1P2 的中点为 P, 设直线 m 的斜率为 k1(k1≠0), 直线 OP 的斜率为 k2, k1k2 的值为______. 则 1 [答案] - 2 y1-y2 y1+y2 y2-y2 ? 1 2 [解析] 令 P1(x1,y1)、P2(x1,y2),则 k1k2= · = = x1-x2 x1+x2 x2-x2 1 2 1 - . 2 y2 (理)(2011· 重庆南开中学期末)设双曲线 x2- =1 的左右焦点分别为 F1、F2,P 是直线 x=4 3 上的动点,若∠F1PF2=θ,则 θ 的最大值为________. [答案] 30° [解析] F1(-2,0)、F2(2,0),不妨设 P(4,y),y>0,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,设∠F1PM 6 2 - y y tanβ-tanα 4 4 3 =β, ∠F2PM=α, θ=β-α, 则 ∴tanθ=tan(β-α)= = = ≤ = , 62 12 2 12 3 1+tanβtanα 1+ · y+ yy y 1 2 ?1-x2?-?1-x2? 2? ? 2? x2-x2 1 2



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∴θ≤30°. x2 y2 15. (2011· 天津河西区质检)以 F1、 为焦点的椭圆 + =1(a>b>0)上一动点 P, F2 当∠F1PF2 a2 b2 最大时,∠PF1F2 的正切值为 2,则此椭圆离心率 e 的大小为________. [答案] 5 5

a2-c2 b 1 [解析] 当∠F1PF2 最大时,P 为短轴端点,tan∠PF1F2= =2,∴ =4,∴e2= ,∴ c c2 5 e= 5 . 5

16.(文)(2011· 北京海淀期末)如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别为 A,B 的两 组同心圆,每组同心圆的半径分别是 1,2,3,…,n,….利用这两组同心圆可以画出以 A,B 为焦点的双曲线,若其中经过点 M,N,P 的双曲线的离心率分别记为 eM,eN,eP,则它们 的大小关系是________(用“<”连接).

[答案] eM<eP<eN [解析] 由图知|AB|=10,经过 M,N,P 的双曲线的半焦距均为 5,由|MB|-|MA|=7 知过 7 点 M 的双曲线实半轴长为 ,同理可知过 N,P 的双曲线的实半轴长分别为 1,2,因此可知 2 eN>eP>eM. x2 (理)(2011· 湖南长沙一中月考)直线 l:x-y=0 与椭圆 +y2=1 相交 A、B 两点,点 C 是椭 2 圆上的动点,则△ABC 面积的最大值为________. [答案] 2 [解析] 设与 l 平行的直线方程为 x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为 C 时,△ABC 的面 x2 积最大,将 y=x+a 代入 +y2=0 中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由 Δ=16a2-24(a2 2 -1)=0 得,a=± 3,两平行直线 x-y=0 与 x-y+ 3=0 的距离 d= y2=1 中得,x1=- ∴|AB|= 1+1| 6 6 ,x2= , 3 3 6 x2 ,将 y=x 代入 + 2 2

6 6 4 3 -(- )|= , 3 3 3

1 1 4 3 6 ∴S△ABC= |AB|· × × = 2. d= 2 2 3 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 江西省分宜中学、玉山一中、临川一中、南城一中、南康一 x2 y2 中,高安中学、彭泽一中、泰和中学、樟树中学九校联考)已知点 P(0,-2),椭圆 C: + a2 b2 =1 (a>b>0),椭圆的左右焦点分别为 F1、F2,若三角形 PF1F2 的面积为 2,且 a2,b2 的等

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比中项为 6 2. (1)求椭圆的方程; (2)若椭圆上有 A、B 两点,使△PAB 的重心为 F1,求直线 AB 的方程. 1 [解析] (1)S△PF1F2= × 2=2c=2,∴c=1, 2c× 2 即 a2-b2=1,又 a2b2=(6 2)2=72,解得 a2=9,b2=8, x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 9 8 x1+x2+0 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵P(0,-2),F1(-1,0),F1 为△PAB 的重心,∴ = 3 y1+y2-2 3 -1, =0,∴x1+x2=-3,y1+y2=2,∴线段 AB 的中点 D?-2,1?, ? ? 3 y1-y2 x2 y2 1 1 x2 y2 2 2 ∵A、 在椭圆上, B ∴ + =1, + =1, 两式相减, 并将 x1+x2=-3, y1+y2=2, 9 8 9 8 x1-x2 3 4 4 =k 代入得 k= ,∴直线 AB 方程为 y-1= ?x+2?,即 4x-3y+9=0. ? 3 3? → → 1 → → (理)(2011· 镇江质检)已知 A(-2,0)、B(2,0),点 C、点 D 满足|AC|=2,AD= (AB+AC). 2

(1)求点 D 的轨迹 E 的方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆 G 于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离 4 为 ,且直线 l 与轨迹 E 相切,求椭圆 G 的方程. 5 → → [解析] (1)设 C、D 点坐标分别为 C(x0,y0),D(x,y),则AC=(x0+2,y0),AB=(4,0), x0 y0 → → → 1 → → 则AB+AC=(x0+6,y0),故AD= (AB+AC)=? 2 +3, 2 ?. ? ? 2

? 2 +3=x+2, → 又AD=(x+2,y),故? y0 ? 2 =y.
x0
?x0=2x-2, ? 解得? ? ?y0=2y.

→ 代入|AC|= ?x0+2?2+y2=2 得 x2+y2=1,即为所求点 D 的轨迹 E 的方程. 0 (2)易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y=k(x+2)①

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x2 y2 又设椭圆方程为 + =1 (a2>4)② a2 a2-4 因为直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,故 4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0, 1 3 而 k2= ,即(a2-3)x2+a2x- a4+4a2=0, 3 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- a2 . a2-3 |2k| 1 =1,解得 k2= .将①代入②整理得(a2k2+a2- 3 k2+1

a2 4 x2 y2 由题意有 =2× ,求得 a2=8.经检验,此时 Δ>0.故所求的椭圆方程为 + =1. 5 8 4 a2-3 x2 y2 2 18.(本小题满分 12 分)(2011· 巢湖市质检)设椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,过原 a2 b2 2 点 O 斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交于 M,N 两点,椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆上异于 M,N 外的一点,当直线 PM,PN 的斜率存在且不为零时,记直线 PM 的斜率为 k1,直线 PN 的斜率为 k2,试探究 k1· 是否为定值?若是,求出定值;若不是, k2 说明理由. [解析] (1)设椭圆的焦距为 2c(c>0),焦点 F(c,0),直线 l:x-y=0, |c| F 到 l 的距离为 = 2,解得 c=2, 2 c 2 又∵e= = ,∴a=2 2,∴b=2. a 2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4

?x2+y2=1, ? 2 6 2 6 (2)由? 8 4 解得 x=y= ,或 x=y=- , 3 3 ? ?y=x,
不妨设 M? 2 6 2 6? 2 6 2 6? ,N?- ,P(x,y), ? 3 , 3 ? ? 3 ,- 3 ?

2 6 2 6 8 y- y+ y2- 3 3 3 ∴kPM· kPN= · = , 8 2 6 2 6 x2- x- x+ 3 3 3 x2 y2 1 由 + =1,即 x2=8-2y2,代入化简得 k1· k2=kPM· kPN=- 为定值. 8 4 2 19.(本小题满分 12 分)(2011· 河北唐山模拟)过点 M(1,1)作直线与抛物线 x2=2y 交于 A、B 两点,该抛物线在 A、B 两点处的两条切线交于点 P. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)求△ABP 的面积的最小值. [解析] (1)设直线 AB 方程为 y=k(x-1)+1, 代入 x2=2y 中得,x2-2kx+2k-2=0 其中 Δ=(-2k)2-4(2k-2)=4[(k-1)2+1]>0

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x2 1 x2 2 记 A?x1, 2 ?,B?x2, 2 ?,则 ? ? ? ? x1+x2=2k,x1x2=2k-2. 对 y= x2 求导得,y′=x 2

x2 1 则切线 PA 的方程为 y=x1(x-x1)+ , 2 x2 1 即 y=x1x- ① 2 x2 2 同理,切线 PB 的方程为 y=x2x- ② 2 由①、②两式得点 P 的坐标为?

?

x1+x2 x1x2? , , 2 2 ?

? ?x=k 于是得 P(k,k-1),设 P(x,y),则? , ? ?y=k-1

消去参数 k,得点 P 的轨迹方程为 x-y-1=0. (2)由(1)知 |AB|= 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =2 ?1+k2??k2-2k+2?. 点 P 到直线 AB 的距离 |k?k-1?+1-?k-1?| k2-2k+2 d= = 1+k2 1+k2 △ABC 的面积 1 3 3 S= |AB|· d=(k2-2k+2) =[(k-1)2+1] . 2 2 2 当 k=1 时,S 有最小值 1. 20.(本小题满分 12 分)(文)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去 它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有FA· FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足: ?x-1?2+y2-x=1(x>0) 化简得 y2=4x(x>0) (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).设 l 的方程为 x =ty+m,
?x=ty+m ? 由? 得 y2-4ty-4m=0, ? ?y2=4x

此时 Δ=16(t2+m)>0.
? ?y1+y2=4t 于是? ① ?y1· ? y2=-4m 12

→ → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2) → → FA· <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1· FB x2-(x1+x2)+1+y1y2<0② y2 y2 y2 1 2 y2 y2 1 2 ?y1y2?2 1 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-( + )+1<0? +y1y2- [(y1+y2)2- 4 4 4 4 4 16 4 2y1y2]+1<0③ 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2④ 对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 3- 2 2<m<3+2 2 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任意一直线,都有 → → FA· <0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2). FB [点评] 第一问可用定义求解,条件可转化为“曲线 C 上每一点到点 F(1,0)的距离与到直线 x =-1 的距离相等”. (理)(2011· 黑龙江哈六中期末)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.

(1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60° 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. [解析] (1)由题意得直线 BD 的方程为 y=x+1. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.
?x2+3y2=4, ? 由? 得 4x2-6nx+3n2-4=0. ? ?y=-x+n

因为 A,C 在椭圆上,所以 Δ=-12n2+64>0, 4 3 4 3 解得- <n< . 3 3 设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 3n2-4 3n x1+x2= ,x1x2= , 2 4 y1=-x1+n,y2=-x2+n. 3n n n 所以 y1+y2= ,所以 AC 的中点坐标为? 4 ,4?. ? ? 2 3n n n 3n 由四边形 ABCD 为菱形可知,点? 4 ,4?在直线 y=x+1 上,所以 = +1,解得 n=-2. ? ? 4 4 所以直线 AC 的方程为 y=-x-2,

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即 x+y+2=0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60° , 所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 |AC|2. 2 -3n2+16 , 2

由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= 所以 S= 3 4 3 4 3? (-3n2+16)?- . 4 ? 3 <n< 3 ?

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 烟台市质检)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两定 → → → 点 A(1,0),B(0,-1),动点 P(x,y)满足:OP=mOA+(m-1)OB(m∈R). (1)求点 P 的轨迹方程; x2 y2 (2)设点 P 的轨迹与双曲线 C: - =1(a>0,b>0)交于相异两点 M、N,若以 MN 为直径的 a2 b2 圆经过原点,且双曲线 C 的离心率等于 3,求双曲线 C 的方程. [解析] (1)由已知(x,y)=m(1,0)+(m-1)(0,-1),
?x=m, ? ∴? ? ?y=1-m.

∴x+y=1,即点 P 的轨迹方程为 x+y-1=0.

?x+y=1 ? (2)由?x2 y2 消去 y 得 ?a2-b2=1 ?
(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0. ∵点 P 轨迹与双曲线 C 交于相异两点 M、N, ∴b2-a2≠0,且 Δ=4a4-4(b2-a2)(-a2-a2b2)>0,即 b2-a2+1>0(*) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 a2+a2b2 2a2 x1+x2=- ,x1x2=- . b2-a2 b2-a2 → → ∵以 MN 为直径的圆经过原点,∴OM· =0, ON 即 x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0, 2?a2+a2b2? 2a2 ∴1+ - =0 b2-a2 b2-a2 即 b2-a2-2a2b2=0.① a2+b2 ∵e= 3.∴e2= =3.∴b2=2a2.② a2 1 2 ∵a>0,b>0,∴由①②解得 a= ,b= . 2 2 1 2 经检验 a= ,b= 满足(*)式, 2 2

14

∴双曲线 C 的方程为 4x2-2y2=1. x2 (理)(2011· 温州八校期末)如图, 在由圆 O: x2+y2=1 和椭圆 C: +y2=1(a>1)构成的“眼形” a2 结构中,已知椭圆的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; → → 1→ (2)是否存在直线 l,使得OA· = OM2,若存在,求此时直线 l 的方程;若不存在,请说明 OB 2 理由. 6 ,直线 l 与圆 O 相切于点 M,与椭圆 C 相交于两点 A,B. 3

c 6 2 a2-1 [解析] (1)∵e= = ,c2=a2-1,∴ = , a 3 3 a2 x2 解得:a2=3,所以所求椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 → → 1→ (2)假设存在直线 l,使得OA· = OM2 OB 2 易得当直线 l 垂直于 x 轴时,不符合题意,故设直线 l 方程为 y=kx+b, 由直线 l 与圆 O 相切可得,b2=k2+1① x2 把直线 y=kx+b 代入椭圆 C: +y2=1 中,整理得: 3 (1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0 3b2-3 6kb 则 x1+x2=- ,x1· x2= , 1+3k2 1+3k2 → → OA· =x1· OB x2+y1· y2=x1· x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1· x2+kb(x1+x2)+b2 3b2-3 6k2b2 4b2-3k2-3 1 =(1+k2) + +b2= = ② 2 1+3k2 1+3k2 1+3k2 由①②两式得 k2=1,b2=2, 故存在直线 l,其方程为 y=± x± 2. x2 y2 22.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 中山一中期末)已知椭圆方程为 + =1,在椭圆上是否存 9 4 在点 P(x,y)到定点 A(a,0)(其中 0<a<3)的距离的最小值为 1,若存在,求出 a 的值及点 P 的 坐标;若不存在,请给予证明. [解析] 设存在 P(x,y)满足题设条件, x2 x2 y2 ∵ + =1,∴y2=4?1- 9 ?. ? ? 9 4

15

x2 ∴|AP|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4?1- 9 ? ? ? 9 5 4 = ?x-5a?2+4- a2. ? 9? 5 9 5 ∵-3≤x≤3,∴当 0< a≤3,即 0<a≤ 时, 5 3 4 |AP|2 的最小值为 4- a2. 5 4 15 依题意,4- a2=1,∴a=± , 5 2 ∵± 15 ? 5? 9 5 ? 0, ,∴ a>3,即 <a<3. 2 ? 3? 5 3

故 x=3 时,|AP|2 取最小值(3-a)2. 依题意(3-a)2=1,∴a=2. 此时 P 点的坐标是(3,0). 故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,点 P 坐标为(3,0). (理)(2011· 山东淄博一中期末)已知椭圆的两个焦点 F1(- 3,0),F2( 3,0),过 F1 且与坐标 轴不平行的直线 l1 与椭圆相交于 M,N 两点,如果△MNF2 的周长等于 8. (1)求椭圆的方程; → → (2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、 试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0), Q, 使PE· QE 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由. [解析] (1)由题意知 c= 3,4a=8,∴a=2,b=1, x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1),

?x2+y2=1 ? 由? 4 消去 y 得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0, ? ?y=k?x-1?
设 P(x1,y1),Q(x2,y2) 4k2-4 8k2 则由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2= , 4k2+1 4k2+1 → → 则PE=(m-x1,-y1),QE=(m-x2,-y2), → → ∴PE· =(m-x1)(m-x2)+y1y2 QE =m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1) 8k2m 4k2-4 ?4k2-4- 8k2 +1? =m2- + +k2? ? 4k2+1 4k2+1 ?4k2+1 4k2+1 ? = ?4m2-8m+1?k2+?m2-4? 4k2+1

16

4m2-8m+1 4 17 要使上式为定值须 = ,解得 m= , 1 8 m2-4 33 → → ∴PE· 为定值 , QE 64 当直线 l 的斜率不存在时 P?1,

?

3? 3 ,Q?1,- ?, 2? 2? ?

17 9 3 9 3 → → 由 E? 8 ,0?可得PE=? ,- ?,QE=? , ?, ? ? 8 2? 8 2? ? ? → → 81 3 33 ∴PE· = - = , QE 64 4 64 17 33 → → 综上所述当 E? 8 ,0?时,PE· 为定值 . QE ? ? 64

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