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北京市海淀区高三数学查漏补缺题 试题及答案


海淀区高三数学查漏补缺题 1.数学思维方法的落实 高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题. 如果在学生近一年的大量练习的基础上, 教师帮助学生从数学思维的角度进行梳 理, 对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括,将会使学生对数学的认识提 高一个层次. 例 1:设函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e? x 有极值. (Ⅰ)若极小值是 0 ,试确定 a ; (Ⅱ)证明:当极大值为 3 时,只限于 a ? 3 的情况. 解: (Ⅰ) f '( x) ? (2 x ? a)e? x ? ( x 2 ? ax ? a)e? x ? ? x( x ? a ? 2)e? x , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 ? a . ① 当 a ? 2 时, f '( x) ? ? x2 e? x ? 0 , f ( x) 单调递减,函数 f ( x ) 无极值,与题 意不符,故 a ? 2 ; ② 当 a ? 2 时, x ? 2 ? a 为极小值点. 故 f ( x)极小值 ? f (2 ? a) ? (4 ? a)ea ?2 ,当极小值为 0 时, a ? 4 ; ③ 当 a ? 2 时,同理可得 f ( x)极小值 ? f (0) ? a ,当极小值为 0 时, a ? 0 . 由①②③知: a ? 0 或 a ? 4 . (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知: 当 a ? 2 时, f ( x) 在 x ? 0 处取极大值 f (0) ? a , 当a ? 3 时, f ( x) 的极大值为 3 ; 当 a ? 2 时, f ( x) 在 x ? 2 ? a 处取极大值 f (2 ? a) ? (4 ? a)ea ?2 . 现在的问题是当 (4 ? a)ea ?2 ? 3 时是否 a ? 3 ? 解方程 (4 ? a)ea ?2 ? 3 ,得 (4 ? a)ea ?2 ? 3 ? 0 ,即 ea ?2 (4 ? a ? 3e2?a ) ? 0 (*) 设 g(a) ? 4 ? a ? 3e2?a (a ? 2) 则 g?(a) ? ?1 ? 3e2?a ? 0 , 所以, g (a) 在 (??,2) 上单调递增,则有 g (a) ? g (2) ? ?1 ,此时方程(*) 无解,故当 a ? 2 时, f ( x) 的极大值不可能为 3 . 根据(Ⅰ)和(Ⅱ)知:函数 f ( x) 的极大值为 3 时,只限于 a = 3 . 说明:此题主要考查学生研究函数方法的运用,即给函数解析式之后,能否 通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势, 通过研究导函数的符号进 一步了解函数的准确的变化状态. 1 例 2.已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? 2 x ? 1 . (a ? 0) 3 (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (?2, ?1) 上单调减,且在 (0,1) 上单调增,求实数 a 的取值范 围; (Ⅲ) 当 a ? ?1 时, 若 ?x0 ? (t ,0] , 函数 f ( x) 的切线中总存在一条切线与函数 f ( x) 在 x0 处的切线垂直,求 t 的最小值. 解: (I)由已知 f (0) ? 1 , f '( x) ? ax2 ? 2x ? 2 ,所以 f '(0) ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 (II)解 1:①当 a ? 0 时,

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